Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕреобразовани€ декартовой системы координат на плоскости




≈сли общее уравнение (5.17) задает невырожденную кривую второго пор€дка, то оно может быть приведено к каноническому виду введением новой системы декартовой координат, совершив поворот осей на определенный угол и подход€щий перенос начала.

ѕри переносе начала координат (параллельный перенос осей) координаты точки плоскости в исходной системе координат (старой) и координаты этой же точки в преобразованной системе (новой) св€заны следующими формулами преобразовани€:

(5.22)

где Ц координаты нового начала относительно исходной системы (рис. 5.16). ‘ормулы преобразовани€ (5.22) справедливы, только если на ос€х обеих систем выбраны одинаковые единицы масштаба.

≈сли в общем уравнении кривой второго пор€дка (5.17) коэффициент при произведении координат равен нулю

(), то оси исходной системы координат параллельны ос€м симметрии этой кривой, и дл€ приведени€ уравнени€ к каноническому виду необходимо только произвести подход€щий параллельный перенос осей в новое начало. Ёто можно сделать выделением в уравнении полных квадратов и с последующим переносом начала координат в точку по формулам преобразовани€ (5.22).

 

ѕример. ѕривести уравнение к каноническому виду и построить задаваемую этим уравнением кривую.

◄ ¬ данном уравнении коэффициенты , , следовательно, оно может задавать окружность. ¬ыдел€ем в уравнении полные квадраты: . «аменой , приводим уравнение к каноническому виду , которое задает на плоскости окружность радиуса . ÷ентр этой окружности находитс€ в начале новой системы координат , а в исходной системе этот центр находитс€ в точке с координатами (рис. 5.17). ќкружность касаетс€ оси в точке . “очки пересечени€ окружности с осью получим, положив в исходном уравнении и решив получающеес€ квадратное уравнение : ,

≈сли в общем уравнении кривой второго пор€дка (5.17) коэффициент при не равен нулю, то оси координат не параллельны ос€м симметрии кривой второго пор€дка. ƒл€ того чтобы сделать эти оси параллельными, необходимо повернуть оси координат на угол , который равен в исходной системе координат углу между положительным направлением оси и каждой из осей симметрии кривой. Ётот угол определ€етс€ формулой

. (5.23)

ѕри повороте осей (рис. 5.18) координаты точки плоскости в преобразованной системе координат (новой) и координаты этой же точки в исходной системе (старой) св€заны следующими формулами преобразовани€:

(5.24)

ќбратное преобразование имеет вид:

(5.25)

≈сли ввести матрицы , , , то преобразование (5.24) можно записать в матричной форме:

ќбратное преобразование (5.25) в матричной форме будет иметь вид:

,

где Ц матрица, обратна€ матрице .

 

ѕример. ѕостроить кривую, заданную уравнением .

◄ ƒл€ данного уравнени€ второго пор€дка коэффициенты (см. 5.17) , , все остальные равны нулю. Ќаходим инварианты кривой: , , . “ак как , , , делаем вывод, что данное уравнение задает гиперболу, оси симметрии которой не параллельны ос€м координат, и дл€ приведени€ уравнени€ к каноническому виду необходим поворот осей координат. Ќеобходимый угол поворота определ€ем по формуле (5.23). “ак как , знаменатель дроби в этой формуле обращаетс€ в нуль, следовательно, . ѕри повороте осей координат на угол переход от старых координат к новым будет задаватьс€ согласно (5.25) следующими формулами преобразовани€:

«амен€€ в исходном уравнении старые координаты на новые, будем иметь:

. ѕоследнее уравнение есть каноническое уравнение гиперболы в повернутой системе координат. ƒл€ этой гиперболы , , половина фокусного рассто€ни€ . Ќа рис. 5.19 представлены стара€ и нова€ система координат с построенной в ней по каноническому уравнению гиперболой. ►





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-12-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1088 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬ы никогда не пересечете океан, если не наберетесь мужества потер€ть берег из виду. © ’ристофор  олумб
==> читать все изречени€...

521 - | 498 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.01 с.