Игры с двумя стратегиями можно решить геометрически. Для этого начинаем решать игру со стороны игрока, у которого две стратегии.
Пусть этот игрок А.
Решается по принципу минимакса для игрока А.
Решение необязательно находится на пересечении линий.
Рассмотрим задачу со стороны игрока В.
Если у одного игрока 2 стороны, а у другого много, то игру также можно решить геометрически.
В результате упрощения, игра имеет вид:
| B1 |  B2
|  B3
| B4 | |
| A1 | -1 | -3 | ||
| A2 | -1 | -5 |
Решим игру относительно игрока А:
 |
Для решения необходимо решить совместное уравнение В4, В1.
Тангенс угла наклона 
 |
A1: 
A2: 
Решение игр m ´ n.
Пусть у игрока 
, 
стратегий, а у 
. В общем случае игра имеет решение в области смешанных стратегий. Таким образом, чтобы решить игру надо найти 
и 
. Пусть игрок применяет свою оптимальную смешанную стратегию, а игрок 
чистую. При этом поучится выигрыш:
По определению решения игры, отклонение игрока 
от своей оптимальной стратегии невыгодно для него. Если бы все стратегии были активными, то можно было бы поставить “ = ” в выражение 
.
В дальнейшем будем считать, что величина цены игры 
. Этого можно добиться, если первоначальную платёжную матрицу 
сместить вверх, т. е. прибавить величину 
к каждому элементу матрицы. При этом решение игры не меняется.
Разделим левую и правую часть неравенств на величину 
, и обозначим величины 
. Тогда получим систему ограничений в следующем виде:
Так как 
то:
Так как необходимо выбрать такие вероятности 
, что бы цена игры была максимальной, то можно считать, что 
. Получили следующую задачу линейного программирования: найти такие неотрицательные величины 
которые бы удовлетворяли системе уравнений 
и при этом минимизировали линейную систему 
. Аналогично рассмотрим игру со стороны игрока .
Аналогично делим на и обозначим 
. Получим задачу:
Так как игрок стремится уменьшить выигрыш, то решение игры 
может быть сведено к решению пары задач линейного программирования.
Рассмотрим вопрос существования решения задач 
. Доказательство существования этого решения будет доказательством основной теоремы теории игр.
Доказательство: из теории линейного программирования известно, что задача линейного программирования не имеет решения в двух случаях:
1) Нет допустимого решения, т. е. система ограничений несовместна.
2) Целевая функция не ограничена.
Покажем, что любая пара задач линейного программирования имеет решение: возьмём 
и . Рассмотрим самый маленький выигрыш матрицы : 
. Тогда в качестве решения можно взять следующее: 
. Подставим это решение во все строки линейных неравенств . Так как 
, то, например, 
всегда, а остальные равны нулю, то у нас есть решение всегда. Так как вероятности и цена игры больше нуля, поэтому 
. Так как , то минимальная величина ограничена по крайней мере нулём, таким образом мы доказали, что решение и всегда существуют. А если существует , то существует , и значит существует 
во второй задаче. Мы доказали основную теорему теории игр: любая матричная игра имеет решение в области смешанных стратегий.
