Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция 
при 
предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования пределов.
Теорема 5. (О пределе промежуточной функции)
Если функция 
заключена между двумя функциями 
и 
, стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремиться к этому пределу, т.е. если 
, 
и 
, то
.
Доказательство:
Так как и , то для любого 
существуют две окрестности 
и 
точки 
, для всех точек которых соответственно выполняются неравенства
и 
.
Пусть 
– меньшее из чисел и . Тогда в – окрестности точки выполняются оба неравенства.
По условию , тогда 
.
Получаем 
или 
. Это значит, что 
, т.е. 
. Ч. и т. д.
Теорема 6. (О пределе монотонной функции)
Если функция монотонна и ограничена при 
или при 
, то существует соответственно её левый предел 
или её правый предел 
.
Теорема 7. (Вейерштрасса)
Ограниченная монотонная последовательность 
, 
, имеет предел.
Заметим, что теорему 7 можно считать следствием теоремы 6.
Замечательные пределы
Первым замечательным пределом называется предел вида
(2.2.1)
Доказательство:
Для доказательства формулы (2.2.1) рассмотрим круг радиуса 
с центром в точке 
.
Пусть 
– радиус вектор точки 
, лежащей на окружности радиуса 
с центром в точке 
, образующий угол 
с осью 
, дуга 
численно равна центральному углу (см. рис. 2.2.2).
На рис.2.2.2 видно, что площадь треугольника 
меньше площади сектора , которая в свою очередь меньше площади прямоугольного треугольника 
, т. е.
.
Так как 
, то имеем
.
Разделим все части полученного двойного неравенства на 
, получаем 
или 
.
Так как функции 
и 
четные, то полученные неравенства справедливы и при 
. 
и 
.
Тогда по признаку (о пределе промежуточной функции) существования предела (см. теорему 5 п. 2.2.3) . Ч. и т. д.
Примеры.
1. 
2. 
.
Вторым замечательным пределом называется предел вида
(2.2.2)
или
. (2.2.3)
Доказательство:
Для доказательства формулы (2.2.2) рассмотрим прежде предел числовой последовательности 
, при 
.
Докажем, что эта последовательность удовлетворяет теореме Вейерштрасса (см. теорема 7 п. 2.2.3), т.е. имеет предел и он равен 
, иначе говоря
. (2.2.4)
Докажем, что последовательность возрастающая, а значит монотонная, и что она ограничена.
По формуле бинома Ньютона
.
Полагая 
, 
, получим
т. е.
(2.2.5)
Из последнего равенства следует, что с увеличением 
число положительных слагаемых увеличивается, число 
убывает, поэтому величины 
, 
, 
возрастают, поэтому последовательность 
– возрастающая, при этом
. (2.2.6)
Покажем, что последовательность 
– ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (2.2.5) на единицу; правая часть увеличится, получим неравенство
.
Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
.
Сумму в скобке найдем по формуле суммы 
членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с 
и 
:
.
Поэтому
. (2.2.7)
Итак, последовательность – ограничена, при этом для 
выполняются неравенства (2.2.6) и (2.2.7):
.
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность , , имеет предел, обозначенный : 
. Ч. и т. д.
Число называется неперовым числом. Число иррациональное, его приближенное значение равно 
. Число принято за основание натурального логарифма.
Докажем теперь что к числу стремится и функция 
при 
: 
.
1. Пусть 
.
Каждое значение заключено между двумя положительными целыми числами: 
, где 
– это целая часть числа . Отсюда следует 
, 
, поэтому
.
Если , то 
. Поэтому согласно формуле (2.2.4), имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов (см. теорему 5 п. 2.2.3)
(2.2.8)
2. Пусть 
.
Сделаем подстановку 
, тогда 
и при , 
. Получаем 
т. е.
(2.2.9)
Из равенств (2.2.8) и (2.2.9) вытекает равенство (2.2.2), т.е.
. Ч. и т. д.
Докажем равенство (2.2.3) 
: выполним подстановку 
, тогда 
и при 
, 
. Получаем 
. Ч. и т. д.
Примеры.
1. 
, т.к. 
, 
, то окончательно получим 
2. 
,
т.к. 
то окончательно получим 
3. 
Выполним подстановку 
, тогда 
и при 
, 
.
Получаем
.
Используя прием, рассмотренный в приведенных выше примерах можно найти множество других пределов.
При вычислении пределов вида 
где 
возможны варианты.
1. Если 
то 
.
2. Если 
то 
.
