Наращение по простым процентным ставкам. Погашение задолженности частями

Сьянов С. А.

Финансовая математика: Учебное пособие/ С.А. Сьянов. – Нижний Новгород: Изд-во Волго-Вятской академии государственной службы, 2006. – с.

 

ISBN 5-85152-544-4

 

Представлены основы различных финансовых расчетов в виде курса лекций.

Для студентов вузов.

 

УДК

ББК

 

ISBN 5-85152-544-4 © Волго-Вятская академия
государственной службы, 2006

Предисловие

Цель курса – познакомить с основами, с тем фундаментом, на котором построен небоскреб финансовых расчетов. Как и в любом другом вопросе, внутри финансовой математики заложена определенная внутренняя логика, управляющая движениями финансовых потоков. Чтобы ее освоить, прежде всего, требуется сформулировать что является предметом изучения, научиться «узнавать» это в потоках экономической информации, понимать какие факторы характеризуют и как они влияют. Освоив эту логику и научившись ДУМАТЬ и РАЗГОВАРИВАТЬ на языке этой логики, даже в компании высоко профессиональных финансистов вы будете выглядеть достойно.

А теперь рассмотрим примитивную ситуацию.

Остров, на нем Робинзон. Голыми руками он ловит 2 рыбы в день, столько же хватает, что бы прожить день.

Иными словами сколько ловит, столько и съедает – все заработанное проедается, т.е. производство равно потреблению. Это круг «бедности».

Как его разорвать? Необходимы нововведения.

Рыбацкая сеть позволяет ловить 5 рыб в день. Для изготовления сети необходим месяц. Этот месяц надо жить, не отвлекаясь на ловлю рыбы, и без внешнего заимствования не обойтись.

Сколько рыб надо позаимствовать? На сколько дней? Сколько может стоить такой проект?

Месяц (30 дней) надо делать сеть и жить – для этого необходимо 60 рыб.

20 дней надо ловить рыбу сетью, что бы отдать долг в 60 рыб и жить.

Займ не бескорыстный, вернуть придется больше чем 60 рыб.

То есть N дней надо ловить рыбу сетью, что бы отдать оплату за долг.

Итого – общий срок заимствования 30 + 20 + N дней.

Очевидно, что цена за предоставленный займ не может быть большей чем 3 рыбины в день. Таким образом, максимальное число рыб, которое потребуется 3 ´ (60 + 20 + N) рыб.

Знакомству с основами такого рода расчетов, только в современной жизни с современными ценностями, и призван предлагаемый курс лекций.

 

Основные Обозначения, принятые в пособии

I – процентные деньги, проценты;

S – сумма наращенных средств или будущий платеж;

P – исходная сумма;

A – современная стоимость будущего платежа;

i, i % – величина процентной ставки, ставка наращения;

k – множитель (коэффициент) наращения;

T – период начисления, период на котором определена ставка;

t – время проведения финансовой операции;

t – дробная часть периода T;

R_j – величина депозита;

p _j – вложения;

q_j – списания;

r – процентное число;

c – процентный делитель;

L – коэффициент дисконтирования;

D – величина дисконта;

d – годовая учетная ставка, ставка дисконтирования, норма дисконта;

j – эффективная ставка;

g – норма годового дохода по облигации;

i_t – ставка текущей доходности облигации;

i – ставка помещения;

P – рыночная цена облигации;

N – номинал облигации;

K – курс облигации.

основные понятия, используемые в пособии

Финансы – экономическая категория, отражающая экономические отношения в процессе создания и использования фондов денежных средств. [БЭС/ Под ред. А.Н. Азрилияна. Изд. 3. М.: Институт новой экономики, 1998].

Математика – (от греч. – mathema – наука) наука, в которой изучаются «пространственные формы и количественные отношения действительного мира» (Ф. Энгельс). [СЭС/ Гл. ред. А.М. Прохоров. Изд. 4. М.: Советская энциклопедия, 1989].

ФМ(финансовая математика) – методы финансовых расчетов, применяемых в финансовых операциях. [ Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учеб./ Академия народного хозяйства при Правительстве Российской Федерации. М.: Дело, 2002 ].

ФМ (финансовая математика) – система практически необходимых расчетов доходности финансовых, инвестиционных и торговых операций во времени с учетом инфляции, валютных курсов, процента и прочих юридических и фактических условий выполнения договоров. [Мицкевич А. Финансовая математика. М.: ОЛМА-ПРЕСС Инвест: Институт экономических стратегий, 2003].

Деньги – знаки (их металлические, бумажные или электронные носители), являющиеся мерой стоимости при купле-продажи и выполняющие роль всеобщего эквивалента, т.е. знаки, выражающие стоимость всех других товаров и обмениваемые на любой из товаров.

Капитал – ресурсы, изъятые из текущего употребления и отведенные под будущие результаты; ценность, которая в будущем принесет доход, поток доходов.

Проблема измерения потока доходов – основная задача финансовой математики и инвестиционного анализа.

Производительность капитала – процент, который он может давать.

Процент – мера цены капитала.

 

Лекция 1

Наращение по простым процентным ставкам. Погашение задолженности частями

Бизнес (по-русски – дело) требует умения правильно оценивать финансовые последствия при совершении сделок. Общее, универсальное правило в бизнесе состоит в том, что цена сбыта выше цены приобретения (независимо от того реальна или нет добавочная стоимость в содержании товара или услуги).

Деньги, денежные средства, как универсальный эквивалент материального обращения, в отличие от других универсальных человеческих ценностей, таких как красота, талант, здоровье, знания, квалификация, общение могут быть заимствованы(!) Заимствование – простейший вид финансовой сделки (операции) заключающийся в предоставлении некоторой суммы в долг, с условием возврата через какое-то время и, как правило, в большем объеме. Возврат денег в большем объеме, наращение суммы исходного долга к моменту возврата, обусловлено фактором неравноценности денег относительно различных моментов времени.

Временная ценность денег (от слова время, а не временно) является объективно существующей характеристикой денежных ресурсов в условиях рынка(!) «Время – деньги». Неравноценность денег во времени проявляется тогда, когда есть возможность их превращения в капитал, т.е. должна существовать возможность инвестиций. Иными словами – возможность изъять денежные средства из потребления и пустить их в оборот «деньги-товар-деньги», который через некоторое время вернет вложенные деньги с прибылью. Важно то, что временная ценность денег актуальна только при наличии возможности их вложения, приносящего их рост.

Таким образом, в силу различной ценности денег во времени при рассмотрении финансовых вопросов ВСЕГДА следует рассматривать величину денежных средств в привязке к моменту времени в который данная сумма средств возникает. Часто употребляют термин датированная сумма.

Процесс увеличения с течением времени значения какой-либо величины, например, задолженности или величины вклада, в финансовой математике обозначают термином «наращение».

Так в случае коммерческого заимствования денег, взятая в долг сумма P как правило должна быть возвращена в большем объёме S, то есть исходная сумма долга вырастет к моменту возврата долга. [s1]

Разница между взятой в долг суммой P и возвращенной в большем объеме суммой S называется процентными деньгами, процентом I.

Процентные деньги

Процентные деньги, или проценты I – абсолютная величина дохода от предоставления денежных средств в долг.

I = S (t) – P, (1.1)

где

S (t) – сумма возвращенных средств;

P – сумма, предоставленная в долг;

t – время на которое предоставлены деньги в долг;

I – сумма процентных денег или проценты.

Определение: процентные и деньги (проценты) равны разнице между наращенной исходной суммами.

Вот примеры некоторых финансовых операций, при которых, как правило, уплачиваются процентные деньги:

· ссуда – передача денег по договору займа на условиях возврата;

· коммерческий кредит – предоставление товара покупателю с отсрочкой его оплаты;

· помещение денег на депозит- вклад денег в банки и сберегательные кассы;

· учет векселя – досрочная выплата суммы, меньше обозначенной в векселе;

· погашение сберегательного сертификата – выплата депонируемых средств с процентами.

Финансовые операции подразумевают наличие как минимум двух сторон сделки, которые друг перед другом несут определенные финансовые обязательства. При этом должен соблюдался принцип финансовой эквивалентности, т.е. стороны должны нести эквивалентные финансовые обязательства.

Например, покупатель оплачивает рыночную цену облигации, а эмитент обязуется периодически выплачивать покупателю купонный доход и вернуть в конце срока сумму, равную номиналу облигации. При этом финансовые обязательства сторон эквивалентны и принцип финансовой эквивалентности соблюден.

Другой пример: страхователь оплачивает страховую премию, а страховщик обязуется выплатить страховую сумму, при наступлении страхового события. В отличие от первого примера, где платежи обеих сторон безусловны, платеж страховщика имеет вероятностный характер. Следовательно, финансовой эквивалентности обязательств каждой из сторон друг перед другом в данном случае нет.

Из принципа финансовой эквивалентности следует, что при обоюдном согласии сторон возможно изменение условий сделки (перенос сроков, изменение величины выплат, процентных ставок) без нарушения при этом взаимной ответственности. Соблюдение принципа финансовой эквивалентности требует определения ключевых характеристик финансовых операций и навыка разбираться во влиянии различных параметров на результат финансовой операции.

Процентная ставка

Оценка привлекательности различных финансовых операций (займа, вклада и т.п.), сравнение их между собой сталкивается с необходимостью сравнивать различные по описанию операции с различными сроками проведения, различными по величине суммами. Эту трудность можно преодолеть, определив некоторые универсальные показатели, которые смогут охарактеризовать каждую (любую) финансовую операцию. Сами показатели должны иметь количественное выражение для их сравнения для разных случаев и обладать универсальностью, независимостью от частных условий.

Рассмотрим операцию займа. Пусть сумма займа P, а S сумма, которая должна быть уплачена через время t в погашение займа, больше P на величину процентных денег I.

Рассматривая такого рода операции, предусматривающие наращение исходной суммы (наращенная сумма S = начальной сумме P плюс процентные деньги I), для удобства сравнения привлекательности операций используют понятие «нормы наращения» (нормы). Под нормой (наращения) для произвольного периода времени понимают отношение процентных денег к исходной сумме.

Однако, чаще пользуются термином процентная ставка наращения i. Ее определяют как относительную величину, не зависящую от значений абсолютных величин фигурирующих при этом средств P и S, а именно – как отношение процентных денег к первоначально вложенным, при этом обязательно оговаривают тот период времени, на котором определяется ставка:

i = (S (t) – P)/ P = I / P, (1.2)

где

i – величина процентной ставки;

I – процентные деньги, полученные в результате проведения операции.

Из (1.2) легко видеть, что величину процентных денег I можно определить как произведение ставки наращения i на исходную сумму задолженности P, которую при этом называют «базой» начисления процентов: I = i ´ P.

Определение: Ставка наращения равна отношению процентных денег к исходной сумме.

Ставка наращения i – мера, характеризующая величину процентных денег. Чем больше значение i, тем большие процентные деньги даст исходная сумма при прочих равных условиях. В этом смысле ставка наращения i является ценой возможного размещения средств, размещения приносящего процентные деньги I.

В практике финансовых расчетов встречается такие термины как «цена денег», или «стоимость средств» (равная i), что подразумевает доходы/расходы от размещения/обслуживания указанных денежных средств по указанной ставке i.

Часто пользуются еще одним показателем – коэффициентом наращения k, определяя его как отношение наращенной суммы S к первоначальной P:

k = S / P. (1.3)

То есть коэффициент наращения показывает, во сколько раз возросла первоначальная сумма.

Определение: Коэффициент (множитель) наращения равен отношению наращенной и исходной сумм.

Чтобы и дальше иметь корректное сравнение финансовых операций по величине процентных ставок i для разных по длительности операций необходимо, чтобы ставки были определены (или пересчитаны) на одинаковом периоде времени T. В качестве такого периода, как правило (если отдельно не оговорено иное), берут год, и ставки называют годовыми. Таким образом, период T (год, квартал, месяц), на котором определена ставка начисления – является временной базой начисления процентов для ставки i.

Определение: Временная база начисления ставки – период времени на котором определена ставка.