Экстремумы. Выпуклость и вогнутость. Асимптоты

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка X, то функция возрастает на этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка X, то функция убывает на этом промежутке.

Необходимое условие монотонности более слабое: если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке X, то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (неположительна) на этом промежутке: , т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.

Например, функция y=x³ монотонно возрастает на всей числовой оси, но при x= 0

Точка x ₀ называется точкой максимума функции ƒ(x),если в некоторой окрестности точки x ₀ выполняется неравенство ƒ(x ₀ ) ≥ ƒ(x).

Точка x ₁ называется точкой минимума функции ƒ(x), если в некоторой окрестности точки x ₁ выполняется неравенство ƒ(x ₁ ) ≤ ƒ(x).

Значения функции в точках x ₀ и x ₁ называются соответственно максимумом и минимумом функции. Их объединяют общим названием экстремума функции. Его также называют локальным экстремумом, поскольку понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки x ₀_. На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем минимум в одной точке может оказаться больше максимума в другой точке (см. рис.).

0 x

maxmin

y

Если в точке x ₀ дифференцируемая функция имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма. Следовательно, . Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема (см. рис.).

x

Отсюда необходимое условие экстремума: для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке x ₀, необходимо, чтобы её производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

(Экстремум в точке x = 0, но функция здесь не дифференцируемая)

1

x

(Производная равна нулю при x= 0, но экстремума нет)

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими (стационарными).

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции y=ƒ(x), а если с минуса на плюс, то точка минимума.

Схема исследование функции y=ƒ(x) на экстремум:

1. Найти .

2. Найти критические точки функции, в которых =0 или не существует.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы функции (экстремальные значения функции).

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если функция ƒ(x) дважды дифференцируема и в некоторой точке x ₀ = 0, > 0, то x ₀ есть точка минимума функции y=ƒ(x ),если = 0, <0, то точка максимума.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции наотрезке надо найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наименьшее и наибольшее значение.

Если функция непрерывна на интервале (а, b), то она может и не принимать на нем наибольшего и наименьшего значений. В частности, если дифференцируемая функция на интервале (а, b) имеет лишь одну точку максимума, то наибольшее значение функции совпадает с максимумом этой функции.