Нехай 
- деяке додатне дійсне число. Наближеним значенням числа а з недостачею з точністю до 
називається число 
. Наближеним значенням числа а з надлишком з точністю до називається число 
.
Для довільного дійсного числа виконується нерівність: 
.
Нехай дано додатні дійсні числа а і b. 
і 
- їх наближені значення з недостачею, 
і 
- наближені значення з надлишком.
5. Алгебраїчні операції над додатними дійсними числами
Означення. Сумою додатних дійсних чисел а і b називається таке число а+b, яке задовольняє наступну нерівність: 
.
Справедливі наступні твердження:
1) для будь – яких додатних дійсних чисел їхня сума і снує і єдина;
2) операція додавання у множині 
комутативна й асоціативна;
3) операція додавання у множині має властивість монотонності.
Приклад. Знаючи, що 
і 
, знайти суму чисел 
з точністю до 0,0001:
Тоді 
а 
. З точністю до 0,001 сума дорівнює 3,146.
Означення. Різницею додатних дійсних чисел а і b називається таке додатне дійсне число 
, що 
.
Означення. Добутком додатних дійсних чисел а і b називається таке число аb, яке задовольняє наступні умови: 
.
Для будь – яких додатних дійсних чисел їхній добуток існує і єдиний;
Операція множення у множині комутативна, асоціативна і дистрибутивна відносно додавання, а також має властивість монотонності.
Приклад. Знайти добуток чисел 
з точністю до 0,1:
, .
Тоді 2,4393 
2,4708, а 
З точністю до 0,1 добуток дорівнює 2,4.
Ділення додатних дійсних чисел вводиться як операція, оберненна до операції множення.
Означення. Часткою додатних дійсних чисел а і b називається таке додатне дійсне число 
, що 
.
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Курс математики: Навч. посібник / В. Н. Боровик. – К.: Вища шк., 1995.
2. Математика (практикум): Навч. посібник / В. М. Кухар. – К.: Вища шк., 1989.
3. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник / В. М. Кухар. – К.: Вища шк., 1987.
4. Стойлова Л. П. Основы начального курса математики. М.: Просвещение. 1988.
Практичне заняття № 4
Тема. Виконання арифметичних дій з раціональними і дійсними числами.
Мета. Набути навички виконання арифметичних дій над раціональними і дійсними числами, застосувати закони арифметичних дій до виконання обчислень.
Література
1. Курс математики: Навч. посібник / В. Н. Боровик. – К.: Вища шк., 1995. с.172.
2. Основы начального курса математики: Учеб. пособие Л. П. Стойлова. - М. “Просвещение” 1988. С.220-229.
Студенти повинні знати:
· поняття дробу;
· поняття дійсного числа;
· означення суми, різниці, добутку, частки раціональних і дійсних чисел;
· закони арифметичних дій.
Студенти повинні вміти:
· використовувати означення суми, різниці, добутку і частки до виконання дій над раціональними і дійсними числами;
· застосовувати закони додавання і множення до виконання обчислень раціональним способом.
Хід заняття
І. Актуалізація опорних знань
1. Короткі історичні відомості про виникнення понять раціонального і дійсного числа.
2. Навести приклади задач практичного характеру, які потребують розширення поняття числа.
3. Означення дробу.
4. Основна властивість дробу.
5. Сума і різниця двох дробів (з однаковими і різними знаменниками).
6. Добуток і частка дробів.
7. Множина дійсних чисел, її властивості.
ІІ. Розв’язування вправ
1. Назвіть три дроби, рівні: 1) 
; 2) 
.
2. Скоротіть дроби 
і 
.
3. Відомо, що при будь-якому натуральному k правильна рівність 
. Чи можна по аналогії стверджувати, що 
?
4. Зведіть дроби 
, 
, 
до спільного знаменника.
5. Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні а наступні дроби не скорочуються: 1) 
; 2) 
.
6. Які цифри потрібно поставити замість *, щоб отримати правильний дріб, що не скорочується: 1) 
; 2) 
?
7. Учню було запропоновано встановити, чи можна дріб 
записати у вигляді десяткового. Розклавши знаменник цього дробу на прості множники, він отримав, що 
, і зробив висновок, що дріб неможна записати у вигляді десяткового дробу. Вчитель оцінив відповідь учня як неправильну. Чому?
8. Які з дробів 
, 
, 
, 
можна записати у вигляді десяткового дробу?
9. Дріб 
не скоротний. Чи буде скоротним дріб 
?
10. Розв’яжіть наступні задачі:
1) В цистерні було 936 л бензину. Коли перекачали 12,5% цього бензину в пусту бочку, то вона виявилася наповненою на 32,5% свого об’єму. Знайдіть об’єм бочки.
2) На фарбування 72% площі підлоги пішло 4,5 кг фарби. Скільки потрібно фарби на площу підлоги, що залишилась?
3) Завод виконав план І кварталу, виплавив 225 т металу, у ІІ кварталі план був перевиконаний на 3,2%, а в ІІІ – завод дав металу на 6,3 т більше, ніж в ІІ. На скільки процентів завод перевиконав план в ІІІ кварталі, якщо план на кожен квартал залишався однаковий?
4) Довжину прямокутної пластини зменшили на 20%, а ширину збільшили на 20%. Чи змінилася площа даної пластини? Якщо змінилася, то як?
11. Знайти значення виразів:
1) 
2) 
12. На основі залежності між компонентами і результатами дій знайти невідоме х: 
13. Подайте число 
у вигляді нескінченного десяткового дробу та поясніть, чому цей дріб є періодичним.
14. Запишіть у вигляді нескінчених десяткових дробів наступні звичайні дроби: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
15. Порівняйте значення виразів: 1) 
і 
; 2) 
і 
.
16. Запишіть у вигляді звичайного дробу:
1) 0,(43); 2) 0,(301); 3) 5,7(27); 4) 6,31(8); 5) 15,43(29).
17. Встановіть, які з наступних рівностей істинні:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
18. Розташуйте числа у порядку зростання:
0,125; 2,(7); 0,1(25); 2,78.
19. Відомо, що числа a = 3,6272…, b = 5,2814…. Знайдіть три перших десяткових знаків суми a+b.
20. Відомо, що числа х = 0,35…, у = 0,82…. Знайдіть перший десятковий знак добутку 
.
ІІІ. Самостійне розв’язування вправ
І Варіант
1. Розмістіть у порядку зростання такі числа: 1,(5); 0,(12); 2,778; 2,(778).
2. Спростіть вираз 
.
3. Розв’яжіть рівняння, використовуючи залежність між компонентами і результатом дій:
4. Виконати дії
5. Розв’яжіть задачу арифметичним способом.
Дівчинка прочитала книжку, в якій 324 сторінки, за 4 дні. За перший день вона прочитала 
всієї книжки, за другий і третій дні – по 
того, що залишилось після першого дня. Скільки сторінок прочитала дівчинка за четвертий день?
ІІ Варіант
1. Розмістіть у порядку зростання такі числа: 1,(2); 0,(21); 3,256; 3,(28).
2. Спростіть вираз 
.
3. Розв’яжіть рівняння, використовуючи залежність між компонентами і результатом дій:
4. Виконати дії 
5. Розв’яжіть задачу арифметичним способом.
За перший рік було побудовано 
всієї дороги, наступного року - 
всієї дороги, а за третій рік – решту 5 
км. Якої довжини була дорога?
ІІІ Варіант
1. Розмістіть у порядку зростання такі числа: 0,151; 2,(71); 2,1(25); 2,18.
2. Спростіть вираз 
.
3. Розв’яжіть рівняння, використовуючи залежність між компонентами і результатом дій: 
4. Виконати дії 
5. Розв’яжіть задачу арифметичним способом.
У квартирі дві кімнати. Довжина однієї дорівнює 
м, довжина іншої складає 
цієї довжини. Ширина кожної кімнати 
м. Площа цих кімнат складає 
площі всієї квартири. Чому дорівнює площа квартири?
ІV Варіант
1. Розмістіть у порядку зростання такі числа: 2,125; 2,(12); 0,3(17); 0,3178.
2. Спростіть вираз 
.
3. Розв’яжіть рівняння, використовуючи залежність між компонентами і результатом дій: 
4. Виконати дії 
5. Розв’яжіть задачу арифметичним способом.
Група туристів запланувала пройти шлях від турбази до озера за чотири дні. За перший день вони планували пройти 
всього шляху, за другий 
, що залишився, а за третій і четвертий проходити по 12 км. Яка довжина всього шляху від турбази до озера?
ІV. Підсумок. Домашнє завдання
1. Алфавіт математичної мови
Математична мова будується за певними правилами з математичних знаків, що становить її алфавіт. Знаки належать до наукових понять, які не означаються в семіотиці - науці про знакові системи. Під математичними знаками (символами) розуміють умовні позначення, якими скорочено записують математичні поняття і твердження, операції над математичними об'єктами.
Виділяють п'ять класів математичних знаків:
1) знаки об'єктів; 2) знаки операцій; 3) знаки відношень; 4) знаки відображень; 5) допоміжні знаки.
1) до знаків об'єктів відносять символи цифр десяткової і римської нумерацій, букви латинського або грецького алфавіту для позначення змінних, точок, прямих, площин, множин тощо:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, І, V, X, Д, L - знаки нумерації;
х, у, z - змінні; М, А, В, С, У, X - множини; а, b, с - елементи множин; % процент (відсоток), Ø - порожня множина;
2) знаки операцій:
"+", " - ", " ×", ": " - знаки арифметичних дій;
ах, 
- піднесення до степеня і добування кореня;
lq х, loqax - логарифмування;
[х], {х} - ціла і дробова частина числа х;
∩, U - знаки перерізу та об'єднання множин.
3) знаки відношень: =, <, >, 
, 
, 
, Î, Ï, ^, //, Û, Þ, ~, та ін.
4) знаки відображень: f, g - загальне позначення функції, відображення, S1, S0-симетрія відносно прямої, відносно центра, R - поворот навколо центра О на кут 
.
5) допоміжні знаки: круглі, квадратні та фігурні дужки, крапка, кома, крапка з комою. Вказують на порядок виконання дій, відокремлюють цілу частину від дробової, один вираз від іншого.
Сукупність логіко-математичних знаків у шкільному курсі математики називають його символікою. Знаки є вихідним матеріалом, з якого будуються за певними правилами вирази - аналоги слів і тверджень.
Під математичним словом розуміють скінченну послідовність букв математичної мови, яка має зміст. Для запису математичного речення використовують знаки відношень.
Математичний вираз - це скінченна послідовність знаків із алфавіту математичної мови. Проте не кожна послідовність знаків є математичним виразом. Наприклад, послідовність а +: // в не має смислу і тому не є математичним виразом.
2. Числові вирази
Записи, утворені зі чисел, знаків дій і дужок називаються числовими виразами. Наприклад: 3+7, 24:8, 3×2-4, (25+3)×2-17. Кожне дійсне число також являється числовим виразом. Такі вирази називаються елементарними. Якщо А і В два числові вирази, то (А) + (В), (А) - (В), (А) × (В), (А): (В) - також є числовими виразами. Якщо в числовому виразі А виконати, якщо це можливо, всі зазначені операції, то дістанемо число, яке називається значенням виразу А і позначається 
(А). Для спрощення записів числових виразів домовились:
1) елементарні вирази не брати в дужки (наприклад, пишуть так: 125+48 або 78:15);
2) не застосовувати дужки, якщо кілька елементарних виразів додаються або віднімаються, причому ці операції виконуються в порядку зліва направо (наприклад, 148+252-119);
3) не застосовувати дужок, якщо кілька елементарних виразів множаться або діляться, причому ці операції виконуються в порядку зліва направо (наприклад, 58:47-183);
4) при відсутності дужок спочатку виконувати операції множення і ділення, а потім додавання і віднімання (це дає змогу, наприклад, вираз (58:8×15)+(142×29:56) записати так: 58:8×15+142×29:56).
Порядок операцій при обчисленні значень числових виразів такий:
1. Якщо числовий вираз не містить дужок, то треба поділити його на частини, відокремлені одна від однієї знаками додавання й віднімання, та обчислити значення кожної такої частини, виконуючи множення й ділення в порядку зліва направо; після цього, замінивши кожну частину її значенням, знайти значення виразу, виконуючи операції додавання й віднімання в порядку зліва направо.
2. Якщо числовий вираз містить дужки, то треба взяти частини виразу, що містяться між лівою й правою дужками і не містять інших дужок, знайти їх значення за правилом 1 і замінити кожну таку частину її значенням, опустивши дужки, які її охоплюють.
Якщо після цього дістанемо вираз без дужок, то обчислити його значення за правилом 1. У противному разі знову застосувати правило 2.
Приклад. А - ((44:2-12)-(38×2-4×5)+22):3.
Спочатку знаходимо: 44:2-12=22-12=10 і 38×2-4×5=76-20=56.
Замінивши 44:2-12 і 38-2-4×5 їхніми значеннями, дістанемо (10×56+22):3=(560+22):3=582:3=194. Отже, (А) = 194.
Але не будь-який числовий вираз має значення. Так, вираз В = 125: (2×3 -6) числового значення не має, оскільки ділення на нуль не можливе.
3. Вирази із змінними
Розглянемо запис 2а+3. Він утворений із знаків алфавіту математичної мови: цифр 2 і 3, знаків дій додавання "+" і букви а. Якщо замість букви а підставити числа, то одержимо різні числові вирази:
Якщо а = 3, то 2×3+3;
Якщо а = 7, то 2×7+3;
Якщо а = - 4, то 2×(-4)+3.
В записі 2а+3 буква а називається змінною, а сам запис 2а+3 - вираз із змінною.
Змінну можна позначити будь-якою буквою латинського алфавіту. В початковій школі для позначення змінної, крім букв, використовують також знак □. Наприклад, пишуть 2×□+З. Таким чином, змінна - це знак (символ), який можна замінити числами. Числа, які підставляють у вираз замість змінної, називаються значеннями змінної, а множина таких чисел - областю визначення даного виразу. Замість змінної у вираз можна підставляти тільки такі її значення, при яких одержимо числовий вираз, який має зміст. Вираз із змінною позначається А(х). Читається "А від х".
Приклад 1. А(х) =3-4х. Змінна х може приймати будь-яке дійсне значення. Область визначення - R множина всіх дійсних чисел.
Приклад 2. А(х)= 4/ (х-3). При х=3 числовий вираз не має змісту. Область визначення цього виразу є множина (- 
, 3)U(3, + ).
В математиці розглядають вирази з однією, двома і т. д. змінними. А(х, у) = Зх+7у, B(x,y,z) = 6x-(2y-7z).
В початкових класах учні спочатку знайомляться з виразами 2 + 3, 7 - 4, називаючи їх сумою і різницею. Після ознайомленням з діями множення і ділення розглядають вирази 5∙9, 14:2. Учні знаходять значення числових виразів, іноді записують розв'язування текстової задачі у вигляді числового виразу, складають за даним виразом задачу. Робота з буквенними виразами зводиться до підстановки замість букв їх значень, та обчисленню значень числового виразу, який одержали.
4. Тотожні перетворення виразів. Тотожності
Два вирази А(х) і В(х) з непорожніми областями визначення називають тотожно рівними, якщо їхні області визначення збігаються і для будь-якого числа а, що належить спільній області визначення розглядуваних виразів, значення останніх при х = а рівні між собою.
Наприклад, вирази (х+1)2 і х2+2х+1 тотожно рівні, а вирази х/5 і х2 /(5х) не є тотожно рівними.
Два вирази А(х) і В(х), сполучені знаком = ("дорівнює"), називають рівністю і пишуть А(х)=В(х).
Якщо вирази А(х) і В(х) тотожно рівні, то це записують як рівність А(х)=В(х), яку називають тотожністю.
Наприклад, рівність (х+1)2=х2+2х+1 є тотожністю. Зрозуміло, що тотожністю є й будь-яка істинна числова рівність.
Іноді при розгляді питань тотожної рівності двох виразів виникає необхідність обмежувати області визначення цих виразів.
Два вирази А(х) і В(х) з непорожніми областями визначення називаються тотожно рівними на множині М якщо множина М є непорожньою підмножиною областей визначення цих виразів і для будь-якого а Î М значення розглядуваних виразів при х = а однакові.
Якщо вирази А(х) і В(х) є тотожно рівними на множині М, то записують: А(х)=В(х) при х Î М; цю рівність називають тотожністю на множині.
Вирази х/5 і х2 /(5х) тотожно рівні на множині M=R\{0}
Запис х/5 = х2 /(5х) при х Î M=R\{0} є тотожністю на множині.
На основі властивостей операцій над дійсними числами та відомих тотожностей на практиці встановлюють тотожність виразів, розуміючи тотожні перетворення даного виразу як послідовний перехід від одного виразу до іншого, що тотожно дорівнює йому.
5. Числові рівності і нерівності
Означення. Два числові вирази А і В, сполучені знаком = (дорівнює) називають числовою рівністю і позначають А=В.
Наприклад. 12×3+1=29+8; 3:(7-8)+2=2-1. Числова рівність може бути істинною і хибною.
Числова рівність А=В називається істинною тоді, коли А і В мають числові значення s (А) і s (В) та s (А) = s (В).
Означення. Два числові вирази А і В, сполучені знаком < (менше) або > (більше) називають числовою нерівністю і позначають А<В, А>В.
Наприклад. 2+3×5<8:2+49; 2×5×20-100:25>93+3×8.
Означення. Нехай а, вÎR. Кажуть, що число а менше від числа в, або число в більше ніж число а, і записують відповідно в>а, а<в, якщо існує с ÎR, що в=а+с. а<в Û в-а>0.
Кожне з цих висловлень може бути істинним і хибним. Числова нерівність А<В, А>В вважається істинною тоді і тільки тоді, коли, вирази А і В мають числові значення s (А) і s (В) та s (А) < s (В) (s (А) > s (В)).
6. Основні властивості числових рівностей
1. Рефлексивності. (" а) (а=а), аÎR.
2. Симетричності. ("а) ("в) (а=в Þ в=а), а, в ÎR.
3. Транзитивності.("а) ("в) ("с) (а=в Ù в=с Þ а=с), а, в, с ÎR.
Відношення = (дорівнює) на множині R є відношенням еквівалентності. Розглянемо це деякі властивості відношення = (дорівнює) на множині R.
1. Монотонність додавання: ("а) ("в) ("с) (а=в Þ а+с=в+с), а, в, с ÎR.
2. Правило скорочення для додавання: ("а) ("в) ("с) (а+с=в+с Þ а=в), а, в, сÎR.
3. Монотонність множення: ("а) ("в) ("с) (а=в Þ ас=вс), а, в, с ÎR.
4. Правило скорочення множення: ("а) ("в) ("с) (ас=вс Þа=в), а, в, с ÎR. с ¹ 0.
7. Основні властивості числових нерівностей
1. Нерефлексивності. ("а) (а<а), а ÎR.
2. Асиметричності. ("а)("в) (а<в Þ в<а), а, в ÎR.
3.Транзитивності. ("а)("в)("с) (а<в Ù в<с Þ а<c, а, в, с ÎR.
