Векторная величина (вектор) – величина, которая характеризуется не только значением, но и направлением (сила, скорость, ускорение и др.). Скалярная величина (скаляр) – величина, не обладающая направлением (масса, электрический заряд, теплоемкость и др.).
Геометрически вектор представляется направленным отрезком прямой линии (рис. 4.1). Вектор обозначается как 
или 
(т. 
– начало, т. 
– конец вектора). Длина (модуль, норма, абсолютная величина) вектора обозначается 
или 
.
Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой). На рис. 4.2 векторы , 
и 
– коллинеарные; и – однонаправлены, и – противоположно направлены.
Компланарными векторами называются векторы, лежащие в параллельных плоскостях. Если компланарные векторы привести (параллельным перемещением) к общему началу, то они будут лежать в одной плоскости.
Нулевой вектор (нуль-вектор) 
– вектор, у которого конец и начало совпадают (его модуль 
).
Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным вектором или ортом.
Два вектора и равны
= ,
если они одинаково направлены и имеют один и тот же модуль ( = 
).
Векторы, имеющие равные модули и противоположно направленные, называются противоположными векторами. Вектор, противоположный вектору , обозначается через – ( = 
). Из определения противоположного вектора следует –(– )= .
|
Ось – прямая, на которой выделено одно из двух ее направлений. Это выделенное направление называется положительным, а противоположное – отрицательным. Ось 
можно задать любым вектором, лежащим на ней и имеющим то же направление (рис. 4.3).
Проекция точки на ось есть основание 
перпендикуляра 
(точка 
), опущенного из т. на эту ось (рис. 4.4).
Компонентой (составляющей) вектора на ось называется вектор 
, где – проекция начала, а 
– конца на эту ось (рис. 4.5). Компоненту вектора называют также геометрической проекцией вектора на ось (обозначают 
). Если ось задана вектором , то вектор называется также компонентой (геометрической проекцией 
) вектора на направление вектора .
Алгебраической проекцией (просто проекцией) вектора на ось (или на направление вектора ) называется длина вектора (см. рис. 4.5), взятая со знаком “+”, если вектор имеет то же направление, что и ось , или “–“, если ― противоположное направление. Проекция обозначается 
или 
. Для случая, представленного на рис. 4.5, проекция вектора на ось будет иметь отрицательный знак.
Декартова прямоугольная система координат в пространстве (3-х мерном) представляет собой три взаимно перпендикулярных оси 
, 
и 
, пересекающихся в начале координат 
, при заданной единице масштаба для всех трех осей (рис. 4.6). Название осей: – ось абсцисс, – ось ординат, – ось аппликат.
Декартовы координаты точки 
есть расстояния ее проекций 
(рис. 4.6) на координатные оси от начала координат, взятые со знаком “+”, если проекция лежит по отношению к началу в положительном направлении оси, и со знаком “–“, если ― в отрицательном. Обозначение координат точки: 
.
Единичные векторы (орты) 
, 
, 
осей , и соответственно (рис. 4.7) образуют систему базисных векторов (базис (ортонормированный)). Эти единичные векторы попарно перпендикулярны друг другу и носят название базисных векторов.
Координаты вектора есть его алгебраические проекции на оси координат. Если начало вектора совмещено с началом координат (рис. 4.7), то координатами вектора будут координаты его конца. Запись координат вектора: 
.
Если точка 
является началом вектора , а точка 
― его концом (рис. 4.8), то
, (4.1)
а его длина (модуль)
. (4.2)
Направление вектора можно задать углами 
, 
, 
, образуемые положительными направлениями координатных осей , и с вектором (рис. 4.9). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора:
,
, (4.3)
.
Для этих косинусов справедливо равенство:
. (4.4)
Пример. Найти длину и направляющие косинусы вектора, проведенного из точки 
в точку 
.
◄ По формуле (4.1) находим координаты вектора: 
. Согласно (4.2) длина вектора 
. По формулам (4.3) находим направляющие косинусы: 
, 
, 
. Проводим проверку на основе равенства (4.4): 
►
