Дифференциальное исчисление функций одной переменной 2 страница

Найти .

Решение.

Пример 4.4. Найти , если переменные и связаны соотношением

Решение.

Явно выразить одну из переменных через другую невозможно, поэтому находим производные левой и правой частей данного равенства и приравниваем их:

Далее имеем:

;

Перенося слагаемые, содержащие , в одну часть равенства, вынося за скобку, а остальные слагаемые – в другую и деля на коэффициент при , получаем:

Пример 4.5. Найти и для функции, заданной параметрически:

Решение

; ;

;
;

;

4.4. Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим показательно-степенную функцию , где , u (x), v (x) – дифференцируемые функции.

Прологарифмируем равенство , получим: (по свойствам логарифмов). Дифференцируем обе части полученного равенства как неявную функцию, помня, что y – функция от x:

откуда .

Подставляя сюда , имеем:

Этот прием нахождения производной называется логарифмическим дифференцированием.

Пример 4.6. Найти .

Решение.

Вначале прологарифмируем данное равенство

и найдем производные от обеих частей полученного равенства, приравнивая их:

Учитывая, что , имеем:

Пример 4.7. , (x > 0). Найти производную функции y'.

Решение.

или .

5. Производные высших порядков

5.1. Понятие производной высшего порядка

Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная также является функцией от x на этом промежутке. Если имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f (x) и обозначается: y'' или .

Итак,

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается: y''' или .

Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной -го порядка и обозначается: y ⁽ⁿ⁾ или f ⁽ⁿ⁾(x). Итак,

f ⁽ⁿ⁾(x) = (f ^{(n -1)}(x)) '.

Производные y'', y''',... называются производными высших порядков.

Пример 5.1. . Найти и .

Решение.

= = ,

= – ,

= = ,

= = = .

Пример 5.2. Найти производную n -го порядка для функции .

Решение.

По аналогии находим: .

5.2. Производные высших порядков от функций,
заданных параметрически

Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически на интервале Т:

Найдем . Известно, что = = (п. 4.3), поэтому

= = = = .

Аналогично будет вычисляться и т. д.

Пример 5.3. Найти и для функции, заданной параметрически:

Решение.

;

Пример 5.4. Функция y от x задана параметрически уравнениями:

, .

Найти .

Решение.

= = = = ;

= = =- = .

5.3. Производные высших порядков от функций,
заданных неявно

Нахождение производных высших порядков от функций, заданных неявно, рассмотрим на примере.

Пример 5. 5. Найти , для функции, заданной неявно уравнением: . Вычислить y' (0), y'' (0).

Решение.

Найдем сначала y', как описано в п.4.2.

= .

Для нахождения y'' будем дифференцировать равенство , получим:

Отсюда найдем y'' и подставим найденное выражение для y': ,

y'' =– = = =

= .

Итак, y' =– ,

y'' = .

Подставим x=0 в исходное уравнение , получим:

, откуда y =1, значит,

y (0)=1; y' (0)=– ; y'' (0)= = .

6. Правило Лопиталя

Рассмотрим новый способ нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е. раскрытия неопределенностей типа и , так называемое правило Лопиталя.

Теорема Лопиталя 1 (раскрытие неопределенностей типа ). Пусть функции , определены, непрерывны и дифференцируемы в точке x ₀ и некоторой ее окрестности, причем для любого x из этой окрестности, и пусть , (следовательно, , – бесконечно малые при ). Если существует, то существует и

= . (6.1)

Пример 6.1. Найти .

Решение.

Так как при функции и , то имеем неопределенность типа . Числитель и знаменатель данной дроби непрерывны дифференцируемы и стремятся к нулю. Это означает, что можно применить правило Лопиталя:

Пример 6.2. Найти .

Решение.

Поскольку функции , g(x)=2x удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то = =0.

Замечание 1. Теорема Лопиталя справедлива и в том случае, когда функции , не определены в точке x₀, но и .

В самом деле, если доопределить , , положив , тогда , будут непрерывны в точке x ₀, а потому теорема Лопиталя будет применима к ним.

Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в том случае, когда

, .

Действительно, введя новую переменную , видим, что y→ 0 при x →¥. Тогда = = = .

Теорема Лопиталя (раскрытие неопределенностей типа ).

Пусть функции , дифференцируемы в окрестности точке x ₀, за исключением самой точки x ₀, причем , и пусть , . Если существует то существует и , причем