Предел числовой последовательности. Предел функции

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана числовая последовательность

x_1, х₂, …, х_n = { x_n }

Общий элемент последовательности является функцией от n:

x_n = f (n).

Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция (целочисленного аргумента).

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

 

Пример. 1) { x_n } = {(-1) ⁿ } или { x_n } = -1; 1; -1; 1; …;

2) { x_n } = {sinp n /2} или { x_n } = 1; 0; 1; 0; …

 

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1) Умножение последовательности на число m: m { x_n } = { mx_n }, т.е. mx ₁, mx ₂, …

2) Сложение (вычитание) последовательностей: { x_n } ± { y_n } = { x_n ± y_n }.

3) Произведение последовательностей: { x_n }×{ y_n } = { x_n×y_n }.

4) Частное последовательностей: при {y_n} ¹ 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность { x_n } называется ограниченной, если существует такое число М >0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (- М; M).

Последовательность { x_n }называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что x_n £ M.

Последовательность { x_n }называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

x_n ³ M.

 

Пример. { x_n } = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

 

Число а называется пределом последовательности { x_n }, если для любого положительного e >0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие: Это записывается:

.

В этом случае говорят, что последовательность { x_n }сходится к а при n ®¥.

Если отбросить какое - либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Предел функции

Предел функции в точке

 

yf (x)

 

A + e

A

A - e

 

 

0 a - D a a + D x

 

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена) (см. рис.).

Определение. Число А называется пределом функции f (x) при х ® а, если для любого e >0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

0 < ï x - a ï < D верно неравенство ï f (x) - Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде: если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f (x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

Определение. Если f (x) ® A ₁ при х ® а только при x < a, то называется пределом функции f (x) в точке х = а слева, а если f (x) ® A ₂ при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f (x) в точке х = а справа (см. рис. ниже).

 

у

f (x)

А ₂

 

А ₁

 

 

0 a x

 

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А ₁ и А ₂ называются также односторонними пределами функции f (x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f (x).