Определения производной и частных производных, их геометрический смысл

Рассмотрим функцию одной переменной , определенную на некотором интервале .

Проделаем следующие операции:

– аргументу дадим приращение , причем ;

– найдем соответствующее приращение функции: ;

– найдем «среднюю скорость» изменения функции на отрезке , равную ;

– так как при значение «средней скорости» стремиться к значению скорости изменения функции в точке, то найдем последнюю как предел

.

Производная характеризует скорость изменения функции в данной точке.

Определение. Производной функции одной переменной в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке, при стремлении к нулю приращения аргумента. Обозначается .

.

Пример. Найти производную функции .

Решение: Зададим приращение аргументу: .

Тогда .

.

Теперь,

,

т.е. .

Ответ: .

Обобщая, можно сказать, что если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

В частности, если этот процесс – прямолинейное неравномерное движение, то скорость движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути по времени t. В этом заключается механический смысл производной .

В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной , но .

Следовательно, производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной.

Зная это, можно составить уравнение касательной и нормали (прямой, перпендикулярной касательной в точке касания) к графику функции.

Если – точка касания (см. рис.2.3.3) и , то .

Тогда, используя уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении , можно записать:

– уравнение касательной: ;

– уравнение нормали: (если ).

Теперь рассмотрим функцию двух переменных , определенную на некоторой области .

Так как и – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение.

Проделаем следующие операции:

– независимой переменной дадим приращение , сохраняя значение неизменным;

– найдем соответствующее приращение функции – частное приращение по , т.е. ;

– найдем среднюю скорость изменения значения функции в направлении координатной оси на интервале , равную ;

– найдем скорость изменения функции в точке в направлении оси , перейдя в последнем равенстве к пределу при

.

Аналогично можно найти частное приращение функции по переменной : , и получить скорость изменения функции в точке в направлении оси :

.

Определение. Если существует предел отношения частного приращения функции в точке к соответствующему приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю, то он называется частной производной функции в точке по данной независимой переменной. Обозначается .

, .

Аналогично для функции – независимых переменных :

.

Таким образом, функция двух переменных имеет две частные производные, а функция переменных будет иметь частных производных.

Из определения частных производных следует, что частная производная находится в предположении, что изменяется только одна независимая переменная, а остальные остаются постоянными.

Графиком функции является некоторая поверхность (см. рис. 2.3.4). График функции есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью . Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной (см. выше) делаем вывод, что , где – угол между осью и касательной проведенной к кривой в точке касания . Аналогично, , где – угол между осью и касательной проведенной к кривой в точке . Это и есть геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

Прямые и определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью к поверхности, являющейся графиком функции в точке , значит, координаты всех точек прямых и удовлетворяют уравнению этой плоскости.

Используя геометрический смысл частных производных и уравнение плоскости, проходящей через точку : , можно составить уравнение плоскости .

Уравнение касательной плоскости:

. (2.3.6)

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется нормалью к поверхности.

Используя условия перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить каноническое уравнение нормали.