Исследуем найденные точки, определяя знак 
слева и справа от каждой из них. Результаты исследования запишем в таблицу, подобную той, которая составляется при отыскании точек экстремума (табл. 3).
Таблица 3
| x | 
| (0, 1) | 
| ||
| 
|
| 
| ||
| выпукла | нет перегиба | выпукла | точка перегиба | вогнута |
Выполним построение (рис. 6).
Рис. 6
7.5. Асимптоты
При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.
Если 
, то прямая 
является асимптотой графика 
(при 
). Эта асимптота параллельна оси Ox и называется горизонтальной асимптотой (рис. 7). Аналогично, прямая является асимптотой графика y = f (x) (при 
), если 
.
Рассмотрим асимптоты, параллельные оси Oy.
Прямая x = x 0 называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов 
, 
, является бесконечным (рис. 8).
|
Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти точки разрыва функции второго рода.
Пример 7.9. Найти вертикальные асимптоты для функции 
.
Решение.
Функция 
определена и непрерывна во всех точках числовой оси, за исключением точки x0 = 2, в которой функция терпит разрыв,
= –¥, 
= +¥. Следовательно, прямая х = 2 является вертикальной асимптотой для графика y = 
. Кроме того, 
= 0 и 
= 0, следовательно, прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой при и при 
.
Рассмотрим асимптоты, которые не параллельны координатным осям (рис. 9). Будем называть их наклонными асимптотами.
 |
Прямая 
называется наклонной асимптотой функции , если функцию можно представить в виде
, (7.1)
где 
, при .
Определим числа k и b.
Поделим обе части равенства (7.1) на 
и перейдем к пределу при :
Откуда:
(7.2)
Определим коэффициент 
.
Равенство (7.1) перепишем в виде:
Перейдем к пределу , получим.
.
(7.3)
Если хотя бы один из пределов (7.2), (7.3) не существует, то при 
кривая не имеет наклонной асимптоты.
Аналогично решается вопрос об асимптотах при .
Замечание. Отдельно находить горизонтальные асимптоты нет необходимости: они будут найдены при нахождении наклонных асимптот (при k =0).
Пример 7.10. Найти асимптоты линии 
.
Решение.
Функция 
определена, непрерывна на бесконечном интервале 
поэтому вертикальных асимптот нет.
Найдем наклонные асимптоты. Для этого вычислим пределы (7.1), (7.3) при и при :
= 
= 
,
так как 
(проверьте это по правилу Лопиталя). Отсюда следует, что при наклонных асимптот нет.
= 
, так как 
,
отсюда 
. Далее, 
значит, b = 0.
Итак, прямая y=-x есть наклонная асимптота при для графика функции (рис. 10).
8. построение графиков функций с помощью
элементов дифференциального исчисления
При полном исследовании функции 
и построении ее графика
можно придерживаться следующей схемы:
1) указать область определения функции;
2) исследовать функцию на четность;
3) найти точки пересечения графика функции с осями координат;
4) определить уравнения асимптот графика функции: вертикальные и наклонные;
5) исследовать функцию на монотонность и экстремумы;
6) определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;
7) произвести необходимые дополнительные исследования;
8) построить график функции.
Дадим пояснения к каждому пункту приведенной схемы.
1) Если каждому элементу 
по определенному правилу 
поставлен в соответствие единственный элемент 
, то говорят, что задана функция , где называется независимой переменной или аргументом.
Множество 
называется областью определения функции. Поэтому, чтобы найти , нужно определить множество точек действительной оси, для которых выражение имеет смысл и определяет действительные значения переменной .
2) Если для любого из симметричной области определения выполняется равенство 
, то функция является четной, если же выполняется равенство 
, то функция является нечетной.
В том случае, когда 
и 
– функция не является ни четной, ни нечетной.
График четной функции симметричен относительно оси 
, а график нечетной – относительно начала координат. Таким образом, график четной функции достаточно построить лишь для 
, а потом, используя симметрию, достроить его на оставшейся части области определения.
3) Точки пересечения графика функции с осью 
определяются из условия 
, т. е. 
. Точка пересечения с осью определяется из условия 
, значит, 
.
4) Прямая 
является вертикальной асимптотой графика функции , если
, или 
.
Прямая 
является наклонной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы
, 
или
, 
.
В частности, при 
получаем 
или 
.
Полученная прямая является горизонтальной асимптотой графика функции .
5) Найти производную 
и критические точки, в которых 
или не существует, и которые лежат внутри области определения функции. Изобразить критические точки на числовой оси и определить знак производной на каждом интервале, слева и справа от каждой критической точки.
Если при переходе аргумента х через критическую точку 
:
а) меняет знак с “+” на “-”, то есть точка максимума;
б) меняет знак с “-” на “+”, то есть точка минимума;
в) не меняет знака, то в точке 
нет экстремума.
В промежутках где 
функция возрастает, где 
функция убывает.
Полученные результаты для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом:
1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки разбивают числовую ось и сами точки;
2. Во второй строке указываются знаки первой производной на этих интервалах;
3. В третьей строке описывается поведение функции на каждом интервале (↑ – функция возрастает, ↓– функция убывает).
6) Найти производную 
и критические точки, в которых 
или не существует, а сама функция непрерывна. Изобразить критические точки на числовой оси и определить знак производной на каждом интервале, слева и справа от каждой критической точки. Исследуемая точка х будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от неё имеет разные знаки.
Если на некотором интервале 
, то функция вогнута (
); если на некотором интервале 
, то функция выпукла (
).
Результаты, так же как и в п. 5 данного алгоритма для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом:
1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки второго рода разбивают числовую ось и сами точки.
2. Во второй строке указываются знаки второй производной на этих интервалах.
3. В третьей строке описать поведение функции на каждом интервале (выпукла или вогнута).
7) Необходимо вычислить значения функции в точках экстремума и в точках перегиба графика функции. Если информации для построения графика недостаточно, найти значения функции в произвольно выбранных вспомогательных точках.
По составленным таблицам нетрудно построить график функции. Для этого нужно данные таблиц перенести в декартову систему координат в подходяще выбранном масштабе.
Пример 8.1. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию 
и построить ее график.
Решение.
1) Областью определения функции является вся числовая ось, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль, то есть 
. Отсюда 
, 
, 
. Итак, область определения: 
.
2) Найдем 
:
.
Так как , то функция является нечетной, и её график симметричен относительно начала координат.
3) Точка пересечения с осью определяется равенством , т. е.
, .
Точка пересечения с осью определяется равенством :
,
т. е. . Итак, график функции имеет единственную точку пересечения с осями координат – начало координат 
.
4) Так как при и не выполняется условие непрерывности функции в точке, то эти точки являются точками разрыва функции 
. Причем эти точки являются точками разрыва второго рода, так как
, 
и 
, 
.
Так как данная функция имеет точки разрыва второго рода (точки бесконечного разрыва функции), то существуют вертикальные асимптоты графика функции и их уравнения: 
и 
.
Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим коэффициенты в уравнении прямой :
,
.
Следовательно, прямая 
является наклонной асимптотой при и 
.
5) Найдем производную 
:
.
Для того чтобы найти критические точки, решим уравнение: 
и выясним, в каких точках не существует . Уравнение 
равносильно уравнению 
или 
. Отсюда находим стационарные точки: 
, 
, 
. Производная не существует в том случае, когда знаменатель 
, т. е. при 
, 
. Таким образом, получили пять критических точек: , , , , .
Для нахождения экстремумов и интервалов монотонности функции на числовой прямой отметим все критические точки и определим знак производной в каждом из получившихся интервалов.
 |
Для этого достаточно взять по одной произвольной точке из каждого интервала и вычислить значения производной (рис. 11).
Например: 
; 
;
; 
; 
; 
.
Так как при переходе через критические точки 
производная меняет знак, то эти точки являются точками экстремума функции. В частности, при 
достигается минимум функции, а при 
– максимум. Кроме того, на интервалах 
и 
функция возрастает, а на интервалах 
, 
и 
– убывает.
Полученные данные занесем в таблицу:
Таблица 4
| x | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| + | - | 
| - | - |
| - | + | |||
| ↑ | -2,6 | ↓ |
| ↓ | ↓ |
| ↓ | 2,6 | ↑ |
6) Найдем 
:
