Признаки существования пределов

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция при предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования пределов.

Теорема 5. (О пределе промежуточной функции)

Если функция заключена между двумя функциями и , стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремиться к этому пределу, т.е. если , и , то

Доказательство:

Так как и , то для любого существуют две окрестности и точки , для всех точек которых соответственно выполняются неравенства

и .

Пусть – меньшее из чисел и . Тогда в – окрестности точки выполняются оба неравенства.

По условию , тогда .

Получаем или . Это значит, что , т.е. . Ч. и т. д.

Теорема 6. (О пределе монотонной функции)

Если функция монотонна и ограничена при или при , то существует соответственно её левый предел или её правый предел .

Теорема 7. (Вейерштрасса)

Ограниченная монотонная последовательность , , имеет предел.

Заметим, что теорему 7 можно считать следствием теоремы 6.

Замечательные пределы

Первым замечательным пределом называется предел вида

(2.2.1)

Доказательство:

Для доказательства формулы (2.2.1) рассмотрим круг радиуса с центром в точке .

Пусть – радиус вектор точки , лежащей на окружности радиуса с центром в точке , образующий угол с осью , дуга численно равна центральному углу (см. рис. 2.2.2).

На рис.2.2.2 видно, что площадь треугольника меньше площади сектора , которая в свою очередь меньше площади прямоугольного треугольника , т. е.

Так как , то имеем

Разделим все части полученного двойного неравенства на , получаем или .

Так как функции и четные, то полученные неравенства справедливы и при . и .

Тогда по признаку (о пределе промежуточной функции) существования предела (см. теорему 5 п. 2.2.3) . Ч. и т. д.

Примеры.

Вторым замечательным пределом называется предел вида

(2.2.2)

или

. (2.2.3)

Доказательство:

Для доказательства формулы (2.2.2) рассмотрим прежде предел числовой последовательности , при .

Докажем, что эта последовательность удовлетворяет теореме Вейерштрасса (см. теорема 7 п. 2.2.3), т.е. имеет предел и он равен , иначе говоря

. (2.2.4)

Докажем, что последовательность возрастающая, а значит монотонная, и что она ограничена.

По формуле бинома Ньютона

Полагая , , получим

т. е.

(2.2.5)

Из последнего равенства следует, что с увеличением число положительных слагаемых увеличивается, число убывает, поэтому величины , , возрастают, поэтому последовательность – возрастающая, при этом

. (2.2.6)

Покажем, что последовательность – ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (2.2.5) на единицу; правая часть увеличится, получим неравенство