Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке

Дисконт – разница между ценой финансового обязательства в настоящий момент и стоимостью финансового обязательства при погашении.

Дисконтирование – процесс оценки текущей стоимости суммы, которая будет получена в будущем.

Дисконтирование – процесс обратный наращению. При наращении находится наращенная стоимость S сегодняшних средств P. При дисконтировании же определяется современная (сегодняшняя, текущая) стоимость P будущего платежа S.

Таблица 2.1

Исходная сумма P	®наращение®	Наращенная сумма S
Современная стоимость P	дисконтирование	Будущий платеж S

 

Продемонстрировать дисконтирование возможно при использовании ставки наращения i, выразив из (1.12) P через S, где для простоты положим t = 0:

S = P ´ (1 + i ´ n) или P = P /(1 + i ´ n), (2.1)

где множитель

L = 1/(1 + i ´ n) (2.2)

называют коэффициентом дисконтирования. Он показывает во сколько раз современная стоимость P меньше будущего платежа S.

Банковский учет (учет векселей)

Классическая операция банковского учета заключается в том, что финансовое учреждение (банк) приобретает платежное обязательство до срока t < t_n его исполнения по цене P меньшей, чем это предусмотрено финансовым обязательством S в момент его исполнения t_n. То есть будущий платеж S приобретается досрочно по некоторой современной стоимости P(t):

P(t) = S – D(t), (2.3)

где

D(t) – величина дисконта в момент времени t.

Данный подход к определению современной стоимости будущего платежа отражает различную ценность денег в различные моменты времени. Очевидно, что по мере приближения к дате исполнения обязательства современная стоимость P(t) должна приближаться к величине будущего платежа S и в момент исполнения обязательства t_n современная стоимость P(t_n) равна величине обязательства S.

С другой стороны, чем раньше (за более долгий срок до исполнения) обязательство предъявляется к исполнению, тем меньше его стоимость. Это обусловлено тем, что раньше полученные денежные средства могут быть направлены в рост.

По аналогии со ставкой наращения i можно ввести учётную ставку дисконтирования d определенную на отрезке времени t_n – t, как отношение величины дисконта D(t) к сумме исполнения финансового обязательства S

d=D(t)/S (2.4)

и преобразовать выражение (2.3)к виду ´

P(t)=S ´ (1– d). (2.5)

При этом величина дисконта за период времени t_n – t равна D(t)=S*d,

где t – дата учёта финансового обязательства, t_n дата исполнения обязательства S.

Если в качестве периода времени t_n – t выбран год T, ставку d называют годовой дисконтной (учётной) ставкой d.

В том случае, если каждый год дисконт одинаковый D= S*d, то современная стоимость P(k) за k лет до исполнения обязательства S очевидно будет равна

P(k)=S ´ (1–d ´ k) (2.6) где d годовая ставка дисконтирования (рис.2.1).

 

S

 

D

 

D

 

P(t)

 

 

T T T

Рис. 2.1

 

Данное правило дисконтирования называют простым дисконтированием, а учётную ставку d простой учётной (дисконтной) ставкой.

 

Дисконтирование на произвольном отрезке времени.

В общем случае время t от даты учёта финансового обязательства до даты исполнения финансового обязательства произвольно и по аналогии со ставкой наращения современная стоимость будущего платежа будет иметь вид

 

P(t) = S ´ (1–d ´ t/T) (2.7)   где d является годовой учётной ставкой, T период времени (год), на котором определена учётная ставка.

С другой стороны, t можно представить как сумму целого числа лет n и периода времени t, меньшего чем год n ´ T + t, где n =1,2,3,.. целое число лет, t - нецелая часть года. Тогда выражение, определяющее современную стоимость финансового обязательства за срок n ´ T + t до погашения, будет иметь вид:

 

P(t) = S ´ (1 – d ´ (n + t/T)) (2.8) где d является годовой учётной ставкой.

 

Если период времени от момента учёта финансового обязательства до момента погашения финансового обязательства является целым числом лет n, т.е. t = 0 выражение (2.8) будет иметь вид

P(n) = S ´ (1 – d ´ n). (2.9)

 

Величина дисконта к моменту учёта финансового обязательства соответственно определится как

 

D = S - P(t) = S ´ d ´ n (2.10)

 

и равна произведению номинала обязательства S на учётную ставку d умноженные на целое число лет n срока дисконтирования.

При сроках от момента учёта финансового обязательства до момента погашения финансового обязательства меньше года выражение (2.8) принимает вид.

 

P(t) = S ´ (1 – d ´ t/T) (2.11)

 

Величина дисконта к моменту учёта финансового обязательства соответственно определится как

 

D = S-P(t) = S ´ d ´ t/T (2.12)

произведение номинала на учётную ставку, умноженные на отношение срока до погашения к периоду, на котором определёна учётная ставка.

Для процесса дисконтирования, с использованием годовой учётной ставки d можно ввести выражение для определения коэффициента дисконтирования L, показывающего во сколько раз современная стоимость меньше будущего платежа. По аналогии с (2.2) из выражения современной стоимости (2.8) получаем выражение

 

L = P/S = 1/(1 – d ´ (n + t/T)) (2.13)

 

для коэффициента дисконтирования. Очевидно, что коэффициент дисконтирования L всегда меньше единицы, поскольку современнаястоимость P всегда меньше значения будущего платежа S.

ПРИМЕР 1. Клиент банка приобрел вексель с дисконтом 2500 руб. за 45 дней до погашения. Каков номинал векселя, если при покупке простая учетная ставка составляла 3% годовых (365/365).

Решение: Номинал векселя можно определить из выражения для определения дисконта, откуда следует, что его величина есть отношение произведения дисконта на период, где определена ставка к произведению величины учетной ставки на период до погашения векселя S = D ´ T / d ´ (t ₀ – t) = 2500 ´ 365/0,03 ´ 45 = 675 925,92.

ПРИМЕР 2. Определить коэффициент дисконтирования для векселя, учтенного банком за 90 дней до погашения по простой ставке 2,5% годовых (365/360).

Решение: Коэффициент дисконтирования, равный отношению учетной стоимости векселя к его номиналу, определяется выражением 1 – d ´ (t – t ₀) = 1 – 0,025 ´ 90/360 = 0,25.

ПРИМЕР 3. Определить время покупки векселя при простой учетной ставке 5% годовых с соблюдением требования приобрести вексель за три четверти номинала (365/365).

Решение 6 Коэффициент дисконтирования по данной операции равен 3/4, с другой стороны коэффициент дисконтирования равен разности единицы и произведения учетной ставки на значение срока до погашения, отнесенное к периоду T = 365 дней, на котором определена учетная ставка, т.е. 3/4 = 1 – d ´ (t – t ₀)/ T = 1 – 0,05 ´ (t – t ₀)/365. Откуда срок до погашения в днях будет равен (t – t o)/ T = (1 – 3/4)/0,05 = 5 ´ 365 = 1 825 дней.

Упражнения

1. Определить доход банка при погашении векселя номиналом 8 400 руб. при его учете по простой ставке 4,5% за 135 дней до погашения. Ответ:239,80 руб.

2. Годовой вексель номиналом 3 600 руб. был учтен банком в середине срока по цене 2 800 руб. Определить значение простой учетной ставки, по которой банк учел вексель. Ответ: 22,22%

3. Найти величину дисконта векселя номиналом 67 500 руб. учтенного по простой учетной ставке 6% за два с половиной года до погашения. Ответ:10 125 руб.

4. Чему равен номинал векселя, если его учли по простой ставке 4% годовых за 69 дней до погашения по цене 5 750 руб. Ответ:5 793,81 руб.

5. Сколько процентов от номинала потеряет вексель в 27 500 руб. при его учете за два года до погашения по простой ставке 7,5% годовых. Ответ: 15%.

6. За какой период времени дисконт векселя номиналом 61 500 руб. достигнет величины 3 050 руб. при простой учетной ставке 11,5% годовых (365/365). Ответ: 157 дней.

7. Современная стоимость векселя при простой ставке 3,8% годовых равна 3 600 руб. и t/T = 5. Какова его современная стоимость, если учетная ставка будет равна 3%. Ответ: 3 777,77 руб.

8. Сравните доходы банка при учете векселя номиналом 15 600 руб. за 402 дня до погашения при простой годовой учетной ставке 7,5% и учете векселя в 20 000 руб. за полтора года до погашения при простой годовой ставке 8,2%. Ответ: доходы во втором случае больше в 1,9 раза.

9. Чему равен номинал векселя, если дисконт за два года до погашения составил 350 руб.при простой годовой ставке 4,6%. Ответ: 3 804,34 руб.

10. По какой простой годовой учетной ставке нужно погасить вексель номиналом 6 450 руб., чтобы за три с половиной года его современная стоимость составила 2 705 руб. Ответ: 16,59%.