Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница

Определим критические точки. Для этого приравняем вторую производную к нулю:

.

Это уравнение равносильно уравнению , откуда .

Производная второго порядка не существует при . В итоге получили три критические точки: , , .

На числовой оси отложим все критические точки и определим знаки второй производной аналогично тому, как это сделано в пункте 7 (рис. 12):

,

,

, .

 

При переходе через точку вторая производная меняет знак, следовательно, – точка перегиба графика функции. На интервалах и график функции является выпуклым, а на интервалах и – вогнутым. Составим таблицу исследования на выпуклость и вогнутость.

Таблица 5

х		-1
	-		+		-		+
	выпуклый		вогнутый		выпуклый		вогнутый

 

8) Вычислим значения функции в точках экстремума и перегиба:

, , .

Для более точного построения графика найдем значения функции в дополнительных точках: , .

Теперь построим график функции (рис. 13).

 

Пример 8.2. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

Решение.

1) Исходя из того, что известны области определения элементарных функций и , получаем область определения функции: : .

2) Так как функция определена только для положительных значений , то она не является ни четной ни нечетной.

3) Найдем точки пересечения с осью : или , т. е. , откуда . Точки пересечения с осью не существует, так как никогда не обращается в нуль. Поэтому график функции пересекается с осями координат в единственной точке – .

4) Данная функция непрерывна на всей области определения.

Изучим поведение функции на левом конце области определения, для этого вычислим предел:

.

Отсюда прямая (ось ) является вертикальной асимптотой к графику функции.

Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим (используя правило Лопиталя) следующие пределы:

,

.

Полученная прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика функции

5) Найдем :

.

Производная равна нулю, когда , то есть при . Производная существует на всей области определения функции . Следовательно, существует только одна критическая точка.

 

Нанесем область определения и критическую точку на числовую ось и найдем знаки производной на всех интервалах (рис. 14):

, .

Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак, то – точка экстремума функции (точка максимума). На интервале функция возрастает, а на – убывает.

6) Найдем :

.

Производная второго порядка равна нулю, если или , . Отсюда получаем: , . Так как не входит в область определения функции, то существует только одна критическая точка второго рода.

Нанесем область определения функции и критическую точку на числовую ось (рис. 15). Найдем знаки на всех полученных интервалах:

 

 

 

, .

При переходе через критическую точку производная второго порядка сменила знак, следовательно, это точка перегиба графика функции. На интервале график является выпуклым, а на – вогнутым.

7) Найдем значения функции при и :

, .

Для более точного построения графика вычислим значения функции в дополнительной точке: .

По полученным в пунктах 1–7 данным строим график функции (рис. 16).

 

 

 

 

Расчетно-графическое задание

 

Вариант 1

Задание 1. Вычислить производные заданных функций.

1.		5.
2.		6.
3.		7.
4.

Задание 2. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявной функции. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

1.		4.
2.		5.
3.

Задание 3. Найдите производную функции указанного порядка.

1) , если ; 2) , если .

Задание 4. Составить уравнение касательной, проведенной к кривой , парал­лельно прямой .

.

Задание 5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя.

1.		5.
2.		6.
3.		7.
4.		8.

Задание 6. Найти наименьшее и наибольшее значение функции в указанных промежутках.

Задание 7. Исследовать функции и построить их графики.

1.

2.

3.

Вариант 2

Задание 1. Вычислить производные заданных функций.

1.		5.
2.		6.
3.		7.
4.

Задание 2. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявной функции. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

1.		4.
2.		5.
3.

Задание 3. Найдите производную функции указанного порядка.

1) , если ; 2) , если .

Задание 4. Составить уравнение касательной, проведенной к кривой , параллельно прямой .

.

Задание 5.Найти пределы функций, используя правило Лопиталя.

1.		5.
2.		6.
3.		7.
4.		8.

Задание 6. Найти наименьшее и наибольшее значение функции в указанных промежутках.

Задание 7. Исследовать функции и построить их графики.

1.

2.

3.

Вариант 3

Задание 1. Вычислить производные заданных функций.

1.		5.
2.		6.
3.		7.
4.

Задание 2. Дифференцирование неявной функции. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

1.		4.
2.		5.
3.

Задание 3. Найдите производную функции указанного порядка.

1) , если ; 2) , если ,

Задание 4. Составить уравнение касательной, проведенной к кривой , параллельно прямой

.

Задание 5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя.

1.		5.
2.		6.
3.		7.
4.		8.

Задание 6. Найти наименьшее и наибольшее значение функции в указанных промежутках.

Задание 7. Исследовать функции и построить их графики.

1.

2.

3.

 

 

Вариант 4

Задание 1. Вычислить производные заданных функций.

1.		5.
2.		6.
3.		7.
4.

Задание 2. Дифференцирование неявной функции. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

1.		4.
2.		5.
3.

Задание 3. Найдите производную функции указанного порядка.

1) , если ; 2) , если ,

Задание 4. Составить уравнение касательной, проведенной к кривой , параллельно прямой

Задание 5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя.

1.		5.
2.		6.
3.		7.
4.		8.

Задание 6. Найти наименьшее и наибольшее значение функции в указанных промежутках.