Определителем (детерминантом) квадратной матрицы
называется число, обозначаемое символически
.
Число 
есть порядок определителя.
Определитель 2-го порядка вычисляется по правилу
.
Пример. 
.
Определители 3-го и более высокого порядка вычисляются на основе их разложения по строке или столбцу на определители более низкого порядка при использовании общих свойств определителей.
Свойства определителей:
1) Величина определителя не меняется при замене строк столбцами и столбцов строками с теми же номерами;
2) Перестановка двух каких-либо строк (столбцов) равносильна умножению определителя на – 1;
3) Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца), равен нулю. В частности, определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Пример. 
, т. к. элементы 3-го столбца пропорциональны соответствующим элементам 2-го с коэффициентом пропорциональности – 3.
4) Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен нулю.
Пример. 
.
5) Общий множитель всех элементов какой-либо строки или столбца можно вынести за знак определителя.
Пример. 
.
6) Если элементы некоторого столбца (или строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых элементы рассматриваемого столбца (строки) равны соответствующим слагаемым.
Пример. 
.
7) Если ко всем элементам какого-либо столбца (строки) прибавить слагаемые, пропорциональные соответствующим элементам другого столбца (строки), то величина определителя не изменится.
Пример. 
(к элементам 1-го столбца прибавлены соответствующие элементы 2-го, умноженные на 2.
Минор 
элемента 
в определителе -го порядка есть определитель (
)-го порядка, получающийся из данного определителя, если из него вычеркнуть 
-ю строку и 
-й столбец.
Пример. Для определителя 
минор элемента 
есть 
, а элемента 
— 
.
Алгебраическое дополнение 
элемента есть
= 
,
т. е. равно минору этого элемента, взятому со знаком «+», если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых он стоит, есть четное число, и знаком «–», если число нечетное.
Пример. Для определителя алгебраическое дополнение элемента есть 
, а элемента — 
.
Теорема о разложении определителя по строке или столбцу. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Вычисление определителя на основе теоремы о разложении облегчается, если выбирается стока (или столбец), содержащие нули. Используя свойство 7), можно преобразовать данный определитель так, чтобы все элементы (кроме одного) какой-либо строки (или столбца) стали нулями. Разлагая затем определитель по этой строке (столбцу), сразу уменьшаем его порядок на единицу.
Пример. Вычислить определитель 
.
◄ Разлагаем определитель по 3-му столбцу (через чередование знаков, начиная с верхнего левого элемента, верхними правыми индексами проставлены знаки алгебраических дополнений для элементов этого столбца): 
.
Разлагая данный определитель по второй строке, получаем тот же результат: 
= 
. ►
Пример. Вычислить определитель 
.
◄ Используем свойство определителей 7). Умножая все элементы 2-й строки последовательно на (–2), (–3) и 2 и прибавляя их затем соответственно к элементам 1-й, 3-й и 4-й строки, получим: = 
= (умножаем элементы 1-й строки последовательно на (–2) и (–11) и прибавляем их затем соответственно к элементам 2-й и 3-й строки) =
= 
. ►
Ранг матрицы
Ранг данной матрицы 
есть такое число 
, что по крайней мере один определитель 
- го порядка, получаемый из этой матрицы при удалении некоторых строк и/или столбцов, отличен от нуля, а все определители 
- го порядка равны нулю.
Ранг матрицы равен наибольшему числу ее линейно независимых строк (или столбцов).
Для квадратной матрицы порядка ее ранг удовлетворяет соотношению 
. Эта матрица является невырожденной в том и только в том случае, если ее ранг 
, т. е. 
. Если же 
, то матрица является вырожденной.
Ранг суммы двух матриц 
не больше суммы их рангов:
.
Пример. Найти ранг матрицы 
.
◄ Ранг этой квадратной матрицы порядка 
удовлетворяет соотношению 
. Единственный определитель 3-го порядка, получаемый из этой матрицы 
. Ранг данной матрицы 
, т. к. по крайней мере один определитель 2-го порядка, получаемый из этой матрицы при удалении 3-й строки и 3-го столбца, 
. ►
Пример. Найти ранг матрицы 
.
◄ Ранг этой матрицы 
, т. к. из данной матрицы можно получить определители порядка не выше 2-го. Легко убедиться, что все три определителя 2-го порядка, которые можно получить из этой матрицы удалением поочередно его столбцов, равны нулю. Отсюда следует, что ранг данной матрицы 
(каждый элемент матриц представляет собой определитель 1-го порядка). Уменьшение ранга этой матрицы по отношению к максимально возможному обусловлено тем, что у нее строки и столбцы линейно зависимы (второй и третий столбец получаются из соответствующих элементов первого их умножением на 2 и 3, соответственно; вторая строка получается из первой, умножением ее элементов на 3). ►
В общем случае для вычисления ранга матрицы ее сначала приводят к более простому виду с помощью так называемых элементарных преобразований, к которым относятся:
1) перестановка строк матрицы;
2) умножение какой-либо строки на одно и то же отличное от нуля число;
3) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, предварительно умноженных на некоторое число.
Можно показать, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
Если с помощью элементарных преобразований получить нули ниже главной диагонали матрицы, то ранг исходной матрицы будет равен числу ненулевых строк преобразованной матрицы.
Пример. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы
.
◄ Умножим первую строку матрицы на –2 и прибавим ко второй строке:
~ 
~.
Теперь умножим первую строку на –3 и сложим ее с третьей строкой, а затем вычтем из последней строки первую. Имеем
~ 
~.
Умножая вторую строку получившейся матрицы на –2 и складывая ее с третьей строкой, а затем, складывая вторую строку с последней, получим матрицу
~ 
.
Преобразованная матрица имеет две ненулевые строки, следовательно, ранг матрицы А равен двум: 
. ►
Обратная матрица
Квадратная матрица называется невырожденной, если она имеет (необходимо единственную) обратную матрицу 
, определяемую условиями
.
В противном случае матрица – вырожденная.
Квадратная матрица =() порядка является невырожденной в том и только в том случае, если ее определитель 
; в этом случае обратная матрица есть квадратная матрица того же порядка :
, (1.1.1)
где – алгебраические дополнения элементов в определителе 
.
Квадратная матрица не вырождена в том и только том случае, если ее строки (столбцы) линейно независимы. Строки (столбцы) матрицы линейно независимы, если ни одна строка (столбец) не могут быть выражены в виде линейной комбинации остальных строк (столбцов). В противном случае строки (столбцы) линейно зависимы.
Если матрицы и 
не вырождены и число 
, то
, 
, 
.
Пример. Дана матрица 
. Найти обратную матрицу .
◄ Находим определитель матрицы 
. Т. к. 
, делаем вывод, что матрица не вырождена и, следовательно, имеет обратную матрицу. Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы:
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.
Следовательно, по формуле (1.1.1)
.
Проводим проверку полученного результата:
. Делаем вывод, что результат правильный. ►
