В недесяткових системах числення 1 страница

Кумейко Г.М.

ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ МАТЕМАТИКИ

Частина ІІ

Модулі 3-4

 

 

Прилуки - 2012

Рекомендовано до друку рішенням методичної ради Прилуцького гуманітарно-педагогічного коледжу ім. І. Я. Франка

(Протокол № від 2012 року).

 

Рецензент

Рибалко О.О., викладач математичних дисциплін, викладач-методист;

Прилуцький гуманітарно-педагогічний коледж ім. І.Я.Франка;

 

Кумейко Г. М.

Теоретичні основи математики (частина ІІ)

 

 

У посібнику розглядаються основні питання курсу «Теоретичні основи математики», який визначений нормативною частиною навчального плану зі спеціальності 5. 01010201 Початкова освіта. Посібник уміщує інформаційний матеріал з тем курсу, зміст практичних занять, завдання для самостійної роботи студентів.

У додатках пропонується: витяг з нового Державного стандарту початкової загальної освіти, модульні контрольні роботи, тематичний план курсу, критерії оцінювання успішності студентів, робоча програма для студентів з усіх тем курсу.

Посібник адресовано студентам педагогічних ВНЗ I-II рівнів акредитації та викладачам теоретичних основ математики.

 

 

Теоретичні основи математики (частина ІІ). Навчально-методичний посібник /

Укл. Г. М. Кумейко. – Прилуки, 2012. – 129? с.

 

 

Прилуки - 2012

Вступ

Сучасний період розвитку суспільства, оновлення всіх сфер його соціального й духовного життя, бурхливий розвиток освітнього простору, хвиля інноваційних перетворень, що охопила світовий простір, потребують якісно нового рівня освіти, який відповідав би міжнародним стандартам, та ініціюють у системі освіти всебічний розвиток творчо обдарованого мобільного фахівця. Забезпечення якості освіти - першочергове завдання підготовки студентів, яке пов'язане не лише з кінцевим результатом, а й з процесом навчання у ВНЗ І-ІІ рівнів акредитації.

Майбутній вчитель початкової школи повинен мати достатньо високий рівень професійної компетентності, що характеризується поєднанням теоретичних знань із практичною підготовленістю і включає здатність майбутнього фахівця здійснювати всі види професійної діяльності згідно з освітніми стандартами напряму і спеціальності.

Математика – один з обов’язкових предметів, що вивчаються у початкових класах. Визнання математики обов’язковим навчальним предметом загальноосвітньої школи безпосередньо пов’язане з її роллю в науково-практичній діяльності людства.

Знання основ початкового курсу математики повинно не тільки забезпечити підготовку майбутнього вчителя безпосередньо до практичної діяльності, а й бути базою для подальшої освіти.

У процесі вивчення теоретичних основ математики майбутні вчителі повинні глибоко і міцно засвоїти основні поняття курсу початкової математики, що сприятиме також формуванню їхніх професійних навичок.

Безпосередньою умовою успішного засвоєння програми даного предмета повинна бути професійно-педагогічна направленість його вивчення, реалізована на основі встановлення зв’язків з курсом математики І-ІV класів школи та курсом методики викладання математики.

Пропонований навчальний посібник передбачає надати допомогу студентам педагогічних коледжів у оволодінні теоретичними основами математики через запропонований зміст теоретичного матеріалу та систему практичних занять.

Зміст посібника відповідає навчальній програмі курсу.

Практичні заняття, передбачені програмою, мають на меті розширити й поглибити теоретичні знання з предмета, виробити практичні уміння та навички виконання вправ, сприяти формуванню правильних уявлень про математику, удосконалювати логічну культуру студентів.

Кожне практичне заняття являє собою систему завдань, які передбачають виявлення рівня сформованості теоретичних знань студентів, уміння застосовувати їх в практичній діяльності. Запропоновані завдання до кожного практичного заняття різноманітні за характером: одні сприяють засвоєнню студентами теоретичних знань з основ початкового курсу математики, інші – розвитку логічного мислення і математичних здібностей, формуванню професійних умінь і навичок.

Особливе місце в курсі «Теоретичні основи математики» відведено самостійній роботі студентів, завданнями якої передбачено формування у майбутніх освітян вміння працювати з літературою, самостійно знаходити раціональні шляхи до розв’язання завдань.

До кожної теми курсу розроблено питання для контролю та самоконтролю знань, тестовий контроль.

Вивчення програмового матеріалу 3-4 модулів сприятиме формуванню у студентів засвоєння теоретичних знань з розділів та формування практичних умінь та навичок розв’язування задач з основ початкового курсу математики, підготуватись до організації та керування процесу навчання математики молодших школярів у школі I ступеня.

 

 

 

 

МОДУЛЬ 3

1. Запис і читання чисел в десятковій системі числення

Означення. Системою числення (нумерації) називається сукупність правил і знаків або слів, за допомогою яких можна зобразити письмово або назвати будь-яке натуральне число.

Натуральне число, зображене в певній системі числення називається системним або (систематичним) числом.

У десятковій системі числення для запису будь-якого числа використовують десять цифр: 0, 1, 2, …, 9. За основу лічби взято число десять. Будь-яка скінчена послідовність цифр означає деяке число, причому значення цифри залежить від того, яку позицію (місце) вона займає в запису числа; в запису числа кожна цифра означає відповідну кількість розрядних одиниць. Перші десять одиниць називаються одиницями першого розряду, десять одиниць першого розряду становлять одну одиницю другого розряду – десяток; десять одиниць другого розряду – сотню, десять сотень – одну одиницю четвертого розряду – тисячу і т. д. Кожні три послідовні розряди, починаючи з першого, утворюють клас. Три розряди класу називаються одиницями, десятками і сотнями цього класу. За допомогою усної десяткової нумерації називають будь-яке натуральне число. Виходячи з позиційного принципу десяткової нумерації, кожне натуральне число можна подати у вигляді суми добутків чисел, які зображуються цифрами, на відповідні степені числа 10. Наприклад, 2017 = 2×10³ + 0×10² + 1×10+7.

Якщо позначити цифри через а з індексами, що дорівнюють показникам відповідних степенів десяти, то будь-яке натуральне число в десятковій системі зобразиться у вигляді суми розрядних одиниць:

a = a_n×10ⁿ + a_n-1×10 ^n-1 + …+ a₂×10² + a₁.10 + a₀, a = a_n a _n-1 … a₂ a₁ a₀.

 

Розглянемо назви класів і розрядів.

Номер класу	Назва класу	Номер розряду	Назва розряду
I	Одиниці		Одиниці Десятки Сотні
II	Тисячі		Одиниці Десятки Сотні
III	Мільйони		Одиниці Десятки Сотні
IV	Мільярди (більйони)		Одиниці Десятки Сотні
V	Трильйони		Одиниці Десятки Сотні
VI	Квадрильйони		Одиниці Десятки Сотні
VII	Квінтильйони		Одиниці Десятки Сотні
VIII	Сектильйони		Одиниці Десятки Сотні
IX	Септильйони		Одиниці Десятки Сотні
X	Октильйони		Одиниці Десятки Сотні

 

2. Порівняння чисел за їх записом в десятковій системі числення

Нам відомо декілька способів порівняння натуральних чисел, десятковий запис натуральних чисел дає ще один спосіб. Якщо числа a i b – натуральні числа, які записані в десятковій системі числення, тобто

a = a_n×10ⁿ + a_n-1×10 ^n-1 + …+ a₂×10² + a₁.10 + a₀,

b = b_m×10ⁿ + b_m-1×10 ^n-1 + …+ b₂×10² + b₁.10 + b₀,

то число а менше за число b, якщо виконується одна з умов:

1. n < m (число розрядів у запису числа a менше, ніж в записі числа b);

2. n = m, але a_n < b_m;

3. n = m, a_n = b_m, …, a_k = b_k, але a _k-1<b _k-1.

Розглянемо приклад 3 456 < 12 349, тому, що в записі числа 3 456 цифр менше, ніж в записі числа 12 349. 3 456 < 4 579, так як при однаковій кількості цифр в записі чисел цифра старшого розряду в числі 3 456 менше, ніж цифра того ж розряду в числі 4 579. 3 456 < 3 476, так як при однаковій кількості цифр в записі чисел і однакових цифрах, які позначають тисячі і сотні, цифра десятків у числі 3 456 менша ніж цифра того ж розряду в числі 3 476.

 

3. Алгоритм додавання в десятковій системі числення

Якщо числа а і b одноцифрові, то для обчислення суми цих чисел досить порахувати число елементів двох множин, які не перетинаються і які мають відповідно а і b число елементів. Усі можливі суми, які дістають при додаванні одноцифрових чисел, утворюють таблицю додавання одноцифрових чисел, її запам'ятовують і щоразу використовують при додаванні таких чисел.

При додаванні багатоцифрових чисел використовують правило додавання одноцифрових чисел. Такі числа подають (або уявляють) у вигляді сум степенів числа 10 з коефіцієнтами, якими є цифри даних чисел. Наприклад, 1917 + 1991 = (1 × 10³ + 9 × 10² + 1 × 10 + 7) + (1 × 10³ + 9 × 10² + 9 × 10 + 1). Згрупуємо коефіцієнти відносно однакових степенів числа 10 і додамо їх, згідно з таблицею додавання одноцифрових чисел. Якщо сума коефіцієнтів менша від 10, то записують її в тому ж розряді; якщо сума більша від 10, то число її одиниць записують у тому ж розряді, а число десятків додають до вищого розряду. Так, 1917 + 1991 = (1 + 1) × 10³ + (9 + 9) × 10² + (1 + 9) × 10 + (7 + 1) = 3908. Для того щоб відповідні одиниці розрядів відразу згрупувати, треба числа записати стовпцем і виконати додавання цифр відповідних розрядів:

+ 1917

1991

У загальному вигляді алгоритм додавання багатоцифрових чисел, записаних у десятковій системі числення, такий:

· другий доданок записують під першим так, щоб відповідні розряди знаходилися один під одним;

· додають цифри розряду одиниць; якщо сума менша ніж 10, її записують у розряд одиниць результату і переходять до додавання цифр наступного розряду;

· якщо сума цифр одиниць більша або дорівнює 10, то число її одиниць записують у розряд одиниць результату і додають одиницю до цифри десятків першого доданку, після чого переходять до додаван­ня в розряді десятків;

· аналогічні дії повторюють відносно десятків чисел, потім сотень і т. д.

4. Алгоритм віднімання в десятковій системі числення

Віднімання числа b від числа а, які є в таблиці додавання, зводиться до знаходження такого числа с, щоб а = b + с. Віднімання інших чисел виконують стовпчиком, застосовуючи таблицю додавання одно­цифрових чисел. Теоретичні основи цього алгоритму такі. Нехай від числа 453 треба відняти 231. Запишемо ці числа у вигляді степенів 10 і використаємо закони арифметичних операцій, а також таблицю додавання однозначних чисел. Тоді 453 - 231 = (4 - 2) × 10² + (5 - 3) × 10 + (3 - 1) = 222. Як бачимо, віднімання таких чисел зводиться, до віднімання одноцифрових чисел у відповідних розрядах за допомогою таблиці додавання. Якщо в деякому розряді зменшуваного одноцифрове число, менше від числа в тому ж розряді від'ємника, то до цього числа додають 10, зменшивши на одиницю цифру вищого розряду. Після чого віднімають число відповідного розряду від'ємника. Наприклад, нехай від 451 треба відняти число 243. Маємо 451 - 243 = (4 - 2) × 10² + (5 - 4) × 10 + (1 - 3) = (4 - 2) ×10² + (4 - 4) × 10 + (11 - 3) = 208.

Для виконання віднімання стовпчиком підписують під зменшуваним від'ємник так, щоб відповідні розряди знаходилися один під одним, і виконують віднімання, згідно з розглянутими випадками:

453 451

231243

222 208

Таким чином, віднімання чисел зводиться до порозрядного віднімання одиниць, десятків, сотень і т. д., якщо цифри зменшуваного більші за відповідні цифри від'ємника. Якщо в якомусь розряді зменшуваного цифра менша від цифри відповідного розряду від'ємника, то беруть одиницю наступного вищого розряду, роздроблюють її в одиниці даного розряду, додають ці одиниці до одиниць даного роз ряду і віднімають відповідні одиниці розряду від'ємника.

 

5. Алгоритм множення в десятковій системі числення

Якщо числа а і b одноцифрові, то, щоб знайти їх добуток, достатньо перелічити число елементів декартового добутку множин А і В, для яких n(А)= а, n(В)= b. Але, щоб кожний раз, виконуючи множення таких чисел, не звертатись до множин і лічби, всі добутки, які одержуються при множенні двох одноцифрових чисел запам’ятовують. Всі такі добутки записують в спеціальну таблицю, яка називається таблицею множення одноцифрових чисел.

Якщо числа багатоцифрові, то їх множать “стовпчиком”. Множення багатоцифрового числа на одноцифрове зводиться до використання таблиці множення, розподільного закону множення відносно додавання і правила додавання чисел.

Наприклад, 453 · 4 = (4 · 102 + 5 · 10 + 3) · 4 = (4 · 102) · 4 + (5 · 10) · 4 + 3 · 4. Користуючись переставним і сполучним законами множення, дістаємо: (4 · 4) · 102 + (5 · 4) · 10 + (3 · 4) = 16 · 102 + 20 · 10 + 12 = (10+6) · 102 + 2 · 10 · 10 + (10 + 2) = 1 · 103 + 6 · 102 + 2 · 102 + 1 · 10 + 2 = = 1 · 103 + (6 + 2) · 102 + 1 · 10 + 2 = 1 · 103 + 8 · 102 + 1 · 10 + 2 = 1812.

Множення багатоцифрового числа на одноцифрове зводиться до множення одноцифрових чисел і додавання багатоцифрових чисел:

· записуємо друге число під першим;

· множимо цифри розряду одиниць на число у. Якщо добуток менше 10, то його записуємо в розряд одиниць відповіді і переходимо до наступного розряду (десятків);

· якщо добуток цифри одиниць на число у більше або дорівнює 10, то представляємо його у вигляді 10 · q1 +c0, де c0 – однозначне число; записуємо c₀ в розряд одиниць відповіді і запам’ятовуємо q₁ – перенос у наступний розряд;

· помножимо цифру розряду десятків на число у, додаємо до одержаного добутку число q₁ і повторюємо процес, описаний в пунктах 2 і 3.

Множення числа на степінь 10^k зводиться до приписування до першого множника k нулів.

Розглянемо приклад. х = a_n ·10ⁿ + a_n-1 · 10 ^n-1 + … +a₁ · 10 + a₀, то

х · 10^k = (a_n ·10ⁿ + a_{n -1} · 10^n-1 + … +a₁ · 10 + a₀) · 10^k . Застосувавши розподільний закон множення відносно додавання та інші закони множення, одержимо:

a_n ·10^n+k + a _n-1 · 10^{n + k -1} + … +a₁ · 10^k+1 + a₀ · 10^k

Цей вираз є десятковим записом числа a_n a_n-1 … a₁ a₀ 0 … 0.

a_n ·10^n+k + a_n-1 · 10^{n + k -1} + … +a₁ · 10^k+1 + a₀ · 10^k = a_n ·10^n+k + a_n-1 · 10^{n + k -1} + … +a₁ · 10^k+1 + a₀ · 10^k + 0 · 10^{k – 1} +… + 0.

Наприклад, 534 · 10³ = (5 · 10² + 3 · 10 +4) · 10³ = 5 · 10⁵ + 3 · 10⁴ + 4 · 10³ = 534000.

Множення числа на багатоцифрове число зводиться до використання правила множення на одноцифрове число і степені числа 10. Для цього другий множник подають у вигляді суми степенів числа 10 з коефіцієнтами, що є цифрами числа. Наприклад, 453 · 132 = 453 · (1 · 10² + 3 · 10 + 2) = 453 · 1) · 10² + (453 · 3) · 10 + (453 · 2).

Результат множення можна дістати, якщо подати множення у такій формі:

453

132

+ 906

453

59796

Алгоритм множення числа х = an an-1 … a1 a0 на число y = bm bm-1 … b1 b0 такий:

· записати множник у під множником х;

· помножити число х на число одиниць b0 числа у і записати добуток х · b0 під відповідними розрядами числа у;

· помножити число х на число десятків числа у і записати добуток х · b1, зміщуючи запис на один розряд вліво;

· цей процес множення продовжити до обчислення x · bm;

· знайдені добутки додати.

 

6. Ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.

Ділення чисел — операція, обернена до операції множення. Вона полягає у знаходженні за відомими добутком двох множників і одним із множників другого (невідомого) множника. Тому при діленні одноцифрових і двоцифрових чисел на одноцифрове використовується таблиця множення одноцифрових чисел. При цьому можуть бути такі два випадки:

1) за таблицею множення знаходять повну частку, як, наприклад, при діленні числа 63 на 9;

2) за таблицею множення знаходять неповну частку і обчислюють остачу, як у випадку ділення числа 65 на 9:

65 = 9 · 7 + 2, або 65: 9 = 7 (ост. 2). Отже, взагалі процес ділення цілого невід'ємного числа а на нату­ральне число b є дія ділення з остачею, яка полягає у знаходженні таких цілих невід'ємних чисел q і r, що a = bq + r, де 0 £ r < b. Оскільки bq£ а < b (q + 1), то процес ділення числа а на число b полягає спочатку у знаходженні такого цілого числа q, яке б задо­вольняло цю нерівність. Тоді остача r = а - bq. Наприклад, для ви­конання ділення 637 на 25 треба знайти такі цілі невід'ємні числа q і r, щоб 637 = 25q + r. Подвійна нерівність 25q £ 637 < 25 (q + 1) дає змогу встановити число цифр у неповній частці q. Справді, оскільки 25 · 10 < 637 < 25 · 100, то частка q — двоцифрове число. Для зна­ходження цифри її десятків помножимо послідовно дільник 25 на 10, 20,... Оскільки 25 · 20 < 637 < 25 · З0, то цифра десятків неповної частки дорівнює 2, а сама частка 20 < q < З0, тобто q = 20 + q1, де q1 - число одиниць. Через те що 25 · (20 + q1) £ 637 < 25 · (20 +q1 + 1), маємо 500 + 25q1 £ 637 < 500 + 25 (q1 + 1), або 25q1 £ 137 < 25 (g1 + 1).

Число q1 — одноцифрове. Його можна знайти, послідовно помно­жаючи 25 на 1, 2, 3,... Дістанемо: 25 · 5 = 125, а 25 · 6 = 150. Тому число одиниць частки дорівнює 5. Отже, неповна частка q= 25, а остача r = 637 – 625 = 12 і 637 = 25 · 25 + 12.

Викладені міркування лежать в основі ділення «кутом»;

637 25

50 25

125

Загальний алгоритм ділення цілого невід'ємного числа а на нату­ральне число b такий:

· якщо а = b, то частка q = 1, остача r = 0;

· якщо а > b і число розрядів у чисел а і b однакове, то, помножа­ючи b послідовно на числа 1,2,..., 9, знаходять частку q від ділення числа а на число b і остачу r = а – bq;

· якщо а > b і число розрядів у числі а більше, ніж у числі b, то частку і остачу шукають так: у числі а зліва відокремлюють стільки розрядів, скільки їх має і число b чи на один розряд більше, а число с1, ними утворене, дорівню­вало б чи було б більше від числа b, далі підбирають серед чисел 1, 2,..., 9 такий множник q1, що bq1£ с1, число bq1 підписують під числом с1 і віднімають. Дістають r1= с1 - bq1. Це число записують під числом bq1, потім справа до r1 приписують цифри першого з невикористаних розрядів діленого а і порівнюють здобуте число з числом b; якщо воно не менше b, то повторюють вище розглянутий процес, якщо ж воно менше b, то приписують до нього ще стільки розрядів, щоб воно було не менше числа b, і знову застосовують розглянутий вище процес.

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Курс математики: Навч. посібник / В. Н. Боровик. – К.: Вища шк., 1995. с. 141-146.

2. Математика (практикум): Навч. посібник / В. М. Кухар. – К.: Вища шк., 1989. с. 229-230. 236 – 239.

3. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник / В. М. Кухар. – К.:вища шк., 1987. с. 199-206.

4. Л. П. Стойлова. Основы начального курса математики.М. Просвещение. 1988. с. 166 - 183.

1. Позиційні і непозиційні системи числення

Поняття числа виникло в далекій давнині. Під час лічби люди використовували пальці рук і ніг, палички із зарубками, мотузки з вузликами тощо. Згодом вони стали лічити групами, які складалися з однакового числа елементів. Можливо найдавнішою була лічба парами. Лічба на пальцях обумовила виникнення п’ятіркової, десяткової, двадцяткової та інших систем числення. Щоб не зображувати багато зарубок або рисочок, стали позначати певні групи їх одним знаком. Про це свідчать клинописні тексти стародавніх шумерів і вавілонян, ієрогліфи єгиптян і китайців. Вавілоняни рахували групами по 60 одиниць. Знак ▼ означає одиницю і 60. Знак ◄ - десяток. Інші числа зображувались за допомогою цих знаків. Та, число 131 записували як ▼▼◄▼, що означало 60+60+10+1 або 60×2+11. Вавілонська система рахунку й запису чисел – система числення – була позиційною, значення її символів залежали від їхніх позицій у запису числа. Єгиптяни число 1 зображували ієрогліфом y, 10 - ∩, 100 – С. Їхня система числення була непозиційною. Число 113 вони записували так: С ∩ y y y.

Важливий внесок у науку про число зробили стародавні греки. Вони використовували непозиційну алфавітну систему числення. Перші дев’ять букв алфавіту зображували числа від 1 до 9, наступні дев’ять букв – десятки і останні дев’ять – сотні. Щоб відрізняти числа від слів, над числами проводили риску. Так, число 133 записували ρλγ. Для зображення великих чисел Архімед розробив більш зручну десяткову систему числення. Проте й вона була непозиційною.

Культура Київської Русі була тісно пов’язана з грецькою культурою Візантії. Тому числа також зображувалися буквами. У великому словенському численні використовувалися такі розрядні одиниці, як тьма, легіон, леодр, ворон, колода, що відповідало 10⁶, 10^12.

З усіх стародавніх систем числення найбільш поширеною є римська. Вузловими числами цієї системи є: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M –1000, нуля немає. Усі інші числа записуються за допомогою вузлових. Якщо менше цифра стоїть справа від більшої, то вона додається до неї, при чому вона може повторюватися не більше трьох разів; якщо менша цифра стоїть зліва від більшої, то вона віднімається від неї, причому тут повторення меншої цифри не допускається. Запишемо римськими цифрами такі числа натурального ряду: від 1 до 20: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX; 40 – XL, 90 – XC, 400 – CD, 900 – CM, 1991 – MCMXCI.

Як бачимо, римська система нумерації була непозиційною, проте в ній, як і в давньогрецькій, уже були зачатки позиційного принципу.

Сучасна позиційна десяткова система числення була винайдена в Індії у V- VI ст. через арабів вона поширилася в IX cт. в Середню Азію, а пізніше – і в Західну Європу. Особливу роль у цьому відіграла книга узбецького вченого аль - Хорезмі “Трактат з арифметики”. Важливим досягненням індійської математики було введення нуля для позначення відсутності одиниць розряду в числі. Після цього десяткова система стала повністю оформленою. Видатний французький математик П. Лаплас писав, що думка виражати всі числа дев’ятьма знаками, надаючи їм, крім значення за формою, ще й значення за місцем, настільки проста, що саме через цю простоту важко зрозуміти, наскільки вона чудова; як не легко було прийти до цього методу, ми бачимо на прикладі великих геніїв грецької вченості Архімеда і Аполлонія, від яких ця думка залишилася прихованою.

Запровадження десяткової системи числення на Русі було зупинено монгольським ігом. Тільки у XVIII ст. індійська система числення витіснила слов’янську нумерацію. Важливу роль у цьому відіграла “Арифметика” М. Магницького (1703). Поступово позиційна десяткова система числення стала надбанням усіх народів світу.

 

2. Запис і читання чисел в інших недесяткових системах числення

Застосовують також інші системи числення. В астрономії з давніх-давніх застосовується шістдесяткова система числення. Основою цієї системи є число 60. Так 60 сек = 1хв, 60 хв= 1 год, 60''=1', 60'=1^°.

Взагалі, основою системи числення може бути будь-яке натуральне число р≥2. Для запису числа в такій системі числення використовується р символів: 0, 1, 2, …, р-1.

Будь-яке натуральне число а можна зобразити в довільній позиційній системі числення з основою q.

Записом цілого невід’ємного числа х в q -тій системі числення називається його подання у вигляді:

х = q_n×10ⁿ + q_n-1×10 ^n-1 + …+ q₂×10² + q₁.10 + q₀, х = q_n q _n-1 … q₂ q₁ q₀.

Числа 1, q, q ², q ³, …, q ⁿ називаються розрядними числами.

Наприклад, х=2∙3³+0∙3²+1∙3+1=2011₍₃₎ є записом числа 58 у системі числення з основою q =3. Його можна читати так: два, нуль, один, один у трійковій системі числення.

Найменше число знаків для зображення чисел використовує двійкова система числення: 0 і 1. Так у двійковій системі числення число 13 зображується так: 1101_(2).

Порівняння чисел, записаних в системі числення з основою q, виконується так само, як і в десятковій системі числення: порівнюються цифри, починаючи із старших розрядів. Порівняємо, наприклад, числа, записані в системі числення з основою q = 13:

2(12)(11)1₍₁₃₎= 2 ∙ 13³ + 12 ∙ 13² + 11 ∙ 13 + 1 = 6666_(10).

2(11)(12)1₍₁₃₎= 2 ∙ 13³ + 11 ∙ 13² + 12 ∙ 13 + 1 = 6410_(10).