Изучение прецессии гироскопа

 

Цель работы: познакомиться со свойствами гироскопа, с явлением прецессии, определить момент импульса гироскопа.

Оборудование: гироскоп, электронный блок, груз.

 

Теоретическое введение

 

Гироскоп – это тело, обладающее большим значением момента импульса по сравнению с импульсом момента силы L >> M ∆t, который действует на гироскоп за время наблюдения Δ t. Гироскопы – это тела вращения, быстро вращающиеся относительно оси симметрии и способные изменять направление оси в пространстве. Свойствами гироскопа обладают небесные тела, роторы турбин и электродвигателей, колеса и маховики, электроны атомов. Гироскоп – основной элемент гироскопических приборов – гирокомпаса, автопилотов самолетов и ракет. Применяется для стабилизации корпусов кораблей при качке, башен танков, поездов на магнитной и воздушной подушке.

→

→

→

→

Параметром движения гироскопа является момент импульса. Он равен произведению момента инерции тела J на вектор угловой скорости . Это аксиальный вектор, то есть вектор, направленный по оси вращения. Направление определяется правилом буравчика. Если вращать вместе с телом ручки буравчика, то поступательное движение буравчика совпадает с направлением вектора момента импульса.

Чтобы ось гироскопа могла поворачиваться в пространстве, его помещают в так называемый карданов подвес. Карданов подвес представляет собой три рамки, оси вращения которых взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке, называемой центром подвеса О. Таким образом трехстепенной гироскоп может свободно вращаться относительно осей Оx, Оy, Оz (рис.1). Если центр тяжести гироскопа совпадает с центром подвеса О, такой гироскоп называется уравновешенным.

Если к быстровращающемуся гироскопу приложить момент пары сил F ₁ – F ₂(рис. 1), то гироскоп ведет себя неожиданно: его ось поворачивается не вокруг оси Оx, вдоль которой направлен вектор момента силы, а вокруг оси Оz. Это явление поворота оси гироскопа с угловой скоростью, перпендикулярной направлению вектора момента силы, называется прецессией.

Для вывода формулы угловой скорости прецессии применим к гироскопу основной закон динамики вращательного движения: изменение момента импульса тела dL равно импульсу момента силы М dt:

 

(1)

 

Направление аксиального вектора момента силы определяется правилом буравчика: если ручки буравчика вращать под действием момента силы, то поступательное движение буравчика совпадет с направлением вектора момента силы. Например, на рис. 1 вектор М пары сил F ₁ и F ₂ направлен против оси Оx.

Пусть на быстровращающийся гироскоп действует момент силы М, перпендикулярный вектору момента импульса L (рис.2). Сложим приращение вектора момента импульса dL, вызванное действием момента силы, с исходным моментом импульса: . Как видно из рисунка, вектор момента импульса повернется в новое положение L ₁ вместе с осью гироскопа вокруг оси Оz.

Но благодаря карданову подвесу с ними вместе повернется и вектор момента силы и займет новое положение M ₁, опять оказавшись перпендикулярным новому моменту импульса L ₁. Через следующее время dt момент импульса получит новое приращение dL ₁, параллельное моменту силы M ₁, и момент импульса получит новое положение ит. д. Ось гироскопа будет поворачиваться вокруг оси Oz так, как будто вектор момента импульса пытается «догнать» убегающий вектор момента силы. Таким образом, прецессия – это явление поворота оси вращения гироскопа под действием перпендикулярного к оси момента силы, при котором вектор момента импульса поворачивается по кратчайшему направлению к вектору момента силы.

Определим в элементарной теории гироскопа угловую скорость прецессии. Угловая скорость по определению равна отношению угла поворота ко времени . Угол поворота оси (рис.2), . Подставив, с учетом (1), получим

 

(2)

Если гироскоп уравновешен, на него не действует момент сил тяжести, то в инерциальной системе отсчета (относительно звезд) положение оси будет постоянно, а относительно Земли происходит поворот.

Если ось гироскопа принудительно поворачивать, то на подшипники со стороны оси будет действовать момент так называемых гироскопических сил, вектор которого направлен против приращения dL вектора момента импульса гироскопа. Момент гироскопических сил по формуле (2) равен произведению момента импульса на угловую скорость поворота: М = L ω_пов .

В лабораторной установке гироскопом является электродвигатель, у которого якорь утяжелен маховиком с увеличенным моментом инерции (рис. 3). Электродвигатель может поворачиваться относительно горизонтальной оси в подшипниках рамки, которая, в свою очередь, может вращаться вокруг вертикальной оси в подшипниках корпуса. Момент сил создается силой тяжести груза, расположенного на стержне корпуса , где l – плечо силы тяжести, равное расстоянию от груза до горизонтальной оси Ох. Угловая скорость прецессии и частота вращения измеряются электронным блоком.

 

Выполнение работы

 

1. Определить массу груза, закрепить его на конце стержня. Измерить расстояние l от середины груза до оси подшипников рамки. Результаты записать в таблицу.

Включить блок питания электродвигателя в сеть 220 В. Нажать кнопку Сеть на задней стенке. Придерживая двигатель за стержень, регулятором «Гироскоп» установить некоторую частоту вращения.

2. Отпустить стержень, гироскоп начнет прецессировать. Нажать кнопку Сброс и Пуск. В момент, когда луч света через щель лимба попадет на фотоэлемент, начнется счет времени прецессии. Счет прекратится, когда луч через другую щель (через 90^о) попадет на фотоэлемент. Следить за тем, чтобы ось гироскопа была горизонтальна. Результаты измерения частоты вращения (левый индикатор) и угловой скорости прецессии (правый индикатор) записать в таблицу.

Масса груза m, кг
Частота вращения n, об/с
Расстояние до груза l, см
Угловая скорость ωпр,, 1/с
Момент силы M, Н∙м

 

3. Не выключая электродвигатель, не изменяя частоты вращения, повторить измерения не менее шести раз, смещая груз по стержню. Применяемый гироскоп уравновешен при некотором среднем положении груза. Поэтому после смещения груза за положение равновесия гироскоп будет прецессировать в противоположном направлении, с отрицательной угловой скоростью.

Результаты записать в таблицу. Выключить установку.

4. Произвести расчеты в системе СИ. Определить в каждом опыте момент силы тяжести груза . Записать в таблицу.

5. Построить график зависимости угловой скорости прецессии от момента силы тяжести ω_пр (М). Размер графика не менее половины страницы. Так как, согласно уравнению (2), теоретическая зависимость прямо пропорциональная, то около точек провести прямую линию. Отрезок, отсекаемый на оси моментов сил – это момент силы тяжести электродвигателя

6. Определить среднее значение момента импульса якоря электродвигателя с маховиком по графику как величину, обратную, согласно уравнению (2), угловому коэффициенту экспериментальной линии:

 

. (3)

 

7. Оценить погрешность измерения момента импульса якоря графическим методом (рис. 4). Для этого провести на графике как можно ближе две прямые, параллельные экспериментальной линии, так, чтобы точки оказались между ними. Случайная погрешность равна .

 

8. Записать результат в виде , Р = 90%.

Сделать выводы.

 

Контрольные вопросы

 

1. Дайте определение гироскопа. Дайте определение момента импульса. Как определить направление вектора момента импульса?

2. Объясните, в чем заключается явление прецессии. Выведите формулу угловой скорости прецессии.

3. Объясните проявление гироскопических сил, выведите формулу для момента гироскопических сил.

4. Если ось уравновешенного гироскопа перпендикулярна земной оси то, что с ней произойдет в течение суток?

5. Как изменится угол наклона линии на графике ω_пр (М) при увеличении скорости вращения якоря гироскопа?

6. Приведите примеры проявления гироскопических сил. Например, поворот на велосипеде без руля, действие турбины корабля при повороте.

Работа 8