Лекция 2. 4. Производная неявно заданной и параметрически заданной функций

Прогнозируемые результаты обучения:

· Базовые понятия:

– способ задания функции,

– производная,

– порядок производной.

· Базовые операции:

– вычисление производной.

· Базовые методы:

– методы дифференциального исчисления.

При чтении лекции используется создание проблемных ситуаций, активизирующих познавательную деятельность студентов, с последующим составлением опорных конспектов.

Ориентация на развитие компетенций:

ОК-5 – способность к самоорганизации и самообразованию;

ПК-1 – способность к анализу и синтезу;

ПК – 8: способность использовать информационные средства и технологии при решении задач, возникающих в ходе профессиональной деятельности;

ОПК-4 – готовность сочетать теорию и практику для решения инженерных задач.

Производная неявно заданной функции

Если неявная функция одной переменной задана уравнением

,

а функция двух переменных – , то для нахождения производной функции одной переменной и частных производных функции двух переменных и нет необходимости разрешать уравнения относительно функций и .

Рассмотрим два способа дифференцирования неявно заданной функции.

Способ 1. Продифференцировать уравнение по , считая функцией от , а уравнение отдельно по и по , считая функцией от и . Затем полученные выражения разрешить относительно (в случае функции одной переменной) и относительно , (в случае функции двух переменных).

Замечание. Производная неявно заданной функции является неявно заданной функцией.

Пример. Найти производные неявно заданных функций.

1. – неявно заданная функция одной переменной.

.

Выразим :

.

2. – неявно заданная функция двух переменных.

Найдем частные производные и . Для этого:

– продифференцируем уравнение по : , выразим : ;

– продифференцируем уравнение по : , выразим : .

Таким образом, и .

Способ 2.

Пусть дана неявно заданная функция одной переменной.

1) Подставим в уравнение функцию : .Продифференцируем полученное уравнение по независимой переменной как сложную функцию двух переменных, используя формулу (2.3.11) (см. п. 2.3.4).

, тогда , .

Таким образом, .

2) Пусть дана неявно заданная функция двух переменных.

Продифференцируем по и по как сложную функцию, используя формулу (2.3.11) (см. п. 2.3.4).

, .

Таким образом, , .

Примеры. Найти производные неявно заданных функций.

1. – неявно заданная функция одной переменой.

, здесь .

, .

2. – неявно заданная функция двух переменных.

, здесь .

, , .

Тогда , ,

т.е. , .

Оба рассмотренных способа применяются и для вычисления частных производных неявно заданной функции независимых переменных вида

 

, (3)

 

где .

Чтобы найти – частную производную такой функции по переменной , необходимо продифференцировать уравнение (3) по , считая функцией от переменных (способ 1), или воспользоваться формулой (способ 2).