Кривые второго порядка определяются уравнениями второй степени относительно декартовых прямоугольных координат. Общее уравнение второй степени относительно 
и 
имеет вид:
. (5.17)
Для любого уравнения (5.17) три величины
, 
, 
(5.18)
сохраняются при переносе и повороте осей координат (являются инвариантами). Эти инварианты определяют свойства кривой второго порядка, не зависящие от ее положения на плоскости.
Классификация кривых второго порядка, основанная на их инвариантах:
1) эллипс при 
, 
;
2) окружность при , , 
или 
, 
;
3) точка (эллипс, выродившийся в точку) при , 
;
4) ни одной действительной точки при , 
;
5) гипербола при 
;
6) пара пересекающихся прямых (выродившаяся гипербола) при , ;
7) парабола при 
;
8) пара параллельных прямых или одна прямая (пара совпавших прямых) или ни одной действительной точки при , .
Таким образом, уравнение (5.17) может задавать эллипс (частный случай – окружность), гиперболу, параболу (невырожденные кривые второго порядка) или пустое множество точек, одну точку, одну прямую, пару прямых (вырожденные кривые).
Уравнение кривой второго порядка подходящим переносом начала отсчета и поворотом осей координат может быть приведено к каноническому (или стандартному) виду.
Эллипс – геометрическое место точек (ГМТ), сумма расстояний которых до двух данных точек 
и 
, называемых фокусами, есть величина постоянная. Если оси прямоугольной системы координат направлены по осям симметрии эллипса (рис. 5.12), то его уравнение принимает следующий стандартный вид (каноническое уравнение эллипса):
, (5.19)
где 
– фиксированная сумма расстояний фокусов и до любой точки эллипса 
(см. рис. 5.12), 
– расстояние между фокусами (фокусное расстояние), 
. Отрезки 
и 
, отсекаемые эллипсом на его осях симметрии, есть длины большой и малой осей эллипса, точки 
, 
, 
и 
– вершины эллипса, точка 
– его центр. Величина 
называется эксцентриситетом эллипса, а 
– коэффициентом сжатия эллипса.
Эллипс, центр которого не совпадает с началом координат, но большая и малая оси которого параллельны соответственно осям координат 
и 
, задается общим уравнением (5.17), в котором и 
(
и 
одного знака).
Если эксцентриситет 
(оба фокуса находятся в начале координат, т. е. 
и, следовательно, 
), имеем частный случай эллипса – окружность радиуса 
. Общее уравнение (5.17) при 
задает окружность, если и . Общее уравнение окружности радиуса 
можно привести к виду:
,
где точка 
– центр окружности.
Пример. Записать каноническое уравнение эллипса, если сумма расстояний произвольной его точки до фокусов равна 10, а фокусное расстояние равно 8.
◄ По условиям 
, 
. Находим 
. Подставляя найденные значения 
и 
в (5.19), получаем искомое каноническое уравнение эллипса: 
. ►
Гипербола – ГМТ, абсолютное значение разности расстояний которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная. Если оси прямоугольной системы координат направлены по осям симметрии гиперболы (рис. 5.13), то ее уравнение принимает следующий стандартный вид (каноническое уравнение гиперболы):
, (5.20)
где 
– фиксированная абсолютная величина разности расстояний фокусов и до любой точки гиперболы (см. рис. 5.13), – расстояние между фокусами (фокусное расстояние), 
. Отрезок, отсекаемый левой и правой ветвями гиперболы на оси , есть длина действительной оси гиперболы, равная , точки , – вершины гиперболы. Мнимой осью называется ось (ось ), перпендикулярная к действительной оси (ось ). Две прямые, проходящие по диагоналям прямоугольника со сторонами и с центром в центре гиперболы (начале координат) (см. рис. 5.13), являются асимптотами гиперболы. С этими прямыми гипербола неограниченно сближается при неограниченном возрастании абсолютной величины координаты точки гиперболы. Уравнения асимптот гиперболы 
и 
. Вершины гиперболы касаются вертикальных противоположных сторон прямоугольника.
Гипербола, центр которой не совпадает с началом координат, но действительная и мнимая оси которой параллельны соответственно осям координат и , задается общим уравнением (5.17), в котором и 
( и разных знаков).
Уравнение 
задает на плоскости гиперболу, сопряженную к гиперболе, уравнение которой имеет вид (5.20). На рис. 5.14 представлены такие сопряженные гиперболы.
Пример. Гипербола задана каноническим уравнением 
. Найти ее фокусное расстояние и расстояние между вершинами (длину действительной оси).
◄ Из уравнения имеем 
, 
. Для гиперболы 
, отсюда для фокусного расстояния будем иметь 
. Расстояние между вершинами гиперболы равно 
. ►
Гипербола – ГМТ, равноудаленных от данной точки плоскости 
, называемой фокусом, и данной прямой 
, называемой директрисой
(
, см. рис. 5.15). В системе координат, центр которой совмещен с вершиной параболы, а ось направлена по оси параболы (рис. 5.15), ее уравнение принимает следующий стандартный вид (каноническое уравнение параболы):
, (5.21)
где 
– параметр параболы.
Парабола, вершина которой не совпадает с началом координат, но ось которой параллельна оси координат , задается общим уравнением (5.17), в котором и либо 
либо 
.
Пример. Парабола задана уравнением 
. Найти параметр параболы .
◄ Заменой 
данное уравнение приводится к каноническому виду 
, отсюда имеем 
. Замена соответствует преобразованию исходной системы координат. Рис. 5.15 позволяет легко понять, что в исходной системе, в которой уравнение имеет вид , ветви параболы направлены вверх (по оси ), ее фокус находится на оси на расстоянии 
от начала координат, директриса параллельна оси , находясь от нее также на расстоянии 
►
