Дифференциальное исчисление функций одной переменной 4 страница

Исследуем найденные точки, определяя знак слева и справа от каждой из них. Результаты исследования запишем в таблицу, подобную той, которая составляется при отыскании точек экстремума (табл. 3).

 

Таблица 3

x			(0, 1)
	выпукла	нет перегиба	выпукла	точка перегиба	вогнута

 

Выполним построение (рис. 6).

 

Рис. 6

7.5. Асимптоты

При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Если , то прямая является асимптотой графика (при ). Эта асимптота параллельна оси Ox и называется горизонтальной асимптотой (рис. 7). Аналогично, прямая является асимптотой графика y = f (x) (при ), если .

 

 

Рассмотрим асимптоты, параллельные оси Oy.

Прямая x = x ₀ называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов , , является бесконечным (рис. 8).

 

Рис. 8

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти точки разрыва функции второго рода.

Пример 7.9. Найти вертикальные асимптоты для функции .

Решение.

Функция определена и непрерывна во всех точках числовой оси, за исключением точки x₀ = 2, в которой функция терпит разрыв,

= –¥, = +¥. Следовательно, прямая х = 2 является вертикальной асимптотой для графика y = . Кроме того, = 0 и = 0, следовательно, прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой при и при .

Рассмотрим асимптоты, которые не параллельны координатным осям (рис. 9). Будем называть их наклонными асимптотами.

Прямая называется наклонной асимптотой функции , если функцию можно представить в виде

, (7.1)

где , при .

Определим числа k и b.

Поделим обе части равенства (7.1) на и перейдем к пределу при :

Откуда:

(7.2)

Определим коэффициент .

Равенство (7.1) перепишем в виде:

Перейдем к пределу , получим.

.

(7.3)

Если хотя бы один из пределов (7.2), (7.3) не существует, то при кривая не имеет наклонной асимптоты.

Аналогично решается вопрос об асимптотах при .

Замечание. Отдельно находить горизонтальные асимптоты нет необходимости: они будут найдены при нахождении наклонных асимптот (при k =0).

Пример 7.10. Найти асимптоты линии .

Решение.

Функция определена, непрерывна на бесконечном интервале поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты. Для этого вычислим пределы (7.1), (7.3) при и при :

= = ,

так как (проверьте это по правилу Лопиталя). Отсюда следует, что при наклонных асимптот нет.

= , так как ,

отсюда . Далее, значит, b = 0.

Итак, прямая y=-x есть наклонная асимптота при для графика функции (рис. 10).

 

 

8. построение графиков функций с помощью

элементов дифференциального исчисления

При полном исследовании функции и построении ее графика

можно придерживаться следующей схемы:

1) указать область определения функции;

2) исследовать функцию на четность;

3) найти точки пересечения графика функции с осями координат;

4) определить уравнения асимптот графика функции: вертикальные и наклонные;

5) исследовать функцию на монотонность и экстремумы;

6) определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

7) произвести необходимые дополнительные исследования;

8) построить график функции.

Дадим пояснения к каждому пункту приведенной схемы.

1) Если каждому элементу по определенному правилу поставлен в соответствие единственный элемент , то говорят, что задана функция , где называется независимой переменной или аргументом.

Множество называется областью определения функции. Поэтому, чтобы найти , нужно определить множество точек действительной оси, для которых выражение имеет смысл и определяет действительные значения переменной .

2) Если для любого из симметричной области определения выполняется равенство , то функция является четной, если же выполняется равенство , то функция является нечетной.
В том случае, когда и – функция не является ни четной, ни нечетной.

График четной функции симметричен относительно оси , а график нечетной – относительно начала координат. Таким образом, график четной функции достаточно построить лишь для , а потом, используя симметрию, достроить его на оставшейся части области определения.

3) Точки пересечения графика функции с осью определяются из условия , т. е. . Точка пересечения с осью определяется из условия , значит, .

4) Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если

, или .

Прямая является наклонной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы

,

или

, .

В частности, при получаем или .

Полученная прямая является горизонтальной асимптотой графика функции .

5) Найти производную и критические точки, в которых или не существует, и которые лежат внутри области определения функции. Изобразить критические точки на числовой оси и определить знак производной на каждом интервале, слева и справа от каждой критической точки.

Если при переходе аргумента х через критическую точку :

а) меняет знак с “+” на “-”, то есть точка максимума;

б) меняет знак с “-” на “+”, то есть точка минимума;

в) не меняет знака, то в точке нет экстремума.

В промежутках где функция возрастает, где функция убывает.

Полученные результаты для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом:

1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки разбивают числовую ось и сами точки;

2. Во второй строке указываются знаки первой производной на этих интервалах;

3. В третьей строке описывается поведение функции на каждом интервале (↑ – функция возрастает, ↓– функция убывает).

6) Найти производную и критические точки, в которых или не существует, а сама функция непрерывна. Изобразить критические точки на числовой оси и определить знак производной на каждом интервале, слева и справа от каждой критической точки. Исследуемая точка х будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от неё имеет разные знаки.

Если на некотором интервале , то функция вогнута (); если на некотором интервале , то функция выпукла ().

Результаты, так же как и в п. 5 данного алгоритма для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом:

1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки второго рода разбивают числовую ось и сами точки.

2. Во второй строке указываются знаки второй производной на этих интервалах.

3. В третьей строке описать поведение функции на каждом интервале (выпукла или вогнута).

7) Необходимо вычислить значения функции в точках экстремума и в точках перегиба графика функции. Если информации для построения графика недостаточно, найти значения функции в произвольно выбранных вспомогательных точках.

По составленным таблицам нетрудно построить график функции. Для этого нужно данные таблиц перенести в декартову систему координат в подходяще выбранном масштабе.

Пример 8.1. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

Решение.

1) Областью определения функции является вся числовая ось, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль, то есть . Отсюда , , . Итак, область определения: .

2) Найдем :

.

Так как , то функция является нечетной, и её график симметричен относительно начала координат.

3) Точка пересечения с осью определяется равенством , т. е.

, .

Точка пересечения с осью определяется равенством :

,

т. е. . Итак, график функции имеет единственную точку пересечения с осями координат – начало координат .

4) Так как при и не выполняется условие непрерывности функции в точке, то эти точки являются точками разрыва функции . Причем эти точки являются точками разрыва второго рода, так как

,

и , .

Так как данная функция имеет точки разрыва второго рода (точки бесконечного разрыва функции), то существуют вертикальные асимптоты графика функции и их уравнения: и .

Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим коэффициенты в уравнении прямой :

,

.

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой при и .

5) Найдем производную :

.

Для того чтобы найти критические точки, решим уравнение: и выясним, в каких точках не существует . Уравнение равносильно уравнению или . Отсюда находим стационарные точки: , , . Производная не существует в том случае, когда знаменатель , т. е. при , . Таким образом, получили пять критических точек: , , , , .

Для нахождения экстремумов и интервалов монотонности функции на числовой прямой отметим все критические точки и определим знак производной в каждом из получившихся интервалов.

Для этого достаточно взять по одной произвольной точке из каждого интервала и вычислить значения производной (рис. 11).

 

Например: ; ;

; ; ; .

Так как при переходе через критические точки производная меняет знак, то эти точки являются точками экстремума функции. В частности, при достигается минимум функции, а при – максимум. Кроме того, на интервалах и функция возрастает, а на интервалах , и – убывает.

Полученные данные занесем в таблицу:

Таблица 4

x
	+		-		-		-		-		+
	↑	-2,6	↓		↓		↓		↓	2,6	↑

6) Найдем :