Если значения переменной величины 
в процессе её изменения как угодно близко приближаются к некоторому числу 
, то говорят, что переменная величина стремится к или предел переменной величины равен , обозначают 
или 
.
Различные переменные величины к своему предельному значению могут стремиться по разному: убывая справа, возрастая слева, колеблясь около своего предельного значения.
Пример. Рассмотрим математический маятник (см. рис. 2.1.15). 
– угол отклонения маятника от положения равновесия – переменная величина.
Маятник стремится к положению равновесия, это значит, что угол отклонения, изменяясь со временем, колеблется около своего предельного значения, стремясь к нулю, т.е. 
.
Определение. Пусть – некоторое значение переменной величины и 
– сколь угодно малое положительное число. Все точки интервала 
(кроме самой точки ), удовлетворяющие неравенству 
, образуют – окрестность точки (см. рис. 2.1.16).
Определение. Пределом переменной величины называется число , если для любого сколь угодно малого числа 
, найдется такое значение переменной величины 
, что для всех значений переменной величины, больших , выполняется неравенство .
Иначе говоря, если – предел переменной величины , то все значения переменной величины , большие , попадут в – окрестность точки .
Аналогично можно дать определение предела для числовой последовательности (функции 
где 
).
Определение. Число называется пределом последовательности 
, если для любого сколь угодно малого числа найдется такой номер 
, что для всех номеров 
выполняется неравенство 
.
Иначе говоря, если 
, то все точки 
, начиная с , попадают в полосу, ограниченную прямыми 
и 
(см. рис. 2.1.17).
Пример. Используя определение предела последовательности, доказать, что 
.
Решение: 
, 
По определению, число 2 будет пределом данной последовательности , если для любого найдется 
, такое что для всех
, т. е. 
,
т.е. для всех 
, где 
целая часть числа 
.
Пусть 
, тогда 
. Таким образом существует , такое что для всех 
. Ч. и т. д.
Значит .
Предел функции
Рассмотрим 
– функцию одной переменной, определенную в – окрестности точки .
Определение. Число 
называется пределом функции в точке (или при 
), если для любого наперед заданного сколь угодно малого , найдется такое число 
, что для всех , удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство 
.
Иначе говоря, если 
, то точки графика функции с абсциссами из 
– окрестности точки и соответствующими им ординатами из ‑ окрестности точки 
должны лежать в полосе, ограниченной двумя прямыми 
и 
(см. рис. 2.1.18).
Примеры.
1. Доказать, что 
.
Решение: , если для любого сколь угодно малого , найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство
, т. е. 
, тогда 
.
Если 
, то 
и для всех удовлетворяющих неравенству 
, а значит . Ч. и т. д.
2. Доказать, что если 
, то 
.
Решение: Для любого можно взять любое 
, тогда при , 
имеем 
. Следовательно, .
В связи с тем, что для функции одной переменной можно приближаться к по двум направлениям (слева и справа), существуют понятия левостороннего и правостороннегопределов.
Определение. Число 
называется левосторонним пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого наперед заданного числа , найдется такое число , что при 
выполняется неравенство 
.
Иначе говоря, если слева (оставаясь меньше 
), то предел функции – левосторонний, записывается в виде 
.
Определение. Число 
называется правосторонним пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого наперед заданного числа , найдется такое число , что при 
выполняется неравенство 
.
Иначе говоря, если справа (оставаясь больше ), то предел функции – правосторонний, записывается в виде 
.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
Имеют место теоремы о существовании предела функции в точке.
Теорема 1. Если существует , то существуют односторонние пределы , , которые равны между собой и равны пределу функции в точке , т. е. 
.
Теорема 2 (обратная). Если существуют равные межу собой односторонние пределы, т. е. , то существует .
Если же, 
, то 
не существует.
Пусть функция определена на интервале 
.
Определение. Число называется пределом функции при 
, если для любого наперед заданного сколь угодно малого числа найдется число 
такое, что для всех , удовлетворяющих условию 
выполняется неравенство .
 |
Иначе говоря, если
, то для всех 
или 
соответствующие значения функции 
попадают в –
окрестность точки , т.е. точки графика лежат в полосе, ограниченной прямыми и (см. рис. 2.1.19).
Если 
, то пишут 
, если 
, то пишут 
.
Рассмотрим 
– функцию двух переменных, определенную на некоторой области 
.
Определение. Пусть точка 
и – некоторое сколь угодно малое положительное число. Совокупность всех точек 
, лежащих внутри окружности с центром в точке 
и радиусом (за исключением самой точки , т.е. 
), удовлетворяющих неравенству 
, образуют – окрестность точки (см. рис. 2.1.20).
Определение. Число называется пределом функции двух переменных в точке 
, если для любого малого числа найдется число 
, такое, что для всех точек из 
– окрестности точки выполняется неравенство 
.
Обобщим понятия предела в точке для функции любого числа переменных.
Рассмотрим функцию 
переменных 
, которая определена в некоторой области – мерного пространства. Пусть точка 
; – окрестность этой точки будет представлять совокупность точек, расположенных внутри -мерного шара с центром в точке и радиусом , координаты которых удовлетворяют неравенству: 
, где 
.
Определение. Число называется пределом функции 
в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдется число , такое, что для всех точек – окрестности точки выполняется неравенство 
, где 
.
Понятия предела в точке для функций одной, двух и большего числа переменных можно получить из последнего определения как частные случаи при 
, 
, 
и т. д.
Анализируя это определение предела функции предела функции в точке 
, отметим его особенности:
– в определении не рассматривается значение функции в точке , поэтому функция может быть не определена в этой точке, но иметь в ней предел;
– о существовании предела функции в этой точке можно говорить только в том случае, если при приближении к этой точке по различным направлениям значения функции стремится к одному и тому же числу. В частности, для функции существование предела в точке 
равносильно его существованию при стремлении к по любым направлениям (например, по прямым 
, параболам 
, 
и т.д.), а для функции можно устремляться к точке по оси 
слева или справа;
– определение предела не дает способов его вычисления, оно дает возможность доказать его существование.
ЛЕКЦИЯ 2.2. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ, СВОЙСТВА. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ. ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛОВ. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. СРАВНЕНИЕ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ
Прогнозируемые результаты обучения:
· Базовые понятия:
– бесконечно малые и бесконечно большие функции, свойства,
– теоремы о пределах,
– признаки существования пределов.
– предел функции в точке,
– односторонние пределы,
– бесконечно малые и бесконечно большие функции,
– эквивалентность,
· Базовые операции:
– распознавание вида неопределенности,
– нахождение предела функции.
· Базовые методы:
– метод раскрытия неопределенности.
При чтении лекции используется создание проблемных ситуаций, активизирующих познавательную деятельность студентов, с последующим составлением опорных конспектов.
Ориентация на развитие компетенций:
ОК-5 – способность к самоорганизации и самообразованию;
ПК-1 – способность к анализу и синтезу;
ПК – 8: способность использовать информационные средства и технологии при решении задач, возникающих в ходе профессиональной деятельности;
ОПК-4 – готовность сочетать теорию и практику для решения инженерных задач.
