МЕХАНика
Учебно-методическое пособие
к лабораторным занятиям по физике
Издание 3-е, дополненное
Челябинск
УДК 531(07)
Ш95
Механика / сост. А. В. Шушарин; Челяб. ин-т путей сообщения, каф.
естественно-научных дисциплин. – Изд. 3-е, доп. – Челябинск: Изд-во ЧИПС, 2014. – 113 с.
В пособии приводятся основные понятия, теоретические законы, которые изучаются при выполнении лабораторных работ по курсу «Механика, колебания и волны, термодинамика». Третье издание дополнено работами по курсу «Физические основы железнодорожного транспорта». Представлено описание лабораторных установок, указан порядок проведения эксперимента и обработки результатов измерений, даны вопросы для контроля знания изучаемой темы.
Предназначено для студентов очного и заочного отделений Челябинского института путей сообщения.
Составитель:
Старший преподаватель кафедры естественно-научных дисциплин А. В. Шушарин
Рецензенты:
кандидат технических наук, доцент В. Л. Федяев;
кандидат педагогических наук, доцент М. А. Круглова
Печатается по решению учебно-методической комиссии
факультета высшего профессионального образования ЧИПС УрГУПС
(протокол № 2 от 12.12.2014)
Шушарин А. В., сост., 2014
Челябинский институт путей сообщения, 2014
ВВОДНОЕ ЗАНЯТИЕ
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
К лабораторным занятиям допускаются студенты, прошедшие инструктаж по технике безопасности, усвоившие безопасные методы работы и расписавшиеся в журнале по технике безопасности.
При проведении работ студенты обязаны соблюдать следующие меры безопасности:
- не работать на неисправном оборудовании;
- не применять сломанных электрических вилок, розеток,
оголенных проводов для подключения приборов к сети;
- не касаться токоведущих элементов;
- надежно закреплять подвижные грузы;
- не оставлять включенную лабораторную установку;
- после проведения измерений отключить приборы от сети;
- не загромождать проходы стульями, сумками;
- по окончании работы привести рабочее место в порядок;
- использовать измерительные приборы и инструменты по прямому назначению.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ
Изучить теоретический материал по данному пособию, учебнику, конспекту лекций. Ответить преподавателю на контрольные вопросы по теории работы, по выполнению эксперимента. Получить допуск к проведению лабораторной работы.
Провести эксперимент в соответствии с рекомендациями по выполнению работы. Внести результаты измерений в свой формуляр отчета. Представить результаты измерений для проверки корректности измерений преподавателю.
Произвести расчеты, оценить погрешности измерений. Построить при необходимости графики, проанализировать результаты, сделать выводы.
Сдать оформленный отчет преподавателю.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Измерением называют операцию, посредством которой определяется отношение измеряемой величины к другой однородной величине, принятой за единицу измерения. Обработка результатов измерений заключается в нахождении так называемого доверительного интервала значений измеряемой величины, внутри которого находится истинное значение с заданной доверительной вероятностью. Произвести измерения абсолютно точно в принципе невозможно, всякое измерение содержит погрешность. Абсолютной погрешностью называют разность между измеренным значением и истинным: Δ Х = (X изм – X ист). Погрешности измерений могут быть обусловлены различными факторами. Существует три основных вида погрешностей измерений.
Случайной погрешностью, δХ, называется часть суммарной погрешности, вызванная действием большого числа неконтролируемых факторов, которые непредсказуемо влияют на результаты измерений и приводят к тому, что результаты многократных измерений случайным образом изменяются. Случайные погрешности приближенно оцениваются методами математической статистики по результатам многократных измерений.
Систематической погрешностью, θХ, называется другая часть суммарной погрешности, обусловленная действием некоторых постоянных факторов, которые можно учесть и исключить. Например: заменить грубый прибор более точным, усовершенствовать методику измерений, теоретически учесть влияние известных незначительных факторов, которыми вначале пренебрегали. Но это приводит к усложнению эксперимента, расчетов и эффект уменьшения систематической погрешности может быть незначительным по сравнению со случайной погрешностью.
Грубая погрешность, или промах, обусловлена невнимательностью экспериментатора. Например: неверный отсчет по шкале или неверная запись результата. Она обнаруживается, если одно из измерений сильно отличается от других. Поэтому следует производить не менее трех измерений. Измерение с промахом либо исключается, либо исправляется, если исправление достоверно.
Суммарная погрешность определяется как геометрическая сумма случайной и систематической погрешностей: 
.
Погрешности прямых измерений
Прямые измерения – это измерения, при которых результат определяется по шкале прибора, инструмента.
Истинное значение измеряемой величины никогда не известно. Пусть проведены многократные измерения n раз при одинаковых условиях. Если все результаты одинаковы, что бывает при использовании грубого прибора, то за оценку истинного значения принимают результат любого измерения. Погрешность измерения обусловлена только систематической погрешностью прибора.
Если результаты различаются, то в связи со случайностью погрешности по знаку и величине за оценку истинного значения принимают среднее арифметическое результатов отдельных измерений
. (1)
Только при бесконечно большом числе измерений и при отсутствии систематической погрешности среднее значение совпадет с истинным значением. На практике число измерений конечно, и поэтому среднее отличается от истинного значения измеряемой величины. Теория погрешностей позволяет только оценить доверительный интервал, то есть интервал около среднего значения, внутри которого находится истинное значение при заданной доверительной вероятности Р. Здесь доверительная вероятность – это вероятность попадания истинного значения внутрь доверительного интервала.
Пусть проведены многократные измерения. Разделим числовую ось Х на большое количество небольших отрезков, на них построим прямоугольники, высота которых равна доле результатов измерений, попадающих в данный отрезок (рис. 1). Если бы число измерений было бесконечно велико, то полученная ступенчатая фигура (гистограмма) приобрела бы симметричную форму, а ее огибающая была бы плавной кривой линией. Описывает ее функция, полученная Гауссом при следующих предположениях: отклонения одинаковой величины разного знака равновероятны, большие отклонения встречаются реже, чем малые:
(рис. 1).
Здесь σ – стандарт распределения.
Стандарт – это предельное значение среднеквадратичного отклонения S результатов измерений относительно среднего арифметического при бесконечно большом числе измерений: σ = lim S.
Где 
. Чем меньше стандарт, тем выше точность эксперимента. В доверительный интервал ± σ попадает 68 % результатов измерений, в интервал ±2 σ – 95,3 % и в интервал ±3 σ – 99,7%.
Оценим, насколько среднеарифметическое значение отличается от истинного. Среднее арифметическое также является случайной величиной. Применяя к нему распределения Гаусса, получим, что оно ближе к истинному значению, чем среднеквадратичное отдельных измерений в 
раз: 
.
При большом числе измерений при доверительном интервале 2 S ср доверительная вероятность была бы P = 0,68. Но при конечном числе измерений, а также при желании большего значения доверительной вероятности чем Р = 0,68, следует увеличить доверительный интервал, введя поправочный коэффициент. Этот коэффициент рассчитан в математической статистике и называется коэффициентом Стьюдента tn.
Половину рассчитанного доверительного интервала принимают за случайную погрешностьсреднего арифметического: 
или
. (2)
Здесь под корнем стоит сумма квадратов разностей между результатами измерений Х i и их средним значением < X>.
Как видно, чем больше число измерений n, тем среднеарифметическое значение ближе к истинному значению, тем меньше случайная погрешность. В этом состоит необходимость многократных измерений. Однако разумное число опытов должно быть таким, чтобы случайная погрешность была бы сравнима систематической погрешностью.
Таблица коэффициентов Стьюдента tp
| n | |||||||
| Р = 0,80 | 1,9 | 1,6 | 1,5 | 1,5 | 1,4 | 1,4 | 1,3 |
| Р = 0,90 | 2,9 | 2,4 | 2,1 | 2,0 | 1,9 | 1,8 | 1,7 |
| Р = 0,95 | 4,5 | 3,2 | 2,8 | 2,6 | 2,4 | 2,3 | 2,2 |
Пример оценки случайной погрешности
1. Записать результаты измерений расстояния Х в табл. 1.
Таблица 1
| Х,см | 12,2 | 12,6 | 13,0 | 12,7 | 13,1 | 12,5 | < X > = 12,7 см |
2. Определить среднеарифметическое значение. Результат округлить. 
см. <X> = 12,7 см. Записать в табл. 1
3. Определить по таблице коэффициент Стьюдента при доверительной вероятности P= 0,90. tpn= 2,0.
4. Оценить случайную погрешность по формуле (2). Результат округлить до одной значащей цифры.
см
5. Записать результат X = 12,7 ± 0,3 см, Р = 0,90.
Систематическую погрешность θX измерительных приборов при прямых измерениях оценивают либо как половину цены деления шкалы, либо по классу точности прибора. Класс точности – это выраженное в процентах отношение систематической погрешности к пределу измерения Хпр. Он имеет значения от 0,05 до 4 %. Систематическую погрешность прибора определяют по формуле
. (3)
В других случаях систематическую погрешность оценивает сам экспериментатор, исходя из здравого смысла.
Суммарную погрешность измерений определяют как геометрическую сумму случайной и систематической погрешностей: 
. Если одна из погрешностей меньше другой более чем в 3 раза, то меньшей пренебрегают. Так как при числе опытов менее десяти уже первая цифра погрешности не достоверна, то расчеты погрешности следует производить приближенно с точностью до одной значащей цифры, может быть, даже устно.
Результат обработки результатов измерений всегда записывают в виде трех чисел – среднего арифметического <X>, суммарной погрешности D X и доверительной вероятности Р: X = <X> ±D X, Р =…%. Это следует понимать так: истинное значение находится в доверительном интервале от <X> − D X до <X> + D X с доверительной вероятностью, которую в студенческом эксперименте обычно принимаю равной Р = 90 %.
Погрешности косвенных измерений
При косвенных измерениях значение измеряемой величины определяется по функциональной зависимости через аргументы, величины которых являются результатами прямых измерений.
Среднее значение результата косвенных измерений определяют, либо подставляя в функцию средние значения аргументов, полученных как результаты прямых измерений:
<Z> = f (<X>, <Y>…), (4)
либо функцию Z рассчитывают столько раз, сколько раз измерены аргументы X, Y… и затем находят среднее арифметическое рассчитанных результатов Zi по формуле (1).
Оценку случайной погрешности при косвенных измерениях производят одним из четырех способов.
Способ 1. По формуле, полученной на основании аналогии между погрешностью и дифференциалом функции, как малых приращений функции. При этом учитывают, что погрешности измерений величин, входящих в формулу, никогда не компенсируют друг друга, в отличие от дифференциалов, и складываются геометрически:
. (5)
При этом погрешности измерения аргументов должны быть определены с одинаковой доверительной вероятностью.
По этой же формуле оценивается систематическая погрешность косвенного измерения θZ через систематические погрешности аргументов функции. В данном пособии расчетные формулы выведены.
Способ 2. Величину Z рассчитывают по результатам измерений аргументов функции столько раз, сколько проведено прямых измерений. Совокупность результатов обрабатывают как при прямых измерениях. Случайную погрешность оценивают по формуле (2).
Способ 3. Графический метод. Пусть измеряемая величина теоретически является линейной функцией Z = Z 0 + K X. В этом случае около экспериментальных точек на графике проводят прямую линию так, чтобы отклонения точек были бы минимальны (рис. 2). Ордината точки пересечения с осью Z дает среднее значение величины <Z 0 >.
Для оценки случайной погрешности δZ 0 проводят параллельно экспериментальной линии две прямых линии так, чтобы все точки, кроме промахов, оказались между ними (рис. 2, пунктирные линии). Тогда половину расстояния между ними по оси ординат можно трактовать как 2÷3 среднеквадратичных отклонения результатов отдельных измерений σZ /2 = (2 ÷ 3) S. Случайная погрешность оценивается по формуле (2) 
. Подставив сюда коэффициент Стьюдента, который при числе измерений менее десяти имеет значение между 2 и 3, 
, и подставив 
, получим после сокращения
. (6)
Для определения среднего значения углового коэффициента <K> следует построить на экспериментальной линии как на гипотенузе прямоугольный треугольник. Среднее значение определим как отношение катетов треугольника:
. (7)
Для оценки случайной погрешности измерения углового коэффициента проводят на графике две диагонали параллелограмма области существования экспериментальных точек. Их угловые коэффициенты по координатам вершин параллелограмма как отношение катетов равны: 
и 
. Примем половину разности угловых коэффициентов за (2÷3) среднеквадратичных погрешности углового коэффициента: 
. Тогда случайную погрешность углового коэффициента 
можно, после сокращения на коэффициент Стьюдента tр = (2÷3), оценить по формуле
(8)
Здесь σZ – расстояние по оси ординат между вспомогательными линиями (пунктир на рис. 2).
Способ 4. В научных исследованиях применяют для проведения средней прямой и для оценки случайной погрешности метод наименьших квадратов. Но расчеты достаточно трудоемкие. Поэтому в пособии отдается предпочтение простому графическому методу.
Суммарную погрешность косвенных измерений определяют по формуле 
как геометрическую сумму случайной и систематической погрешности. Так как при числе измерений менее десяти уже первая значащая цифра погрешности не является достоверной, расчеты можно произвести устно с точностью до одного знака. Если одна из погрешностей меньше другой в три и более раз, то меньшей пренебрегают. Результат записывают в виде трех чисел:
Z = <Z> ±Δ Z, Р =… Среднее арифметическое округляют так, чтобы разряд последней цифры совпадал с разрядом погрешности: например, J = (3,42 ± 0,06)10-3 кг•м2, Р = 90 %.
ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ
График – геометрическое изображение функциональной зависимости. Это самое наглядное представление результатов эксперимента. График строится на миллиметровой или клетчатой бумаге. Вычерчиваются координатные оси. Для функции используется ось ординат, для аргумента – ось абсцисс. На осях наносят масштаб так, чтобы расстояние между делениями (1 см) составляло 1, 2, 5 единиц измеряемой величины. У оси указывают измеряемую величину, размерность и ее порядок (10к). Масштаб выбирают так, чтобы экспериментальная линия заняла всю площадь графика. Поэтому наибольшее значение измеряемой величины должно быть близко к концу координатной оси. Вдоль оси указывают около пяти значений координат через равные промежутки. Если результаты находятся в диапазоне, далеком от нуля, то рекомендуется в начале координат помещать самое малое округленное значение (рис. 3). Размер графика – не менее половины страницы.
Точки следует наносить тщательно, обводя их каким-либо значком (○, ●, □, +). Около точек, но не через них, проводится экспериментальная линия. При этом следует руководствоваться правилами: линия должна быть гладкая, чем больше изгибов имеет линия, тем она менее вероятна; число точек выше и ниже линии должно быть примерно одинаковым; сумма квадратов отклонений точек от экспериментальной линии должна быть минимальна, не должно быть больших отклонений, лучше 2–3 маленьких.
Если известна теоретическая зависимость, то около точек проводится линия теоретической зависимости.
Отклонения точек от линии обусловлены случайными погрешностями измерений. При возможности свести теоретическую зависимость к линейной проводят операцию линеа-
ризации. Например, для функции 
график − кривая линия, экспонента, но если функцию прологарифмировать 
, то получаем уравнение прямой линии, которую построить гораздо проще (рис. 3).
Типичными ошибками при построении графиков являются: нанесение экспериментальных данных на оси координат вместо равномерного масштаба; проведение линий для построения экспериментальных точек; малый размер графика (менее половины страницы).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Объясните причину оценки неизвестного истинного значения средним арифметическим результатов измерений.
2. Чем обусловлены случайная и систематическая погрешности прямых измерений? Что такое промах, как его обнаружить и как с ним поступать?
3. Дайте определение доверительного интервала, доверительной вероятности.
4. Как зависит случайная погрешность среднего арифметического многократных измерений от среднеквадратичной погрешности отдельного измерения, от числа измерений, от доверительной вероятности?
5. Прокомментируйте формулу для оценки случайной погрешности прямых измерений. Как определяется коэффициент Стьюдента?
6. Как оценивается систематическая погрешность прямых измерений для классифицированного прибора, для линейки и для цифрового прибора?
7. Как оценивается суммарная погрешность результата измерений? Как записывается результат измерений?
8. Прокомментируйте формулу, по которой оцениваются случайная и систематическая погрешности косвенных измерений, полученную на основании аналогии погрешности с дифференциалом функции.
9. Объясните способ оценки случайной погрешности косвенных измерений сведением к формуле погрешности для прямых измерений.
10. Выведите расчетную формулу графического определения среднего значения и случайной погрешности углового коэффициента.
11. Объясните правила выбора масштаба координатных осей графика.
12. Перечислите правила проведения на графике линии относительно экспериментальных точек.
Физические основы механики
Работа 1
ИЗУЧЕНИЕ УДАРА ТЕЛ
Цель работы: проверить выполнение закона сохранения импульса, определить коэффициент восстановления энергии при ударе тел.
Оборудование: баллистический маятник, весы, шкала.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Удар – это процесс кратковременного взаимодействия тел, при котором происходит значительное изменение скоростей тел, их импульсов. (Импульсом тела называется векторная величина, определяемая произведением массы тела на его скорость 
, импульсом силы является произведение силы на время ее действия 
.)
Силы удара могут быть сравнительно большими, так как, согласно второму закону Ньютона, изменение импульса тела равно импульсу силы: 
, и при малом времени удара D t сила удара может быть большой. В этом случае действием внешних сил на время удара можно пренебречь и считать систему соударяющихся тел замкнутой. Для замкнутой системы тел выполняется закон сохранения импульса: в замкнутой системе тел сумма импульсов тел постоянна, или сумма импульсов тел до взаимодействия равна сумме импульсов тел после взаимодействия:
или 
. (1)
Закон сохранения импульса является важнейшим законом механики. Он позволяет рассчитать скорости тел после взаимодействия, даже не имея представления о силах взаимодействия.
Существует две предельных идеализации реального удара: идеально упругий удар и абсолютно неупругий удар. При идеально упругом ударе тела в фазе сближения деформируются упруго, и часть кинетической энергии превращается в потенциальную энергию упругой деформации. Затем во второй фазе под действием упругих сил тела отталкиваются, форма тел восстанавливается, и потенциальная энергия деформации вновь превращается в кинетическую энергию. В результате кинетическая энергия сохраняется.
При абсолютно неупругом ударе тела деформируются пластически. Удар заканчивается на фазе сближения, и затем тела движутся совместно, как одно целое. Это является признаком неупругого удара. Так как часть кинетической энергии превращается в работу пластической деформации, во внутреннюю энергию, то кинетическая энергия не сохраняется. Диссипацию, то есть рассеяние кинетической энергии, характеризуют коэффициентом восстановления энергии. Он равен отношению кинетической энергии обоих тел после удара к их энергии до удара:
. (2)
Для идеально упругого удара К = 1, в других случаях К < 1.
Рассмотрим прямой центральный удар двух шаров, при котором скорости шаров направлены по линии центров масс и точка соприкосновения тоже находится на этой линии (рис. 1). Пусть правый шар массы т 1 со скоростью V1 налетает на покоящийся, V 2 = 0, левый шар массы т 2. Закон сохранения импульса для упругого и неупругого ударов в проекции на направление движения правого шара будет иметь вид
; (3)
. (4)
Скорости шаров определим по углам отклонения их нитей подвеса от вертикали. Приведем пример для правого шара. При движении от крайнего положения с высоты h потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию. Согласно закону сохранения механической энергии
. (5)
Откуда 
.
Высота падения 
связана с углом отклонения 
нити длиной l соотношением 
. Для малых углов отклонения 
. Тогда скорость шара перед ударом будет пропорциональна углу отклонения 
. По таким же формулам можно определить скорости других шаров. Подставив их в уравнения (3) и (4), получим уравнения, проверяемые экспериментально
, (6)
. (7)
Значение коэффициента восстановления энергии можно определить по углам отклонения шаров. Если подставить в формулу (2) скорости шаров, то получим для упругого и неупругого ударов
; (8)
. (9)
Теоретическое значение коэффициента восстановления энергии для неупругого удара можно определить, подставив в формулу (2) скорости шаров после удара из (4)
. (10)
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
1. Определить взвешиванием на весах массы обоих шаров. Результат записать в табл. 1.
Таблица 1
2. Произвести не менее шести опытов по упругому удару шаров. Для этого шары отвернуть пластилиновой нашлёпкой от точки удара. Отвести правый шар вдоль шкалы на некоторый, одинаковый во всех опытах, угол и измерить угол отклонения β 1. Отпустить шар. Убедиться, что шары после удара движутся вдоль шкалы. Поймать левый шар после удара в его крайнем положении, чтобы не допустить второго удара. Измерить углы отклонения γ 1 и γ 2. Положиельное значение угла γ 1 отсчитывается по правой шкале, угла γ 2 – по левой. Результаты записать в табл. 2.
| Масса правого шара m 1, кг | |
| Масса левого шара m 2, кг | |
| Отклонение правого шара b 1, рад |
3. Произвести не менее шести опытов по неупругому удару. Для этого шары повернуть пластилиновой нашлёпкой к точке удара. Отвести правый шар на угол b 1. Угол отклонения шаров после удара при их совместном движении γ 12 измерить по отклонению левого шара по левой шкале. Результаты записать в табл. 2.
Таблица 2
| Упругий удар | |||||||
| g1 ∙10-2, рад | <g 1> = | ||||||
| g2 ∙10-2, рад | <g2> = | ||||||
| Неупругий удар | |||||||
| g12 ∙10-2, рад | <g12> = |
4. Провести обработку результатов измерений. Определить среднее арифметическое значение углов отклонения шаров после удара: <γ 1 >, <γ 2 >, <g 12 >. Записать в табл. 2.
5. Рассчитать левые и правые части уравнений (6) и (7) по значениям масс шаров и средним значениям углов отклонения. Убедиться в их приближенном равенстве. Записать в табл. 3.
6. Определить экспериментальное значение коэффициентов восстановления энергии по формулам (8) и (9) для упругого и неупругого ударов по средним значениям углов отклонения шаров. Записать в табл. 3. Сравнить с теоретическим значением, рассчитанным по формуле (10) для неупругого удара и для упругого удара Купр = 1.
Таблица 3
| Упругий удар | Неупругий удар | ||
m 1 β 1 = 
| Купр | m 1 β 1 = 
| Кнеупр |
7. Оценить относительную погрешность выполнения закона сохранения импульса, например для неупругого удара, по формуле
. (11)
Сделать вывод о выполнении закона сохранения импульса.
8. Оценить относительную погрешность измерения коэффициента восстановления энергии по формуле ε = 1 – К упр. Сделать вывод о сохранении механической энергии при упругом ударе.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение импульса тела и импульса силы. Объясните на основании второго закона Ньютона возникновение больших сил при кратковременном ударе.
2. Сформулируйте закон сохранения импульса и условия для выполнения удара тел.
3. Дайте определение упругого и неупругого ударов. Какие при этом происходят процессы превращения энергии.
4. Как будут двигаться одинаковые шары после упругого или после неупругого удара, если: а) до удара они двигались навстречу; б) один из шаров покоился?
5. Выведите формулу скорости шара в зависимости от угла отклонения шара от положения равновесия.
6. Дайте определение коэффициента восстановления энергии. Выведите теоретическую формулу для коэффициента восстановления при неупругом ударе шаров. В каких случаях коэффициент восстановления энергии К = 1 или К = 0?
Работа 2
