Математикалық модельдер және қателіктер сипаттамасы

Өлшеулер нәтижелері және қателіктер кездейсоқ процестер ретінде қарастырылады, соған сай олардың математикалық суреттелуі кездейсоқ процестер (функциялар) теориясы негізінде тұрғызылады.

Кездейсоқ процесс Х(t) – бұл мәні кез – келген фиксирленген мәндерде t=t₀ кездейсоқ шама болып табылатын Х(t₀) процесс (функция) болып табылады. Тәжірибе нәтижсінде алынған процестің (функцияның) нақты түрі тарату деп аталады. Кездейсоқ функция кездейсоқ шамалар белгілері және детерминацияланған функциялардан тұрады. Аргументтердің фиксирленген мәндерінде ол кездейсоқ шамаға айналады, ал әрбір жеке тәжірибе нәтижесінде детерминацияланған функцияға түрленеді.

Жүйелі қателік құрамы өлшеу құралдарының физикалық, конструктивті және технологиялық ерекшеліктеріне, қолдану шарттарына, сонымен қатар бақылаушының жеке сапаларына байланысты болатын әсер етуші факторлардың белгілі бір функциясы болып табылады. Жүйелік қателіктер екі белгісі бойынша жіктеледі:

1) Уақытқа байланысты өзгеру сипатына қарай олар тұрақты және өзгермелі болып бөлінеді. Тұрақты - өлшеуклердің барлық сериялары ішінде өзгеріссіз қалатын қателіктер болып табылады. Өзгермелі - өлшеу процесінде өзгерістерге ұшырап отыратын қателіктер болып табылады. Олар монотонды өзгеретін, периодты және күрделі заңдылық бойынша өзгеретіндер болып бөлінеді. Егер қателік өлшеулер процесінде монотонды өсетін немесе азаятын болса, онда ол монотонды өзгеретін деп аталады. Периодты қателік деп мәні уақыттың функциясы болып саналатын қателік есептеледі. Жүйелі қателіктер анағұрлым күрделі заңдылықпен өзгере алады, ол қандай да бір сыртқы факторларға, себептерге негізделген болып келеді.

Математикалық күтім және дисперсия негізгі мінездемесі болатын таралу заңымен сипатталады.

Кездейсоқ х(t) функцияның математикалық күтімі дегеніміз әрбір t аргументінің мәні сәйкес келетін ағынның математикалық күтіміне тең болатын кездейсоқ емес функция:

 

м_x(t)=M

 

Мұндағы p(x,t) – кездейсоқ процеске сәйкес ағындағы кездейсоқ х шаманың бір өлшемді тығыздығы.

Кездейсоқ функцияның дисперсиясы деп функциясының мәні әрбір уақыт моменті үшін сәйкес келетін дисперсияға тең болатын кездейсоқ емес функцияны айтамыз, яғни дисперсия m_x(t) – қатысты жүзеге асудың тастауының сипаттамасы.

 

D_x=(t)D

 

Математикалық күтім мен дисперсия маңызды болып табылады, бірақ жеткілікті сипаттамалар болып табылмайды, яғни айта кетсек олар бірөлшемді таралу заңымен анықталынады және олар әртүрлі уақыт мәніндегі t және t¹ кездейсоқ процестің әр түрлі ағындарының арасындағы өзара қатынасты сипаттай ала алмайды.

Мұндай жағдай үшін корреляционды функция қолданылады, яғни әрбір аргументінің жұбының мәні кездейсоқ процесс ағынына сәйкес вариациясына тең болатын t және t¹ аргументтерінің кездейсоқ емес функциясы R(t, t¹):

 

R(t,t¹)=M

 

Корреляционды немесе автокорреляционды функция r=t¹-t берілген уақыт мәнімен ажыратылатын кездейсоқ функцияның лездік мәндерінің арасындағы статистикалық байланысын сипаттайды. Корреляционды функция кездейсоқ процестің дисперсиясына тең болады, егер аргументтердің теңдігі орындалса. Ол әрдайым оң мәнді болады. Практика жүзінде көбінесе нөмірленген корреляционды функция қолданылады:

 

r(t,t¹)=R(t,t¹)/

 

Ол келесі қасиеттерге ие:

- t жәнеt¹ аргументі тең болғанда, ол бірге тең болады r(t,t¹)=1

- өзінің аргументтеріне тура симметриялы r(t,t¹)= r(t¹, t)

- оның мүмкін мәндері [-1,1] диапазонында жатады, яғни / r(t,t¹)/≤1

Нөмірленген корреляционды функция мазмұны жағынан корреляция коэффициентіне ұқсас келеді, алайда ол екі аргументке тәуелді болады және оның мәні тұрақты болып табылмайды.

Стационарлы процесс дегеніміз уақыт бойынша біржақты өтетін жеке реализациялары тұрақты амплитудамен орташа функция айналасында тербелетін кездейсоқ процестерді айтамыз. Стационарлы процестің сандық қасиеттері келесі шарттармен сипатталады:

- стационарлы процестің математикалық күтімі тұрақты, яғни m_x(t)=m_x=const;

- стационарлы кездейсоқ процесс үшін ағындар бойынша дисперсия тұрақты шама болады, яғни D_x(t)=D_x=const;

- стационарлы процестің корреляционды функциясы t және t¹ аргумент мәндеріне тәуелді болмайды, яғни ол тек r=t¹-t аралығына тәуелді болады, яғни R(t,t¹)=R(r). Алдыңғы шарт берілген шарттың жеке жағдайы болып табылады, яғни D_x(t)=R(t,t¹)=R(r=0)=const.

Осыдан кездейсоқ процестің стационарлы шарты болып автокорреляционды функцияның тек r интервалына тәуелділігі болып табылады.

Кездейсоқ процестің маңызды сипаттамасы болып оның спектральды тығыздығы S(w) табылады. S(w) спектральды тығыздық w≥0 шартта кездейсоқ процестің жиілікті жиынтығын сипаттайды және бірлік жиілік сызығынан өтетін кездейсоқ процестің орташа қуатын көрсетеді.

 

S_(w)=

 

Стационарлы кездейсоқ процестің спектральды тығыздығы жиілік функцияның теріс емес функциясы S(w)≥0 болып табылады. S(w) қисығымен көрсетілетін аудан процестің дисперсиясына пропорционал болады.

Корреляционды функция спектральды тығыздық арқылы көрсетілуі мүмкін.

 

R_(r)=

 

Стационарлы кездейсоқ процестер эрготикалық қасиетке ие болуы мүмкін. Стационарлы кездейсоқ процесс эргодикалық деп аталады, егер оның жеткілікті жалғасуының реализациясы барлық процесс реализациясының “өкілі” болып табылса.

Эргодикалық стационарлы кездейсоқ процесс үшін оның математикалық күтімі келесідегідей анықталады:

 

m_x=M

 

Бұл теңдіктің орындалуының жеткілікті шарты

LimR(r)=0

r→∞

Яғни, x(t) стационарлы кездейсоқ процестің эргодикалық шарты математиалық күтім бойынша орындалады.

Эргодикалық поцестің дисперсиясы келесі формуламен анықталынады:

D_x=D

Бұл теңдеудің орындалуының жеткілікті шарты, яғни дисперсия бойынша стационарлы процестің x(t) эргодикалығы келесідегідей орындалады:

LimR_x(r)=0

r→∞

Мұндағы R_x(r) – стационарлы кездейсоқ процестің Y(t)= корреляционды функциясы. Стационарлы эргодикалық кездейсоқ процестің корреляционды функциясы келесі формуламен анықталады:

 

R(r)=

 

Соңғы теңдеудің орындалуының жеткілікті шарты – корреляционды функция бойынша стационарлы процестің x(t) эргодикалығы мынадай болып табылады:

LimR_R(r)=0

r→∞

Мұндағы R_R(r) – стационарлы кездейсоқ процестің корреляционды функциясы

Z(t,

Өлшеу қателіктерінің математикалық үлгісін құрастыруда өлшеу жүргізу туралы және оның элементтері туралы ақпараттарды еске алу қажет, әртүрлі әдіспен және әртүрлі құралдармен жүргізілетін өлшеуге арналған математикалық үлгілерді өзара айырмашылықтары болады.

Жалпы түрде өлшеудің абсолюттік қателігін ∆(x) құрамалардың жиынтығы түрінде көрсету керек:

 

∆t=∆_x(t)+∆₀(t)+∆₀=∆_x(t)+[∆_ОВ(t)+∆_OH(t)]+∆₀

 

Мұндағы ∆_s(t) жүйелі құрастырма – бұл стационарлы емес кездейсоқ функциясы, ол тұрақты немесе инфоратөмен жиіліктегі қателікті (әртүрлі сбептерден туатын) сипаттайды.

Жүйелік қателіктің құрастырмаларының өзгеру периоды уақыттан анағұрлым көп болғандықтан, ∆_s(t) қателік шартты түрде тұрақты етіп алынады.

∆₀t) құрастырма кездейсоқ болып табылады және кең жиіліктегі спектрге ие. Осы қателіктің құрастырмасының өзгеру периоды.

Өзгеру уақытынан кіші немесе салыстырмалы болады. Ол екі құрастырмаға бөлінуі мүмкін: ∆_ОВ(t) және ∆₀(t) шамалары бір стационарлы орталық функцияға ∆(t) біріктдөрекілуі мүмкін. Осыған байланысты өлшеу қателіктерінің математикалық үлгісі келесідегідей болуы мүмкін:

∆(t) =∆_s(t)+∆_OH(t)+∆₀(t)

 

Бұл теңдеудің жеке құрастырмалары нақты өлшеу қателіктерін үлгі жасауда болмауы мүмкін. Көбінесе өлшеу қателігінің жоғарғы жиіліктегі құрастырмасын ескермеуге болады. Өлшеу қателіктерінің қарастырылған үлгілерін пайдалануы оның құрастырмаларының жиілікті спектрлі айқын болғанда мүмкін, бұл практика жүзінде қиын орындалады. Сондықтан көбінесе өлшеудің кездейсоқ қателігі кездейсоқ функциямен сипатталмайды, олар анағұрлым қысқартылған кездейсоқ шама түрінде ұсынылады. Бұл жағдайда қателікті сипаттау үшін ықтималдылық теориясы және математикалық статистика қолданылады.

Өлшеуді жүргізуге қателікті сандық жағынан жоғалу қажет, яғни өлшеу үлгісінің белгілі бір сипаттамалары мен параметрлерінінің үш тобын ажыратады:

I - өлшеу қателігінің сипаттамаларының қажетті немесе мүмкін нормасы түріндегі тапсырылатын қателіктер;

II - өлшеудің белгілі бір әдісімен орындалуының жиынтығын көрсететін қателіктер;

III - өлшеу қателігінің статистикалық бағалары жеке және тәжірибеден алынған өлшеу нәтижелерінің өлшенетін шаманың шын мәніне жақындығын көрсетеді.

Өлшеу қателігінің жүйелі құрастырмасы сипатта

- орташа квадраттық ауытқумен (ОКА) - өлшеу қателігінің жүйелі құрастырмасынан шығарылмаған;

- шектермен, мұнда өлшеу қателігінің жүйелі құрастырмасы берілген ықтималдықпен (көбінесебірге тең ықтималдылықпен) беріледі.

Кездейсоқ қателіктің сипаттамасы ретінде өлшеу қателігінің кездейсоқ құрастырмасының ОКА қолданылады және егер қажет болса нормаланған автокорреляционды функция қолданылады.

Қателік сипаттамаларының талаптары мен ұсыныстары олардың таңдалуы бойынша МИ 1317-86 “МӨЖ”. Өлшеу қателіктерінің нәтижелері мен сипаттамалары ұсыныс формалары. Өнім үлгілерінің сынаудағы пайдалану әдістері және параметрлерін бақылау.