Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


»зучение затухающих колебаний




 

÷ель работы: изучить закономерности затухающих колебаний, определить параметры затухани€.

ќборудование: ма€тник (шарик на нити, шарик на пружине), наклонна€ плоскость, шкала, секундомер.

 

“≈ќ–≈“»„≈— ќ≈ ¬¬≈ƒ≈Ќ»≈

 

ћа€тники Ц это тела, которые при выведении их из положени€ устойчивого равновеси€ совершают после этого собственные механические колебани€ под действием внутренней возвращающей силы. Ќапример, дл€ пружинного ма€тника это силы упругости пружины. Ёти силы в первом приближении пропорциональны смещению тела от положени€ равновеси€: где Ц коэффициент упругости. ≈сли сопротивление движению отсутствует, то ма€тники совершают свободные собственные колебани€ по гармоническому закону с циклической частотой . ѕараметры движени€ периодически повтор€ютс€. –еально собственные колебани€ ма€тников всегда затухающие из-за сопротивлени€ среды. ѕримем, что сила сопротивлени€ пропорциональна скорости движени€ . “ак бывает при движении тела в в€зкой среде с небольшой скоростью.

ѕолучим уравнение затухающих колебаний. ”равнение второго закона Ќьютона в проекции на ось ќх будет иметь вид: произведение массы тела на ускорение равно сумме проекций сил упругости и сопротивлени€:

. (1)

 

ѕриведЄм это уравнение к канонической форме, поделив его на массу

. (2)

«десь обозначено: Ц коэффициент затухани€, Ц циклическа€ частота свободных (незатухающих) колебаний.

–ешением этого дифференциального уравнени€ €вл€етс€ функци€, превращающа€ уравнение в тождество

 

, (3)

 

где Ц условна€ циклическа€ частота затухающих колебаний (поскольку затухающие колебани€ не €вл€ютс€ строго периодическими), Ц амплитуда колебаний в начальный момент времени, Ц начальна€ фаза колебаний. ѕри малом затухании (b << w0) частота затухающих колебаний практически не отличаетс€ от частоты свободных колебаний. ≈сли b > w0, то колебани€ невозможны, отклоненное тело совершает апериодическое движение, медленно возвращаетс€ к положению равновеси€.

јмплитудой затухающих колебаний €вл€етс€ выражение перед синусом в уравнении (3)

 

ј =ј 0 е -b t. (4)

 

 ак видно, со временем амплитуда уменьшаетс€ по экспоненциальному закону (рис. 1, пунктир).

«атухание колебаний характеризуют несколькими параметрами. ¬о-первых, коэффициент затухани€, который характеризует уменьшение амплитуды со временем, согласно формуле (4). ѕусть за некоторое врем€ τ, называемое временем релаксации, амплитуда уменьшилась в e = 2,72 раза, тогда , откуда .  оэффициент затухани€ равен величине, обратной времени релаксации.

¬о-вторых, параметром затухани€ €вл€етс€ логарифмический декремент. ѕо определению он равен логарифму отношени€ амплитуд двух соседних колебаний:

 

, (5)

 

где Ц амплитуда в момент времени t, Ц амплитуда через один период .

”становим св€зь между логарифмическим декрементом и коэффициентом затухани€ , . ”равнение дл€ амплитуды (4) можно записать как функцию от числа совершенных колебаний N, подставив врем€ и коэффициент затухани€ :

 

. (6)

 

ќтсюда видно, что логарифмический декремент равен величине, обратной числу колебаний за врем€ релаксации.

Ћогарифмический декремент характеризует потери энергии. ѕолна€ энерги€ колебаний равна , или . ѕотери энергии за малое число колебаний определим, дифференциру€ функцию энергии . ѕримем и получим . Ћогарифмический декремент равен относительным потер€м энергии за половину периода.

”становка дл€ изучени€ затухающих колебаний, так называемый наклонный ма€тник, представл€ет собой шарик на нити, который катаетс€ по наклонной плоскости (рис. 2). јмплитуда колебаний измер€етс€ по шкале.

ƒругой ма€тник представл€ет собой шар, вис€щий на пружине.

¬џѕќЋЌ≈Ќ»≈ –јЅќ“џ

 

1. ”становить некоторый угол наклона плоскости α. ”бедитьс€, что в положении равновеси€ шарик находитс€ против нул€ шкалы. ќтвести шарик к краю шкалы. ќпределить начальную амплитуду ј 0. ќтпустить шарик. ќн начнЄт совершать колебани€. »змер€ть амплитуду, не останавлива€ процесс колебаний, через каждые 5 колебаний не менее п€ти раз. –езультаты записать в таблицу.

Ќомер колебани€ N            
јмплитуда ј, рад            
ln ј            
ѕериод    

 

 

2. ќпределить период колебаний. ¬ключить секундомер в сеть 220 ¬. ќтвести шарик к краю шкалы, отпустить, одновременно нажать кнопку ѕуск секундомера. »змерить по времени дес€ти колебаний период: . ¬ыключить секундомер.

3. ѕроизвести расчеты. ќпределить натуральные логарифмы амплитуды. «аписать в таблицу.

4. ѕостроить график зависимости логарифма амплитуды от числа совершенных колебаний N (рис. 2). –азмер графика не менее половины страницы. Ќа ос€х координат нанести равномерный масштаб. ≈сли прологарифмировать уравнение (6), то можно убедитьс€, что зависимость логарифма амплитуды от числа колебаний €вл€етс€ линейной: с угловым коэффициентом, равным логарифмическому декременту. «начит, около точек следует провести пр€мую линию.

5. ќпределить среднее значение логарифмического декремента как углового коэффициента линии. ƒл€ этого на экспериментальной линии как на гипотенузе построить пр€моугольный треугольник. —реднее значение логарифмического декремента будет равно отношению катетов (рис. 3):

. (7)

 

6. ќпределить среднее значение коэффициента затухани€ и времени релаксации

 

; . (8)

 

7. ќценить случайную погрешность логарифмического декремента графическим методом. ƒл€ этого провести на графике две параллельные линии, как можно ближе, но чтобы экспериментальные точки оказались между ними (рис. 3). ќпределить рассто€ние между ними по оси ординат. —лучайна€ погрешность равна .

 

8. «аписать результат в виде θ =<θ>± δθ, – = 0,9.

—делать выводы.

 

 

 ќЌ“–ќЋ№Ќџ≈ ¬ќѕ–ќ—џ

 

1.  акие колебани€ называютс€ затухающими?  акие силы действуют на ма€тник, совершающий затухающие колебани€?

2. «апишите уравнение второго закона Ќьютона дл€ ма€тника.  акие силы действуют на ма€тник?

3. «апишите уравнение затухающих колебаний. »зобразите график зависимости координаты тела и амплитуды от времени.

4. ƒайте определение и физический смысл параметрам затухани€: коэффициенту затухани€, логарифмическому декременту, добротности, времени релаксации.

5. ¬ыведите формулу дл€ экспериментального определени€ коэффициента трени€ качени€.

6. ќбъ€сните метод графического определени€ логарифмического декремента и его случайной погрешности.

 


–абота 11





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-12-04; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 826 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬аше врем€ ограничено, не тратьте его, жив€ чужой жизнью © —тив ƒжобс
==> читать все изречени€...

579 - | 591 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.014 с.