Таралу орталығы түсінігі

Таралу орталығығының координатасы сандық осьтегі кездейсоқ шама күйін көрсетеді және бірнеше тәсілмен табылады. Анағурлым фундаментальды болып симметрия орталығы табылады, яғни, осындай Х_М нүктесін х осьінде табу, оң және сол жағыныа да кездейсоқ шама мәні бірдей және 0,5-ке тең.

 

Хм нүктесін медиана атайды немесе 50 %-тік квантилен атайды. Оның кездейсоқ шамада таралуын табу үшін тек бастапқы нөлдік мезет қажет.

Таралу орталығын таралудың ауырлық орталығы ретінде анықтауға болады, яғни, Х нүктенсі секілді, оған қатысты геометриялық фигура мезетінің иілуі р (х) қисығы нөлге тең:

 

Х=M_K=а₁ =М =

 

Бұл нүкте математикалық күту деп аталады. Ескерте кету керек, кей таралуларда, мысалы Коши таралуында МК болмайды, ал оны анықтайтын интеграл ырылдады.

Симметриялық қисықта р(х) орталық ретінде үлгі абсциссасы қолданылады, яғни, Х_М таралу максимумы. Дегенмен, үлгісі жоқ таралу болады, мысалы бірдей өлшемді. Бір максимуммен таралатынды номодальды деп атайды, екеуімен екімодальді және т.б. Олардың ішінде орта бөлігінде максимум емес, минимум орналасқандарын антимодальды деп атайды.

Екі модальды тараулар үшін орталығы майысу ортасы түрінде бағалау қолданылады:

 

Х_с=(X _с1+Х _с2)/2

 

Мұндағы X_с1, Х _с2 – майысулар, яғни таралу өзінің максимумына жететін нүкте абсциссалары.

Шектелген таратулар үшін (бірдей өлшемді, трапецендальді, арксинусондальды және т.б.) өлшем орталығы түрінде бағалау қолданылады:

 

Х_р=(Х₁ +Х₂) / 2

 

Мұндағы Х_1,Х₂- таратуға сәйкес вариациялық қатардадың бірінші және соңғы мүшесі.

Орталықтың түрлі бағалаулары түрлі тиімділікке ие. Тәжірибе мәліметтерін стататистикалық өндеуде олардың ішіндегі анағурлым тиімдісін қолдану қажет, яғни минимальді дисперцияға ие бағаны. Бұл Х_ц анықтамасындағы қателік ОКА-ды дұрыс емес бағалау, сенімді интервал шекарасы, эксцесс, контрэксцесс, таралу түрі және т.б. яғни энтропилықтан басқа барлық бағалауларды.

Өлшеуде кеткен уақыт шығыны көзқарасынан түрлі бағалау тиімділіктің білікті сараптамасы келтірілген. Олар ереже секілді келтірілген өлшем санына пропорционал, сондықтан Х_ц бірдей дисперсия бағасына жету үшін қажет П есептеу саны бойынша әр түрлі бағаларды салыстыру мақсатқа сай. Мысалы МК мен Лаплас таралуы үшін медиананы қатынасы:

Д (Х) / d (Х_М)=2 Осыдан кейін Х_М секілді екі есеге тиімді, Х-ге қарағанда, өлшеудің бірдей қателігін алу үшін, бастапқы мәліметті таңдауға екі есе аз көлем қажет болады.

Контрэксцесі К<0,515 өте жоғары таралулар үшін координата ортасын Х_М Медианасымен бағалау, МК Х-ке қарағанда тиімдірек (қалыпты таралу үшін к=0,577 екенін ескертеміз). Тегіс жоғары және екі моральді таралу үшін Х_М медиана секілді ортасын бағалауда нөлге дейін түседі. Х түріндегі таралу ортасын бағалау шартсыз тиімді, ал шектелген таралулар (бірдей өлшемді, трапецендальді, арксинусондальді, үш бұрыштан өзгесі)- тәжірибелік берілген Х_Р ортасы турінде.

Таралу ортасын бағалады тандау кезінде Р-ның тиімділігі өнделетін бастапқы берілгендер бірегейлігінде ауытқуна сезімталдығын қабылдау үшін қажет, ол бақылау орталығыныа едәуір ажыратылу бойынша анықталады. Х түріндегі бағалау да ауытқұдан әлсіз сақтандырылған. Ол - ге әлсіз, мұнда n- ның мүмкін өлшемі шектелмеген уақыттағы бақылау саны. Ауытқұдан сақтандырылған болып квантильді бағалау, яғни Х_М медианасы мен майысу ортасы Х_С, өйткені олар ауытқу координатасына тәіелді емес.

 

Таралу моменті

 

Барлық моменттер орташа мәнге ие, координаттың басынан саналатын шама орташаланса, моментті бастапқы деп атайды, ал егер таралу ортасынан басталса, орталық деп аталады. Бастапқы және орталық моменттер r – ге ретте формуламен анықталады.

 

Нөлдік бастапқы момент бірге тең. Ол таралу тығыздығын мөлшерлеу жағдайын беру үшін қолданылады.

 

Нөлдік реттегі бастапқы момент көмегімен таралу медианасы түсінігі енгізіледі. Бірінші бастапқы момент – кездейсоқ шама МК:

 

М_Х=а_{1 =} М =

 

Өлшеу нәтижелері үшін ол өлшенетін шаманың нағыс мәнінің бағалау ретінде болады. Кездейсоқ қателіктің бастапқы және орталық моменттері өзара сәйкес келеді және орталық моменттермен де өлшеу нәтижесімен сәйкес келеді: 2r =Mr = Mr , өйткені МК кездейсоқ қателігі нөлге тең. Сондай-ақ ескеретініміз бірінші орталық момент нөлге тең.

Маңызды мәні екінші орталық момент ие:

Ол дисперсия деп аталады және МК-ге қатысты жоғалу кездейсоқ шаманың сипаттамасы болады. Жоғалу өлшемі ретінде айтарлықтай жиі орташа квадраттық ауытқу қолданылады,

= D

Ол да МК секілді өлшемге ие. Мысал ретінде 6.3 –те ОКА–ң әр түрлі мәндерінде қалыпты таралу түрі көрсетілген.

Математикалық күту мен дисперсия анағұрлым көп қолданылатын моменттер болып табылады. Толығырақ сипаттау жоғары реттегі моменттер қолданылады.

 

 

9.3 – сурет. Х₀=5 және ОКА=0,5;1;2 және 5 болғандағы қалыпты таралу түрі.

Үшінші орталық момент

 

М_{3 =}

 

Ассиметрия сипаттамасы ретінде немесе таралу ауытқуы –і болып қызмет атқарады. Оны қолданып ассиметрия коэффициенті нөлге тең. Ассиметрия коэффициентінің әр түрлі мәндеріндегі таралу заңдылықтарының түрлері 9.4 а- суретте келтірілген

 

а)

 

9.4- сурет. Таралудың дифференциалды функциясының ассиметрия коэффициенті (а) мен экццесс мәндеріндегі (б) түрі.

 

М_{4 =}

 

тегіс немесе өткір шынды таралу ситтамасы үшін қызмет етеді. Бұл қажет экцесс көмегімен суреттеледі.

Е¹= М_{4 /} ⁴ -3

Е¹ коэффициентінің мәні -2 ден -ке дейінгі диапазонда жатады. Қалыптытаралу үшін ол нөлге тең. Эксцесс жиі формуламен беріледі:

 

Оның мәні 1-ден - ге дейінгі диапазонда жатады. Қалыпты таралу үшін ол үшке тең. Экцестің әр түрлі мәндеріндегі таралудың дифференциалды функция түрі 5.4 – суретте көрсетілген.

Қолайлы болу үшін көбіне контрэкцесс қолданады К=1/ .

Контрэкцесс мәні 0-ден 1-ге дейінгі диапазонда жатады. Қалыпты зандылық үшін ол 0,577-тең.