Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.

Точке пересечения фронтальных проекций прямых (рис. 3.24) соответствуют две точки А и В, из которых одна принадлежит прямой а, другая в. Их фронтальные проекции совпадают лишь потому, что в пространстве обе точки А и В находятся на общем перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет установить, какая из двух точек ближе к наблюдателю. На предложенном примере ближе точка В лежащая на прямой в, следовательно, прямая в проходит в этом месте ближе прямой а и фронтальная проекция точки В закрывает проекцию точки А. (Для точек С и Д решение аналогично).

Этот способ определения видимости по конкурентным точкам. В данном случае точки А и В- фронтально конкурирующие, а С и Д -горизонтально конкурирующие.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 3.24. Скрещивающиеся прямые

 

Лекция №3-6

Проекции плоских углов.

Угол - геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Углом между прямыми называется меньший из двух углов между лучами, параллельными этим прямым. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между прямой и её проекцией на данную плоскость.

Рассмотрим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов:

1. Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения (Теорема о проецировании прямого угла)

Рисунок 3.25. Теорема о проецировании прямого угла	Рисунок 3.26. Обратная теорема о проецировании прямого угла

Дано: Ð АВС= 90^о; [ВС]// П ₁; [АС]#П ₁.

Для доказательства теоремы продлим отрезок АС до пересечения с плоскостью П ₁ (рис. 3.25) получим горизонтальный след прямой - точку МºМ ₁, одновременно принадлежащую прямой и ее проекции. Из свойства ортогонального проецирования следует, что [ВС]// [В ₁ С ₁ ]. Если через точку М проведем прямую М Dпараллельную С ₁ В ₁, то она будет параллельна и СВ, а следовательно Ð СМD= 90^о. Согласно теореме о трех перпендикулярах Ð С ₁ МD= 90^о. Таким образом, [MD]^[А ₁ С ₁ ] и [MD]//[В ₁ С ₁ ], следовательно, Ð А ₁ С ₁ В ₁ = 90^о, что и требовалось доказать. В случае когда [АС^]П ₁ проекцией угла, согласно свойствам ортогонального проецирования, будет прямая линия.

2. Если проекция угла представляет угол 90⁰, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций (рис. 3.26).

3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна по величине проецируемому углу.

4. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.

5. Если стороны угла не параллельны плоскости проекций, то угол на эту плоскость проецируется с искажением.

Лекция №4

 

типы задач начертательной геометрии

Решение многих задач способами начертательной геометрии, в конечном счете, сводится к определению позиционных и метрических характеристик геометрических объектов. В связи с этим все многообразие задач может быть отнесено к двум группам:

1. Задачи позиционные – решение, которых должно давать ответ на вопрос о взаимном расположении геометрических объектов (в частном случае, выяснить их взаимную принадлежность) как по отношению друг к другу, так и относительно системы координатных плоскостей проекций.

2. Задачи метрические – при решении задач этой группы появляется возможность ответить на вопросы, касающиеся как внутренней метрики заданных геометрических объектов (определение расстояния между различными точками объекта и нахождения углов между линиями и поверхностями, принадлежащими этому объекту), так и определение расстояний между точками и величин углов между линиями и поверхностями, принадлежащими различным объектам.

В начертательной геометрии задачи решаются графически. Количество и характер геометрических построений при этом определяются не только сложностью задачи, но и в значительной степени зависит от того, с какими проекциями (удобными или неудобными) приходится иметь дело. При этом наиболее выгодным частным положением геометрического объекта следует считать:

· Положение, перпендикулярное к плоскости проекций (для решения позиционных, а в ряде случаев, и метрических задач);

· Положение, параллельное по отношению к плоскости проекций (при решении метрических задач).

При решении метрических задач, связанных с определением истинных размеров изображенных на эпюре фигур, могут встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть специальным преобразованиям.

Рассмотрим на примере: Определить расстояние от точки А до прямой m. Расстояние от точки до прямой - это натуральная величина перпендикуляра восстановленного из точки к прямой линии. Простейшим условием такой задачи является случай, когда прямая является проецирующей. Определим расстояние от точки А до прямой m, когда прямая является горизонтально проецирующей линией (рис. 4.1), т.е. m^ П ₁, m \\ П ₂, m \\ П ₃. Согласно, теореме о проецировании прямого угла, перпендикуляр из проекций точки А можно проводить к фронтальной и профильной проекции прямой m, при этом полученный отрезок АК - горизонталь, т.е. параллелен горизонтальной плоскости проекций и на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 4.1. Расстояние от точки до горизонтально проецирующей прямой

 

Методы преобразования ортогональных проекций

Если прямая параллельна одной из плоскостей проекций т.е. является прямой уровня, то без преобразования ортогональных проекций можно только найти проекции перпендикуляра. Пусть прямая f фронталь, т.е. f \\ П ₂ значит перпендикуляр можно проводить из проекций А ₂ к фронтальной проекции прямой m₂, на эту плоскость угол будет проецироваться без искажения (рис. 4.2). Однако полученные проекции отрезка АК не отражают истинной величины отрезка потому, что АК - отрезок прямой общего положения.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 4.2. Расстояние от точки до фронтальной прямой

Общий случай подобной задачи, когда требуется найти расстояние от точки до прямой общего положения, то даже построение проекции искомого отрезка без преобразования проекций не представляется возможным.

Сопоставление приведенных чертежей показывает, что трудности решения одной и той же задачи существенно зависят от положения геометрических объектов относительно плоскостей проекций.

В связи с этим, естественно, возникает вопрос, каким путем можно получить удобные проекции для решения поставленной задачи по заданным неудобным ортогональным проекциям.

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществлять за счет изменения взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций.

При ортогональном проецировании это достигается двумя путями:

1. Перемещение в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве - метод плоскопараллельного перемещения.

2. Перемещением плоскостей проекций в новое положение по отношению, к которому проецируемая фигура (которая не меняет положения в пространстве) окажется в частном положении - метод замены плоскостей проекций.

Лекция №4

 

Метод плоскопараллельного перемещения

Изменение взаимного положения проецируемого объекта и плоскостей проекций методом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем изменения положения геометрического объекта так, чтобы траектория движения её точек находилась в параллельных плоскостях. Плоскости носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций (рис. 4.3). Траектория произвольная линия. При параллельном переносе геометрического объекта относительно плоскостей проекций, проекция фигуры хотя и меняет свое положение, но остается конгруэнтной проекции фигуры в ее исходном положении.

а)модель		б) эпюр
Рисунок 4.3. Определение натуральной величины отрезка методом плоскопараллельного перемещения

Свойства плоскопараллельного перемещения:

1. При всяком перемещении точек в плоскости параллельной плоскости П ₁, её фронтальная проекция перемещается по прямой линии, параллельной оси х.

2. В случае произвольного перемещения точки в плоскости параллельной П ₂, её горизонтальная проекция перемещается по прямой параллельной оси х.

В зависимости от положения этих плоскостей по отношению к плоскостям проекций и вида кривой линии - определяющей траекторию перемещения точек, метод плоскопараллельного проецирования имеет следующие частные случаи:

1. Метод вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций;

2. Метод вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций;

3. Метод вращения вокруг оси, принадлежащей плоскости проекций (вращение вокруг следа плоскости)- способ совмещения.

Рассмотрим некоторые из этих способов.

Метод вращения вокруг оси перпендикулярной плоскости проекций

Плоскости носитель траекторий перемещения точек параллельны плоскости проекций. Траектория - дуга окружности, центр которой находится на оси перпендикулярной плоскости проекций. Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения АВ (рис. 4.4), выберем ось вращения перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций и проходящую через В ₁. Повернем отрезок так, чтобы он стал параллелен фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция отрезка параллельна оси x). При этом точка А ₁ переместиться в А * ₁, а точка В не изменит своего положения. Положение точки А * ₂ находится на пересечении фронтальной проекции траектории перемещения точки А (прямая линия параллельная оси x) и линии связи проведенной из А * ₁. Полученная проекция В ₂ А * ₂ определяет действительные размеры самого отрезка.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 4.4. Определение натуральной величины отрезка методом вращения вокруг оси перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций

 

Метод вращения вокруг оси параллельной плоскости проекций

Рассмотрим этот способ на примере определения угла между пересекающимися прямыми (рис.4.5). Рассмотрим две проекции пересекающихся прямых а и в которые пересекаются в точке К. Для то чтобы определить натуральную величину угла между этими прямыми необходимо произвести преобразование ортогональных проекций так, чтобы прямые стали параллельны плоскости проекций. Воспользуемся способом вращения вокруг линии уровня - горизонтали. Проведем произвольно фронтальную проекцию горизонтали h₂ параллельно оси О х, которая пересекает прямые в точках А ₂ и В ₂. Определив проекции А ₁ и В ₁, построим горизонтальную проекцию горизонтали h₁. Траектория движения всех точек при вращении вокруг горизонтали - окружность, которая проецируется на плоскость П ₁ в виде прямой линии перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали.

	а) модель		б) эпюр
Рисунок 4.5. Определение угла между пересекающимися прямыми, вращением вокруг оси параллельной горизонтальной плоскости проекций

Таким образом, траектория движения точки К ₁ определена прямой К ₁ О ₁, точка О -центр окружности - траектории движения точки К. Чтобы найти радиус этой окружности найдем методом треугольника натуральную величину отрезка КО. Продолжим прямую К ₁ О ₁ так чтобы | КО |=| О ₁ К * ₁|. Точка К * ₁ соответствует точке К, когда прямые а и в лежат в плоскости параллельной П ₁ и проведенной через горизонталь - ось вращения. С учетом этого через точку К * ₁ и точки А ₁ и В ₁ проведем прямые, которые лежат теперь в плоскости параллельной П ₁, а следовательно и угол j - натуральная величина угла между прямыми а и в.

Метод замены плоскостей проекций

Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций, достигается путем замены плоскостей П ₁ и П ₂ новыми плоскостями П ₄ (рис. 4.6). Новые плоскости выбираются перпендикулярно старым. Некоторые преобразования проекций требуют двойной замены плоскостей проекций (рис. 4.7). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 4.6). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.

Выберем новую плоскость проекций П ₄, параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П ₁. Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П ₁ П ₂ в систему П ₁ П ₄, причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А ₄ В ₄ будет натуральной величиной отрезка АВ.

	а) модель		б) эпюр
Рисунок 4.6. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций

Задача 2: Определить расстояние от точки А до прямой общего положения, заданной отрезком АВ (рис._4.7).

	а) модель		б)эпюр
Рисунок 4.7. Определение расстояния от точки до прямой общего положения методом замены плоскостей проекций

 

Лекция №5-1

 

Плоскость

Плоскость – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскость обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства плоскости:

1. Плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки;

2. Плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Плоскость в линейной алгебре - поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением 1-ой степени. Общее уравнение плоскости:

Ax+By+Cz+D=0,

где А, В, С, и D - постоянные, причем А, В и С одновременно не равны нулю.

 

Способы графического задания плоскостей

Положение плоскости в пространстве можно определить:

1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой линии (рис.5.1);

а) модель		б) эпюр
Рисунок 5.1. Плоскость заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой

2. Прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой (рис.5.2);

а) модель		б) эпюр
Рисунок 5.2. Плоскость заданная прямой линией и точкой, не принадлежащей этой линии

3. Двумя пересекающимися прямыми (рис.5.3);

а) модель		б) эпюр
Рисунок 5.3. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми линиями

4. Двумя параллельными прямыми (рис.5.4);

а) модель		б) эпюр
Рисунок 5.4. Плоскость заданная двумя параллельными прямыми линиями

 

Лекция №5-2

 

Различное положение плоскости относительно плоскостей проекций

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. Такая плоскость пересекает все плоскости проекций (имеет три следа: - горизонтальный a_П1; - фронтальный a_П2; - профильный a_П3).

Следы плоскости общего положения пересекаются попарно на осях в точках a_x,a_y,a_z. Эти точки называются точками схода следов, их можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью с двумя из трех плоскостей проекций.

Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие разноименные проекции лежат на осях (рис.5.5).

2.Плоскости перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:

2.1. Плоскость перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (^a P ₁), называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек любых фигур в этой плоскости совпадают с горизонтальным следом (рис.5.6).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 5.6. Горизонтально проецирующая плоскость

2.2. Плоскость перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (a^ П ₂)- фронтально проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости a является прямая линия, совпадающая со следом a_П2 (рис.5.7).

а)модель		б) эпюр
Рисунок 5.7. Фронтально проецирующая плоскость

2.3. Плоскость перпендикулярная профильной плоскости (^a П ₃) - профильно проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость (рис.5.8).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 5.8. Биссекторная плоскость

3. Плоскости параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельны исследуемая плоскость, различают:

3.1. Горизонтальная плоскость - плоскость параллельная горизонтальной плоскости проекций (a П ₁) - (^a П ₂,^a П ₃). Любая фигура в этой плоскости проецируется на плоскость П ₁ без искажения, а на плоскости П ₂ и П ₃ в прямые - следы плоскости a_П2 и a_П3 (рис.5.9).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 5.9. Горизонтальная плоскость

3.2. Фронтальная плоскость - плоскость параллельная фронтальной плоскости проекций (a П ₂), (a^ П ₁, a^ П ₃). Любая фигура в этой плоскости проецируется на плоскость П ₂ без искажения, а на плоскости П ₁ и П ₃ в прямые - следы плоскости a_П1 и a_П3 (рис.5.10).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 5.10. Фронтальная плоскость

3.3. Профильная плоскость - плоскость параллельная профильной плоскости проекций (a// П ₃), (a^ П ₁, a^ П ₂). Любая фигура в этой плоскости проецируется на плоскость П ₃ без искажения, а на плоскости П ₁ и П ₂ в прямые - следы плоскости a_П1 и a_П2 (рис.5.11).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 5.11. Профильная плоскость

 

Лекция №5-3

 

Следы плоскости

Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостями проекций. В зависимости от того с какой из плоскостей проекций пересекается данная, различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

Каждый след плоскости является прямой линией, для построения которых необходимо знать две точки, либо одну точку и направление прямой(как для построения любой прямой). На рисунке 5.12 показано нахождение следов плоскости α(АВС). Фронтальный след плоскости α_П2, построен, как прямая соединяющая две точки N_(АС) и N_(АВ), являющиеся фронтальными следами соответствующих прямых, принадлежащих плоскости α. Горизонтальный след α_П1 – прямая, проходящая через горизонтальные следы прямых ВС и АВ. Профильный след α_П3 – прямая соединяющая точки (α_y и α_z) пересечения горизонтального и фронтального следов с осями.

	а) модель		б) эпюр
Рисунок 5.12. Построение следов плоскости

 

Взаимное расположение прямой и плоскости

Определение взаимного положения прямой и плоскости - позиционная задача, для решения которой применяется метод вспомогательных секущих плоскостей. Сущность метода заключается в следующем: через прямую проведем вспомогательную секущую плоскость g и установим относительное положение двух прямых а и в, последняя из которых является линией пересечения вспомогательной секущей плоскости g и данной плоскости a (рис.5.13).

Каждому из трех возможных случаев относительного расположения этих прямых соответствует аналогичный случай взаимного расположения прямой и плоскости. Так, если обе прямые совпадают, то прямаяа лежит в плоскости a, параллельность прямых укажет на параллельность прямой и плоскости и, наконец, пересечение прямых соответствует случаю когда прямая а пересекает плоскость a. Таким образом возможны три случая относительного расположения прямой и плоскости: · Прямая принадлежит плоскости; · Прямая параллельна плоскости; · Прямая пересекает плоскость, частный случай – прямая перпендикулярна плоскости. Рассмотрим каждый случай.

Рисунок 5.13. Метод вспомогательных секущих плоскостей

 

Прямая линия, принадлежащая плоскости

Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат той же плоскости (рис.5.14).