Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые

При приближении к предельной точке, общей для нескольких бесконечно малых функций, скорость их стремления к нулю бывает различной. Сравнение таких бесконечно малых функций привело к понятию порядка малости.

Если – бесконечно малая величина в окрестности точки , т.е. , то – бесконечно малая функция -го порядка малости.

Чем выше порядок малости, тем быстрее переменная стремится к нулю.

Чтобы сравнить две бесконечно малые функции надо найти предел их отношения.

Пусть и есть бесконечно малые функции при , т. е. и .

1. Если , то при быстрее, чем , поэтому – бесконечно малая, более высокого порядка малости.

2. Если , то при быстрее, чем , поэтому – бесконечно малая, более высокого порядка малости.

3. Если , то и – бесконечно малые одного порядка малости.

4. Если не существует, то и – несравнимые бесконечно малые.

Отметим, что таковы же правила сравнения бесконечно малых функций при .

Примеры.

1. Сравнить порядок функций и при .

и бесконечно малые функции одного порядка при .

2. Сравнить порядок функций и при .

– бесконечно малая более высокого порядка.

3. Можно ли сравнить функции и при ?

Рассмотрим передел .

Этот предел не существует при функции и при являются несравнимыми бесконечно малыми функциями.

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые функции.

Определение. Бесконечно малые функции и называются эквивалентными при , если ;

это обозначается так: .

Пример. при , так как ; при , так как .

Теорема 8. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Доказательство:

Пусть и при . Тогда

, т.е. . Ч. и т. д.

Очевидно также, что .

Теорема 9. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая их них.

Теорема 10 (обратная). Если разность бесконечно малых функций и есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем или , то и – эквивалентные бесконечно малые.

Терема 11. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Доказательство:Докажем теорему для двух функций. Пусть , при , причем – бесконечно малая функция большего порядка малости, чем , т.е. .

Тогда при .

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.

Замена суммы бесконечно малых величин её главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

Пример. Найти предел .

Решение:Так как , а (так как – бесконечно малая функция более низкого порядка малости чем ) при (см. теорему 11), то .

Для раскрытия неопределенностей вида часто бывает полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

Известно, что при , при . Приведем еще примеры эквивалентных бесконечно малых функций.

Примеры.

1. Найдем .

Следовательно, при .

2. Покажем, что при .

Т.е. докажем, что . Действительно,

. Ч. и т. д.

Значит, при .

Важнейшие эквивалентности приведены ниже:

при

1.	6.
2.	7.
3.	8.
4.	9.
5.	10. в частности,

Примеры.

1. Найти .

При , , тогда

2. Найти .

При , тогда . Получаем .

3. Найти .

При , тогда

.

 

ЛЕКЦИЯ 2.3. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ И ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ, ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

 

Прогнозируемые результаты обучения:

· Базовые понятия:

– приращение аргумента,

– приращение функции,

– производная,

– частная производная,

– касательная,

– скорость и ускорение движения.

· Базовые операции:

– вычисление производной,

– применение понятия производной.

При чтении лекции используется создание проблемных ситуаций, с элементами визуализации, активизирующих познавательную деятельность студентов.

Ориентация на развитие компетенций:

ОК-5 – способность к самоорганизации и самообразованию;

ПК-1 – способность к анализу и синтезу;

ПК – 8: способность использовать информационные средства и технологии при решении задач, возникающих в ходе профессиональной деятельности;

ОПК-4 – готовность сочетать теорию и практику для решения инженерных задач.

 

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.