При приближении к предельной точке, общей для нескольких бесконечно малых функций, скорость их стремления к нулю бывает различной. Сравнение таких бесконечно малых функций привело к понятию порядка малости.
Если 
– бесконечно малая величина в окрестности точки 
, т.е. 
, то 
– бесконечно малая функция 
-го порядка малости.
Чем выше порядок малости, тем быстрее переменная стремится к нулю.
Чтобы сравнить две бесконечно малые функции надо найти предел их отношения.
Пусть 
и 
есть бесконечно малые функции при 
, т. е. и 
.
1. Если 
, то при 
быстрее, чем 
, поэтому – бесконечно малая, более высокого порядка малости.
2. Если 
, то при 
быстрее, чем , поэтому – бесконечно малая, более высокого порядка малости.
3. Если 
, то и – бесконечно малые одного порядка малости.
4. Если 
не существует, то и – несравнимые бесконечно малые.
Отметим, что таковы же правила сравнения бесконечно малых функций при 
.
Примеры.
1. Сравнить порядок функций 
и 
при 
.
и 
бесконечно малые функции одного порядка при .
2. Сравнить порядок функций 
и 
при .
– бесконечно малая более высокого порядка.
3. Можно ли сравнить функции 
и 
при ?
Рассмотрим передел 
.
Этот предел не существует при 
функции 
и 
при являются несравнимыми бесконечно малыми функциями.
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые функции.
Определение. Бесконечно малые функции и называются эквивалентными при , если 
;
это обозначается так: 
.
Пример. 
при , так как 
; 
при , так как 
.
Теорема 8. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
Доказательство:
Пусть 
и 
при . Тогда
, т.е. 
. Ч. и т. д.
Очевидно также, что 
.
Теорема 9. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая их них.
Теорема 10 (обратная). Если разность бесконечно малых функций 
и 
есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем или , то и – эквивалентные бесконечно малые.
Терема 11. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Доказательство:Докажем теорему для двух функций. Пусть 
, 
при , причем – бесконечно малая функция большего порядка малости, чем , т.е. 
.
Тогда 
при .
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.
Замена суммы бесконечно малых величин её главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.
Пример. Найти предел 
.
Решение:Так как 
, а 
(так как 
– бесконечно малая функция более низкого порядка малости чем 
) при (см. теорему 11), то 
.
Для раскрытия неопределенностей вида 
часто бывает полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
Известно, что при , 
при . Приведем еще примеры эквивалентных бесконечно малых функций.
Примеры.
1. Найдем 
.
Следовательно, 
при .
2. Покажем, что 
при .
Т.е. докажем, что 
. Действительно,
. Ч. и т. д.
Значит, при .
Важнейшие эквивалентности приведены ниже:
при 
1. 
| 6. 
|
2. 
| 7. 
|
3. 
| 8. 
|
4. 
| 9. 
|
5. 
| 10. 
в частности,
|
Примеры.
1. Найти 
.
При 
, 
, тогда
2. Найти 
.
При 
, тогда 
. Получаем 
.
3. Найти 
.
При 
, тогда
.
ЛЕКЦИЯ 2.3. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ И ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ, ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
Прогнозируемые результаты обучения:
· Базовые понятия:
– приращение аргумента,
– приращение функции,
– производная,
– частная производная,
– касательная,
– скорость и ускорение движения.
· Базовые операции:
– вычисление производной,
– применение понятия производной.
При чтении лекции используется создание проблемных ситуаций, с элементами визуализации, активизирующих познавательную деятельность студентов.
Ориентация на развитие компетенций:
ОК-5 – способность к самоорганизации и самообразованию;
ПК-1 – способность к анализу и синтезу;
ПК – 8: способность использовать информационные средства и технологии при решении задач, возникающих в ходе профессиональной деятельности;
ОПК-4 – готовность сочетать теорию и практику для решения инженерных задач.
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.
