Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


√лава шеста€ Ќаука и техника в античности 3 страница




вес сегм. 2βγ/вес треуг. αζγ = площадь сегм. αβγ/площадь треуг. αζγ = κχ/κϑ

»з геометрии мы знаем, что κχ = 1/3 κγ. ќтсюдаЈ: площадь сегм. αβγ/площадь треуг. αζγ = κγ/ζκϑ = 1/3

ѕлощадь треугольника αζγ = 1/2 * αζ * αγ,

»з чертежа, однако, €вствует, что αζ = 2δε = 4δβ. ¬ результате приходим к окончательному ответу:

площадь сегм. αβγ = 4/3 (1/2 * δβ * αγ) = 4/3 площ. треуг. αβγ

Ќесмотр€ на недостаточную строгость механического метода, полученное соотношение оказываетс€ абсолютно точным. “ем не менее во второй части трактата јрхимед дает второе (геометрическое) доказательство, где тот же результат получаетс€ с помощью метода исчерпывани€ Ёвдокса (рис. 7). ѕри этом јрхимед указывает, что в ходе доказательства он пользуетс€ следующим предположением:

Ђ≈сли имеютс€ две неравные площади, то, посто€нно прибавл€€ к самому себе избыток, на который больша€ площадь превосходит меньшую, можно получить площадь, котора€ была бы больше любой заданной ограниченной площадиї[293].

–ис. 7. ќпределение площади параболы методом Ђисчерпывани€ї

 

јрхимед сообщает, что Ђэтой леммой пользовались также и жившие ранее геометрыї. ќн имеет в виду, по-видимому, Ёвдокса и Ёвклида. Ёвдокс, впервые и в самом общем виде (дл€ любых величин, а не только дл€ площадей) сформулировавший это положение, использовал его дл€ разработки своей теории отношений, изложенной в п€той книге ЂЁлементовї Ёвклида; в свою очередь, Ёвклид доказал с его помощью теоремы о площади круга и об объемах шара, пирамиды и конуса (двенадцата€ книга ЂЁлементовї). “аким образом, автором этого положени€ был фактически Ёвдокс, хот€ в позднейшей математической литературе оно получило наименование Ђаксиомы јрхимедаї.

ќсновна€ иде€ геометрического доказательства дл€ той же задачи состоит в следующем. —нова рассматриваетс€ параболический сегмент, в который вписан треугольник αβγ. ѕлощадь этого треугольника обозначим буквой A и, положим K =4/3 A. ѕлощадь сегмента может быть либо равна K, либо не равна K. ¬ последнем случае она может быть либо больше K, либо меньше K. јрхимед

показывает, что оба этих предположени€ привод€т к абсурду. ƒелаетс€ это следующим образом.

–азделив основание сегмента на четыре равные части (рис. 2), проведем вертикальные отрезки εζ || δβ || ηϑ и построим на сторонах αβ и βγ треугольники αζβ и γβϑ. Ќетрудно показать (и јрхимед это делает), что суммарна€ площадь этих двух треугольников будет в четыре раза меньше A. јналогичным образом, разделив αγ на восемь равных частей, построим на отрезках αζ, ζβ, βϑ и ϑγ четыре треугольника, суммарна€ площадь которых будет равна одной шестнадцатой A. ѕродолжа€ эту процедуру n раз, мы найдем, что площадь вписанного в сегмент многоугольника, ограниченного снизу основанием αγ, а сверху Ч ломаной линией, состо€щей из 2n+1 отрезков, будет выражатьс€ суммой членов геометрической прогрессии

A + A /4 + A /42 +Е + A /4 n

ћы сразу видим, что при n Ч > ∞ эта сумма будет иметь своим пределом выражение:

A /(1Ц1/4) =4/3 A = K

ќднако в эпоху јрхимеда с бесконечными р€дами еще не умели оперировать, поэтому јрхимед ограничиваетс€ рассмотрением р€да с конечным числом членов и показывает, что разность между K и суммой этого р€да будет равна одной трети последнего члена р€да (т. е. в наших обозначени€х 1/3 * A /4 n). ясно, что, увеличива€ число членов р€да, мы можем эту разность сделать меньше любой наперед заданной величины. — другой стороны, эта разность представл€ет собой площадь остающихс€ мелких сегментов, на которую площадь параболического сегмента αζβϑγ превосходит площадь вписанного в этот сегмент многоугольника, построенного указанным выше образом из последовательно уменьшающихс€ треугольников. ќтсюда следует, что площадь параболического сегмента αζβϑγ не может превосходить K на конечную величину, ибо тогда получилось бы, что площадь вписанного многоугольника, выражающа€с€ суммой (3), могла бы стать больше K, что, как мы видели, не может иметь еста. ќчевидно, что и K не может превосходить площадь параболического сегмента αζβϑγ на конечную величину, ибо тогда площадь вписанного многоугольника сможет стать больше площади αζβϑγ, что также абсурдно. —ледовательно, площадь параболического сегмента αζβϑγ равна K = 4/3 A.

ћы специально задержались на рассмотрении трактата Ђ вадратура параболыї, чтобы показать различие между механическим и геометрическим методами доказательства, которыми пользовалс€ јрхимед. ¬ последующих письмах к ƒосифею (два письма Ђќ шаре и цилиндреї, затем Ђќ коноидах и сфероидахї и Ђќ спирал€хї) мы уже не находим механического метода, зато геометрический метод подвергаетс€ им значительному усовершенствованию. ј именно, в отличие от метода исчерпывани€ Ёвдокса (примером которого может служить процедура, примененна€ јрхимедом в Ђ вадратуре параболыї) усовершенствованный метод јрхимеда состо€л в том, что подлежаща€ определению величина заключалась между двум€ интегральными суммами, разность которых могла быть сделана меньше любой наперед заданной величины. »скома€ величина находилась при этом как общий предел обеих сумм при безграничном увеличении числа слагаемых, что было эквивалентно задаче о вычислении определенного интеграла. ѕри определении поверхности шара, при нахождении объема сегментов параболоида и гиперболоида, а также эллипсоида вращени€ јрхимед, по сути дела, вычисл€л интегралы:

Ётим же методом јрхимед решал и более трудные задачи Ч определени€ длин дуг и площадей р€да кривых поверхностей.

“рудно сказать, осознавал ли јрхимед, что в каждой из рассмотренных им задач речь шла об одном и том же математическом пон€тии Ч пон€тии определенного интеграла. ¬о вс€ком случае, у него еще не было средств, чтобы дать общее определение интеграла.

Ќар€ду с методами вычислени€ площадей и объемов јрхимед разработал метод определени€ касательной к кривой, который можно считать предвосхищением дифференциального исчислени€, поскольку он фактически сводитс€ к нахождению производной. ѕо каким-то причинам этот метод фигурирует только в письме Ђќ спирал€хї, где он примен€етс€ дл€ определени€ касательной к спирали ρ = αφ (так называема€ јрхимедова спираль), однако рассуждени€ јрхимеда имеют общий характер и применимы к любой дифференцируемой кривой. “ем же методом јрхимед пользуетс€ дл€ нахождени€ экстремальных значений алгебраических выражений, которые могут быть выражены в виде геометрических кривых. ¬ частности, пользу€сь современной терминологией, можно сказать, что он провел полное исследование существовани€ положительных корней кубического уравнени€ определенного вида. ѕроблема определени€ экстремальных значений сводитс€ јрхимедом к проблеме нахождени€ касательной к соответствующей кривой.

ћатематические методы јрхимеда оказали громадное вли€ние на развитие математики нового времени. ”пом€нем работы таких математиков XVII столети€, как Ћука ¬алерио (Ђ“ри книги о центре т€жестиї, 1604), √ригорий —ен-¬енсан (Ђ√еометрический труд о квадратуре круга и конических сеченийї, опубликован в 1647 г.), ѕауль √ульдин (четыре книги Ђќ центре т€жестиї, 1635Ц1641), Ѕонавентура  авальери (Ђ√еометри€, развита€ новым способом при помощи неделимых непрерывногої, 1635; а также продолжение этого труда Ч ЂЎесть геометрических этюдовї, 1647), Ёванджелиста “орричелли (Ђ√еометрические трудыї, 1644) и другие. ¬о всех этих работах использовались и развивались процедуры, примен€вшиес€ дл€ решени€ аналогичных задач јрхимедом, и тем самым подготавливалась велика€ революци€ в математике, выразивша€с€ в создании анализа бесконечно малых в трудах Ќьютона и Ћейбница. ћожно только согласитьс€ с ». Ќ. ¬еселовским, назвавшим јрхимеда Ђведущим математиком XVII в.ї[294].

ѕереход к чисто геометрическим доказательствам не означал, что јрхимед перестал признавать эвристическую ценность метода, основанного на механических аналоги€х. Ёто €сно следует из его позднего, сравнительно недавно найденного сочинени€, получившего наименование ЂЁфодї[295] (его полное греческое заглавие таково: Περί τών μηχανικών ϑεορημα τών προς Έρατοσϑένην ίφοδος). –укопись этого сочинени€ была обнаружена в одном из иерусалимских монастырей приват-доцентом ѕетербургского университета, греком по национальности, ѕападопуло  ерамевсом, который увидел, что под текстов какого-то духовного содержани€ на пергаменте заметен другой, значительно более старый текст. Ётот палимпсест был тщательно изучен в 1906Ц1908 гг. известным датским филологом ». Ћ. ’ейбергом, установившим, что первоначальный текст содержит значительную часть трактата Ђќ плавающих телахї, а также ЂЁфодї, ранее известный лишь по отдельным цитатам в Ђћетрикеї √ерона. ќбнаружение и прочтение столь замечательного пергамента принадлежит, бесспорно, к числу значительнейших открытий классической филологии нашего века.

ЂЁфодї написан в форме письма јрхимеда к Ёратосфену. ¬ нем јрхимед приводит целую серию теорем, доказательства которых были им найдены сперва механическим методом (среди них содержитс€, между прочим, и теорема о квадратуре параболы). ¬о вступительной части письма јрхимед пишет по этому поводу следующее: Ђ«на€, что ты €вл€ешьс€Е ученым человеком и по праву занимаешь выдающеес€ место в философии, а также при случае можешь оценить и математическую теорию, € счел нужнымЕ изложить тебе некоторый особый метод, при помощи которого ты получишь возможность при помощи механики находить некоторые математические теоремы. я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и дл€ доказательства самих теорем. ƒействительно, кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было доказано также и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода еще не €вл€етс€ доказательством, однако получить при помощи этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить изыскани€ ничего не зна€. ѕоэтому и относительно тех теорем о конусе и пирамиде, дл€ которых Ёвдокс первый нашел доказательство, а именно что вс€кий конус составл€ет третью часть цилиндра, а пирамида Ч третью часть призмы с тем же основанием и равной высотой, немалую долю заслуги € уделю и ƒемокриту, который первый высказал это положение относительно упом€нутых фигур, хот€ и без доказательства. » нам довелось найти публикуемые теперь теоремы тем же самым методом, как и предыдущие; поэтому € и решил написать об этом методе и обнародовать его, с одной стороны, дл€ того, чтобы не оставались пустым звуком прежние мои упоминани€ о нем, а с другой Ч поскольку € убежден, что он может принести математике немалую пользу; € предполагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в головуї[296].

Ќепосредственное отношение к теоретической механике имеет трактат јрхимеда Ђќ равновесии плоских фигурї (Περί επιπέδων ισορροπιών). ќн состоит из двух частей. ¬ первой части јрхимед дает строго аксиоматический вывод закона равновеси€ рычага и определ€ет центры т€жести параллелограмма, треугольника и трапеции. ¬о второй части вычисл€ютс€ центры т€жести параболического сегмента и параболической трапеции.

ѕо поводу времени написани€ этого сочинени€ существуют различные мнени€. јнглийский историк математики “. Ћ. ’ит, а у нас —. я. Ћурье считали, что перва€ часть трактата Ђќ равновесии плоских фигурї относитс€ к раннему периоду творчества јрхимеда, когда он был зан€т проблемами центра т€жести и равновеси€ рычага[297]. ¬торую часть трактата ’ит относит к более позднему времени, когда уже была написана Ђ вадратура параболыї. ». Ќ. ¬еселовский выражал свое несогласие с таким разделением трактата на два различных по времени создани€ сочинени€ и приводил по этому поводу р€д соображений, которые нам представл€ютс€ достаточно вескими[298]. ¬кратце эти соображени€ свод€тс€ к следующему.

 ак перва€, так и втора€ часть трактата резко отличаютс€ по своему стилю от работ јрхимеда раннего периода. “ак, например, в Ђ вадратуре параболыї еще очень заметна механическа€ основа, на которой строитс€ первое доказательство: говоритс€ о рычагах, о подвешенных грузах, о равновесии, которое предполагаетс€ практически осуществимым, т. е. устойчивым, и т. д. Ќичего этого нет в трактате Ђќ равновесии плоских фигурї. ќн начинаетс€ с формулировки семи аксиом, из которых с помощью чистой дедукции выводитс€ закон рычага. ¬от эти аксиомы:

Ђ1. –авные т€жести на равных длинах уравновешиваютс€, на неравных же длинах не уравновешиваютс€, но перевешивают т€жести па большей длине.

2. ≈сли при равновесии т€жестей на каких-нибудь длинах к одной из т€жестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиватьс€, но перевесит та т€жесть, к которой было прибавлено.

3. “очно так же если от одной из т€жестей будет отн€то что-нибудь, то они не будут уравновешиватьс€, но перевесит та т€жесть, от которой не было отн€то.

4. ѕри совмещении друг с другом равных и подобных плоских фигур совмест€тс€ друг с другом и их центры т€жести.

5. ” неравных же, но подобных фигур центры т€жести будут подобно же расположены. (ѕод подобным расположением точек в подобных фигурах мы подразумеваем такое, в котором пр€мые, проведенные из этих точек к вершинам равных углов, образуют равные углы с соответственными сторонами.)

6. ≈сли величины уравновешиваютс€ на каких-нибудь длинах, то на тех же самых длинах будут уравновешиватьс€ и равные им.

7. ¬о вс€кой фигуре, периметр которой везде выпукл в одну и ту же сторону, центр т€жести должен находитьс€ внутри фигурыї[299].

ћы видим, что эти аксиомы отчетливо распадаютс€ на две группы.   первой группе относ€тс€ перва€, втора€, треть€ и шеста€ аксиомы, лежащие в основе теории рычага. ¬ аксиомах четвертой, п€той и седьмой говоритс€ о центрах т€жести плоских фигур, причем само пон€тие центра т€жести считаетс€ хорошо известным. —в€зь между обеими группами аксиом становитс€ очевидной в ходе последующих доказательств, причем эти доказательства имеют крайне формальный характер: место физического рычага занимают простые геометрические линии, и само равновесие становитс€ каким-то неопределенным, отвлеченно-математическим; теоремы доказываютс€ большей частью от противного, причем это относитс€ в равной мере как к первой, так и ко второй части трактата. ћатериал первой книги подготавливает все необходимое дл€ доказательства теорем второй книги, причем между предложени€ми обеих частей имеетс€ тесна€ логическа€ св€зь.

“аким образом, следует прин€ть тезис о достаточно позднем времени написани€ трактата Ђќ равновесии плоских фигурї. ¬ этом сочинении јрхимед решил придать строгую математическую форму результатам, которые были получены им значительно раньше.

«аметим, что Ё. ћах, относившийс€ с недоверием ко вс€кому применению формально-дедуктивных методов к механике, полагал, что логическа€ строгость архимедовской теории рычага €вл€етс€ мнимой. ѕо его мнению, теоремы шеста€ и седьма€ трактата, глас€щие, что как соизмеримые, так и несоизмеримые величины уравновешиваютс€ на длинах, обратно пропорциональных т€жест€м, не могут быть выведены из приведенных выше семи аксиом без привлечени€ опытных данных. ¬от что он писал по этому поводу в Ђћеханикеї.

Ђ’от€ результаты, полученные јрхимедом и последующими исследовател€ми, с первого взгл€да и кажутс€ чрезвычайно поразительными, тем не менее у нас возникают при более точном рассмотрении сомнени€ в правильности их. »з одного допущени€ равновеси€ равных грузов на равных рассто€ни€х выводитс€ обратна€ пропорциональность между грузом и плечом рычага!  ак же это возможно?. –аз уже одну голую зависимость равновеси€ от груза и рассто€ни€ вообще невозможно было измыслить из себ€, а необходимо было заимствовать из опыта, то тем менее нам удастс€ найти спекул€тивным путем форму этой зависимости, пропорциональностьї[300].

“очка зрени€ ћаха вызвала оживленную дискуссию среди историков науки. ћы не имеем возможности останавливатьс€ на этой дискуссии, так как это зан€ло бы слишком много места; ограничимс€ ссылкой на ». Ќ. ¬еселовского, который утверждал, что доказательства јрхимеда оказываютс€ совершенно безупречными, если разобратьс€ в смысле шестой аксиомы, котора€ на первый взгл€д кажетс€ чистой тавтологией (именно так, по-видимому, воспринимал ее ћах). Ётот смысл состоит в следующем: Ђƒействие груза, приложенного в данной точке, определ€етс€ только его величиной, т. е. совершенно не зависит от его формы или ориентацииї.

ѕонимаема€ таким образом шеста€ аксиома позвол€ет заменить несколько масс одной, помещенной в центре их т€жести; в этом смысле она и употребл€етс€ јрхимедом при доказательстве теорем шестой и седьмой первой книги (а также теоремы первой второй книги). ƒоказательство закона рычага приобретает теперь вполне строгую логическую форму[301].

“ак или иначе, трактат јрхимеда Ђќ равновесии плоских фигурї считалс€ на прот€жении р€да веков образцом математической строгости. Ќар€ду с письмами к ƒосифею он тщательнейшим образом изучалс€ математиками XVII в., среди которых, помимо перечисленных выше ученых, были такие гиганты, как √алилей и √юйгенс.

ќсобое положение в научном наследии јрхимеда занимает трактат Ђќ плавающих телахї (Περί των όχουμένων), состо€щий из двух книг. Ёто, по-видимому, одно из последних, если не самое последнее сочинение великого сиракузца. ¬ пользу этого предположени€ говорит €вна€ незаконченность конца второй книги. “ем не менее этот трактат можно считать едва ли не высшим достижением јрхимеда, свидетельствующим о том, что до конца своих дней (прерванных, как известно, злосчастным ударом меча римского воина) јрхимед находилс€ в расцвете своих творческих потенций.

»нтересна позднейша€ истори€ этого трактата. ¬ XIII столетии один из немногих в то врем€ знатоков греческого €зыка Ч ¬ильгельм ћербеке (ум. 1282 г.) выполнил по просьбе ‘омы јквинского перевод р€да сочинений јрхимеда (а также других греческих ученых) на латынь. —реди переведенных сочинений был и трактат Ђќ плавающих телахї. ¬скоре после этого греческа€ рукопись трактата была каким-то образом утер€на. ¬ течение нескольких столетий трактат оставалс€ известен лишь в переводе ћеркебе. » лишь в начале XX в. ’ейберг обнаружил около трех четвертей оригинального текста трактата на том самом палимпсесте, на котором был записан и ЂЁфодї.

ѕерва€ часть трактата Ђќ плавающих телахї начинаетс€ с предположени€, которое можно было бы назвать физической аксиомой, если бы оно не заключало в себе целую физическую концепцию:

Ђѕредположим, что жидкость имеет такую природу, что из ее частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваютс€ более сдавленными и что кажда€ из ее частиц сдавливаетс€ жидкостью, наход€щейс€ над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-либо сосуде и не сдавливаетс€ еще чем-нибудь другимї[302].

–ассмотрение жидкости как среды, которую можно рассматривать как совокупность бесчисленного множества прилегающих друг к другу частиц, стало в дальнейшем общеприн€тым приемом физики сплошных сред и не имеет никакого отношени€ к анатомистике. ” јрхимеда мы встречаемс€ с этим приемом впервые.

ѕредположение, которое мы процитировали, используетс€ јрхимедом дл€ вывода целого р€да важных теорем. ѕервые две из них устанавливают следующее свойство жидкости: Ђѕоверхность вс€кой жидкости, установившейс€ неподвижно, будет иметь форму шара, центр которого совпадает с центром «емлиї[303]. ћы теперь знаем, что это свойство (сформулированное, кстати сказать, еще јристотелем в трактате Ђќ небеї[304]) имеет приблизительный характер и не соблюдаетс€ у жидкостей, заключенных в узкие сосуды. Ќо дл€ жидкостей, наход€щихс€ в больших бассейнах, дл€ озер, морей и океанов, доказанна€ јрхимедом теорема безусловно справедлива.

ќтметим, что эта теорема не получила немедленного признани€ среди ученых того времени, хот€ она, казалось бы, была логическим следствием положени€ о шарообразности «емли. — ней не был согласен даже друг јрхимеда Ёратосфен Ч тот самый Ёратосфен, который впервые получил точные данных о размерах земного шара. ¬ первой книге Ђ√еографииї —трабона мы находим следующее свидетельство: Ђ–азве не смешно теперь видеть, как математик Ёратосфен отказываетс€ признать установленный јрхимедом в сочинении Ђќ плавающих телахї принцип, что поверхность вс€кой поко€щейс€ жидкости принимает форму шара, центр которого совпадает с центром «емли, а ведь это принцип, который теперь принимаетс€ вс€ким мало-мальски знающим математикуї[305].

ƒалее в трактате јрхимеда следуют п€ть теорем, которые мы также процитируем дословно: ЂIII. “ела, равнот€желые с жидкостью, будучи опущены в эту жидкость, погружаютс€ так, что никака€ их часть не выступает над поверхностью жидкости и не будет двигатьс€ внизЕ <Е> IV. “ело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, не погружаетс€ целиком, но некотора€ часть его остаетс€ над поверхностью жидкостиЕ <Е> V. “ело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, погружаетс€ настолько, чтобы объем жидкости, соответствующий погруженной (части тела), имел вес, равный весу всего телаЕ <Е> VI. “ела, более легкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость насильственно, будут выталкиватьс€ вверх с силой, равной тому весу, на который жидкость, имеюща€ равный объем с телом, будет т€желее этого телаЕ <Е.> VII. “ела, более т€желые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость, будут погружатьс€, пока не дойдут до самого низа, и в жидкости станут легче на величину веса жидкости в объеме, равном объему погруженного телаЕї[306]

Ёти теоремы образуют фундамент новой науки, созданной јрхимедом и получившей впоследствии наименование гидростатики. ƒоказав эти теоремы, јрхимед навеки обессмертил свое им€, ибо содержащийс€ в них физический закон известен в насто€щее врем€ каждому школьнику как закон јрхимеда.

ƒальнейша€ часть трактата представл€ет собой приложение закона јрхимеда к некоторым частным случа€м, ¬ конце первой книги јрхимед рассматривает услови€ равновеси€ сегмента шара, опущенного в жидкость и имеющего плотность меньшую плотности жидкости (по формулировке јрхимеда Ч Ђболее легкого, чем жидкостьї),

¬тора€ часть трактата начинаетс€ со следующей теоремы:

Ђ≈сли какое-нибудь тело более легкое, чем жидкость, опустить в эту жидкость, то оно по т€жести будет находитьс€ в том же отношении с жидкостью, какое погрузившийс€ ниже уровн€ жидкости объем имеет ко всему объемуї[307].

Ёта теорема €вл€етс€ непосредственным следствием закона јрхимеда и в насто€щее врем€ носит наименование Ђпринципа ареометраї[308]. ¬след за этим јрхимед детально рассматривает услови€ равновеси€ погруженного в жидкость пр€моугольного коноида (под пр€моугольным коноидом он понимает сегмент параболоида вращени€, отсеченного плоскостью перпендикул€рной к оси). ѕри этом јрхимед рассматривает различные случаи: когда основание сегмента не касаетс€ жидкости, когда оно касаетс€ жидкости в одной точке, когда оно целиком погружено в жидкость и т. д. Ёто рассмотрение в дошедшем до нас тексте оказываетс€ не совсем полным, что и заставл€ет нас предположить, что трактат Ђќ плавающих телахї не был закончен јрхимедом. ¬ приложении к сочинени€м јрхимеда ». Ќ. ¬еселовский показывает, что могло бы сто€ть в ненаписанной части трактата и дает полную формулировку результатов исследовани€ јрхимеда[309].

ћы не можем здесь входить в детали метода, используемого јрхимедом при рассмотрении отдельных случаев равновеси€ плавающего параболоида. ћатематическа€ сторона этого метода поражает простотой и из€ществом; что же касаетс€ его физической основы, то она состоит в следующем. јрхимед находит положение равновеси€, определ€€, будет ли параболоид, отклоненный от этого положени€, возвращатьс€ в него или нет. ≈сли будет, то найденное положение соответствует положению устойчивого равновеси€. ¬ принципе этот метод лишь в детал€х отличаетс€ от метода, разработанного во второй половине XIX в. французским математиком Ў. ƒюпеном и профессором ћосковского университета ј. ё. ƒавыдовым, дл€ которых задача о равновесии плавающих тел имела сугубо практическое значение в св€зи с теорией устойчивости корабл€. ƒл€ јрхимеда эта задача была чисто теоретической и о ее возможных практических приложени€х он, по-видимому, не задумывалс€. Ёто замечание относитс€ и к другим результатам, которые јрхимед получал в своих математических работах. Ќеслучаен тот факт, что из всех этих результатов јрхимед особенно гордилс€ доказанной им теоремой о том, что объем шара равен 2/3 объема описанного около него цилиндра, вследствие чего на его могиле был поставлен надгробный пам€тник, изображавший шар, вписанный в цилиндр. Ёти открыти€ представл€ли, с точки зрени€ јрхимеда, самосто€тельную ценность, ни в какой мере не зависевшую от их возможной практической полезности. ¬ этом отношении јрхимед целиком находилс€ в плену традиций античной науки, утверждавшей примат теоретического умозрени€ над любого рода практической де€тельностью. “о, что он был при этом гениальным инженером, ни в какой мере не мен€ло его общетеоретических установок.

ј между тем предприн€тое јрхимедом исследование закономерностей, которым подчин€ютс€ тела, погруженные в жидкости, было, по-видимому, стимулировано практическими задачами. ”твержда€ это, мы имеем в виду отнюдь не общеизвестную легенду, о которой сообщаетс€ в трактате ¬итруви€. ћетод, который, согласно ¬итрувию, был применен јрхимедом дл€ определени€ примеси серебра в золотом венце цар€ √иерона, крайне неточен и не имеет никакого отношени€ к закону јрхимеда о плавающих телах[310]. ¬ более поздних источниках излагаетс€ другой метод, основанный на законе јрхимеда и бесспорно более точный[311]. Ќо какова достоверность этих сообщений, и не представл€ли ли они позднейшую реконструкцию опыта јрхимеда? ћы не знаем этого.

Ѕолее важным в данном контексте представл€етс€ сообщение историка ѕолиби€[312] (повторенное затем “итом Ћивией и ѕлутархом), по которому во врем€ обороны —иракуз јрхимед подымал и опрокидывал римские корабли с помощью специально сконструированной железной Ђлапыї. ≈сли это сообщение соответствовало действительности, то при расчетах, которые надо было произвести дл€ построени€ такого механизма, должен был учитыватьс€ закон јрхимеда.

„то касаетс€ прочих инженерных изобретений јрхимеда, то к ним, помимо уже упоминавшейс€ выше Ђулиткиї дл€ полива полей и не счита€ описанного самим јрхимедом в Ђѕсаммитеї прибора дл€ определени€ видимого диаметра —олнца (этот прибор можно считать первой известной нам из литературы научно-измерительной установкой), относ€тс€ следующие, упоминаемые древними авторами, устройства: 1. ЂЌебесна€ сфераї, или планетарий, описанный позднее ÷ицероном. ѕосле гибели јрхимеда он был вывезен римским полководцем ћарцеллом в –им, где в течение нескольких столетий служил предметом всеобщего восхищени€. ѕоследнее упоминание об этом планетарии содержитс€ в эпиграмме римского поэта  лавдиана (ок. 400 г.), из которой мы, в частности, узнаем, что этот планетарий приводилс€ в движение каким-то пневматическим механизмом[313]. Ќаличие такого механизма существенно отличало планетарий јрхимеда от более примитивных Ђнебесных сферї, создававшихс€ греческими астрономами, начина€ с Ёвдокса, дл€ моделировани€ движений небесных тел.

2. √идравлический орган, упоминаемый “ертуллианом в качестве одного из чудес техники[314]. Ќадо, однако, отметить, что более древние источники называют в качестве изобретател€ такого органа александрийского инженера  тесиби€[315], о котором у нас речь пойдет ниже.

јрхимед, по-видимому, лишь усовершенствовал орган, изобретенный  тесибием.

3. ћногочисленные военные оруди€, нашедшие применение при обороне —иракуз. ќсобый интерес (и, скажем пр€мо, наибольшие сомнени€) среди них вызывает уже упоминавша€с€ нами Ђлапаї, захватывавша€ и переворачивавша€ римские суда. ќстальные оруди€, по-видимому, отличались от аналогичных устройств, примен€вшихс€ в войнах того времени, лишь меткостью попадани€, которую подчеркивают все историки, писавшие об осаде —иракуз римл€нами.

»з всего изложенного следует, что в целом технические достижени€ јрхимеда лежали в русле развити€ античной техники того времени. ѕринципиальное отличие јрхимеда от современных ему инженеров типа  тесиби€ и ‘илона состо€ло в том, что, будучи величайшим ученым эпохи эллинизма, он сумел осмыслить действие р€да элементарных механизмов, с которыми человек издавна имел дело в своей повседневной практике, и положить тем самым начало развитию теоретической механики Ч науки, которую древность до этого не знала, но котора€ стала решающим фактором прогресса материального производства в новое врем€.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-23; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 424 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћибо вы управл€ете вашим днем, либо день управл€ет вами. © ƒжим –он
==> читать все изречени€...

629 - | 498 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.046 с.