Изучение затухающих колебаний

 

Цель работы: изучить закономерности затухающих колебаний, определить параметры затухания.

Оборудование: маятник (шарик на нити, шарик на пружине), наклонная плоскость, шкала, секундомер.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

 

Маятники – это тела, которые при выведении их из положения устойчивого равновесия совершают после этого собственные механические колебания под действием внутренней возвращающей силы. Например, для пружинного маятника это силы упругости пружины. Эти силы в первом приближении пропорциональны смещению тела от положения равновесия: где – коэффициент упругости. Если сопротивление движению отсутствует, то маятники совершают свободные собственные колебания по гармоническому закону с циклической частотой . Параметры движения периодически повторяются. Реально собственные колебания маятников всегда затухающие из-за сопротивления среды. Примем, что сила сопротивления пропорциональна скорости движения . Так бывает при движении тела в вязкой среде с небольшой скоростью.

Получим уравнение затухающих колебаний. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Ох будет иметь вид: произведение массы тела на ускорение равно сумме проекций сил упругости и сопротивления:

. (1)

 

Приведём это уравнение к канонической форме, поделив его на массу

. (2)

Здесь обозначено: – коэффициент затухания, – циклическая частота свободных (незатухающих) колебаний.

Решением этого дифференциального уравнения является функция, превращающая уравнение в тождество

 

, (3)

 

где – условная циклическая частота затухающих колебаний (поскольку затухающие колебания не являются строго периодическими), – амплитуда колебаний в начальный момент времени, – начальная фаза колебаний. При малом затухании (b << w₀) частота затухающих колебаний практически не отличается от частоты свободных колебаний. Если b > w₀, то колебания невозможны, отклоненное тело совершает апериодическое движение, медленно возвращается к положению равновесия.

Амплитудой затухающих колебаний является выражение перед синусом в уравнении (3)

 

А =А ₀ е ^{-b t}. (4)

 

Как видно, со временем амплитуда уменьшается по экспоненциальному закону (рис. 1, пунктир).

Затухание колебаний характеризуют несколькими параметрами. Во-первых, коэффициент затухания, который характеризует уменьшение амплитуды со временем, согласно формуле (4). Пусть за некоторое время τ, называемое временем релаксации, амплитуда уменьшилась в e = 2,72 раза, тогда , откуда . Коэффициент затухания равен величине, обратной времени релаксации.

Во-вторых, параметром затухания является логарифмический декремент. По определению он равен логарифму отношения амплитуд двух соседних колебаний:

 

, (5)

 

где – амплитуда в момент времени t, – амплитуда через один период .

Установим связь между логарифмическим декрементом и коэффициентом затухания , . Уравнение для амплитуды (4) можно записать как функцию от числа совершенных колебаний N, подставив время и коэффициент затухания :

 

. (6)

 

Отсюда видно, что логарифмический декремент равен величине, обратной числу колебаний за время релаксации.

Логарифмический декремент характеризует потери энергии. Полная энергия колебаний равна , или . Потери энергии за малое число колебаний определим, дифференцируя функцию энергии . Примем и получим . Логарифмический декремент равен относительным потерям энергии за половину периода.

Установка для изучения затухающих колебаний, так называемый наклонный маятник, представляет собой шарик на нити, который катается по наклонной плоскости (рис. 2). Амплитуда колебаний измеряется по шкале.

Другой маятник представляет собой шар, висящий на пружине.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

 

1. Установить некоторый угол наклона плоскости α. Убедиться, что в положении равновесия шарик находится против нуля шкалы. Отвести шарик к краю шкалы. Определить начальную амплитуду А ₀. Отпустить шарик. Он начнёт совершать колебания. Измерять амплитуду, не останавливая процесс колебаний, через каждые 5 колебаний не менее пяти раз. Результаты записать в таблицу.

Номер колебания N
Амплитуда А, рад
ln А
Период Т,с

 

 

2. Определить период колебаний. Включить секундомер в сеть 220 В. Отвести шарик к краю шкалы, отпустить, одновременно нажать кнопку Пуск секундомера. Измерить по времени десяти колебаний период: . Выключить секундомер.

3. Произвести расчеты. Определить натуральные логарифмы амплитуды. Записать в таблицу.

4. Построить график зависимости логарифма амплитуды от числа совершенных колебаний N (рис. 2). Размер графика не менее половины страницы. На осях координат нанести равномерный масштаб. Если прологарифмировать уравнение (6), то можно убедиться, что зависимость логарифма амплитуды от числа колебаний является линейной: с угловым коэффициентом, равным логарифмическому декременту. Значит, около точек следует провести прямую линию.

5. Определить среднее значение логарифмического декремента как углового коэффициента линии. Для этого на экспериментальной линии как на гипотенузе построить прямоугольный треугольник. Среднее значение логарифмического декремента будет равно отношению катетов (рис. 3):

. (7)

 

6. Определить среднее значение коэффициента затухания и времени релаксации

 

; . (8)

 

7. Оценить случайную погрешность логарифмического декремента графическим методом. Для этого провести на графике две параллельные линии, как можно ближе, но чтобы экспериментальные точки оказались между ними (рис. 3). Определить расстояние между ними по оси ординат. Случайная погрешность равна .

 

8. Записать результат в виде θ =<θ>± δθ, Р = 0,9.

Сделать выводы.

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Какие колебания называются затухающими? Какие силы действуют на маятник, совершающий затухающие колебания?

2. Запишите уравнение второго закона Ньютона для маятника. Какие силы действуют на маятник?

3. Запишите уравнение затухающих колебаний. Изобразите график зависимости координаты тела и амплитуды от времени.

4. Дайте определение и физический смысл параметрам затухания: коэффициенту затухания, логарифмическому декременту, добротности, времени релаксации.

5. Выведите формулу для экспериментального определения коэффициента трения качения.

6. Объясните метод графического определения логарифмического декремента и его случайной погрешности.

 

Работа 11