Глава шестая Наука и техника в античности 2 страница

Это не было мнение одного Аристотеля — это было господствующее мнение на протяжении всей античности. В связи с этим будет небезынтересно проследить те тенденции в греческой научной литературе, которые были направлены на установление связи между теоретической наукой и техникой, рассмотреть работы греческих ученых, в которых, худо ли хорошо ли, делались попытки осмыслить действие тех или иных орудий и механизмов. Заметим, кстати, что в классическую эпоху такие попытки не предпринимались; все работы, о которых может в данном случае идти речь, относятся к эпохе эллинизма.

«Механические проблемы»

Трактат под таким названием по традиции включается в основной корпус сочинений Аристотеля^[278]. В настоящее время, однако, господствует мнение, что автором трактата был не Аристотель, а кто-то из более поздних представителей перипатетической школы. Некоторые детали позволяют предположить, что этот автор в течение более или менее длительного времени жил в Египте; поэтому нельзя считать исключенным, что им был Стратон, до 287 г. воспитывавший в Александрии наследника престола — будущего Птолемея II. В этом случае время написания трактата может быть отнесено примерно к восьмидесятым годам III в. до н. э. Существуют, впрочем, и другие точки зрения.

Особый интерес для нас представляет теоретическое введение к трактату, в котором формулируется интересующая автора общая проблема.

Перипатетический, вернее, просто аристотелевский дух трактата обнаруживается уже в первых его фразах. Автор говорит об удивлении, которое вызывают в нас как естественные события, совершающиеся в соответствии с природой, но причины которых нам неизвестны, так и события, противоречащие природе и производимые искусством (техникой) в интересах нашей пользы. При этом невольно вспоминается вторая глава первой книги «Метафизики», где подчеркивается роль удивления как важнейшего стимула, побуждающего человека стремиться к познанию («Ибо и теперь и прежде удивление побуждает людей философствовать, причем вначале они удивлялись тому, что непосредственно вызывало недоумение, а затем, мало-помалу продвигаясь таким образом далее, они задавались вопросами о более значительном…»^[279]) Совершенно в том же смысле, что и там, употребляется термин τέχνη, оказывающийся равнозначным искусству, ремеслу и вообще мастерству в самом широком смысле. Вполне в духе Аристотеля рассуждения о событиях, совершающихся в соответствии с природой и вопреки природе. Новым по сравнению с традиционным представлением об Аристотеле-философе является, пожалуй, обращение к механическим проблемам, т. е. к технике, но в конце концов почему Аристотель не мог заняться теоретическим осмыслением также и этой сферы человеческой деятельности?

Вслед за этим автор «Механических проблем» формулирует основную проблему своего трактата — проблему рычага. Действия рычага относятся, по его мнению, именно к таким явлениям, которые вызывают удивление,

Кажется поистине чудесным, что сравнительно небольшая сила может с помощью рычага двигать или поднимать намного превосходящие ее большие тяжести. Конечную причину этого действия автор усматривает в свойствах круга, которые, если подумать, представляются еще более чудесными, ибо все они образуют удивительное единство взаимно исключающих друг друга качеств.

Прежде всего, круг представляет собой единство покоя и движения. Действительно, при вращении круга вокруг центра каждая точка его окружности движется, в то время так его центр остается неподвижным. А ведь покой и движение — противоположные по своему смыслу понятия.

Окружность, ограничивающая круг, также заключает в себе две противоположности, будучи одновременно и выпуклой и вогнутой (это зависит от того, с какой стороны на нее посмотреть).

Вращающийся круг движется одновременно в двух противоположных направлениях: если все точки, находящиеся справа от центра круга, движутся вверх, то все точки, лежащие слева от центра, будут двигаться вниз. То же происходит и с радиусами круга, причем каждый радиус, начиная двигаться из своего исходного положения, в конце концов придет в него же.

Из того, что вращающийся круг движется одновременно в двух противоположных направлениях, вытекает следующая своеобразная особенность кругов, последовательно соприкасающихся друг с другом: каждый следующий круг будет двигаться противоположным образом по отношению к предыдущему. Как указывает автор «Механических проблем», этой особенностью широко пользуются механики, конструирующие на ее основе удивительные механизмы и устройства.

Учитывая все эти странности, можно не удивляться тому, что именно круг лежит в основе чудесных (на первый взгляд) свойств рычагов, весов и других механических приспособлений. При этом в ходе дальнейшего изложения автор трактата на первое место ставит обсуждение свойств весов, из которых затем выводятся свойства рычага, а уже из них свойства всех остальных инструментов и орудий. Поскольку, говоря о весах, автор имеет в виду рычажные весы, такой порядок представляется неверным: ведь свойства рычажных весов целиком определяются законом рычага, поэтому именно рычаг следовало бы поставить на первое место. Но теории рычага автор «Механических проблем» еще не знал (эта теория, базирующаяся на понятиях центра тяжести и момента силы, была впервые сформулирована Архимедом), и принятый им порядок показывает, насколько он был еще далек от понимания существа рассматриваемых им явлений.

Итак, ставится следующий вопрос: почему более длинные весы (т. е. весы с более длинными плечами) оказываются точнее более коротких? Этот вопрос связывается одним из замечательных свойств круга, выражающимся в том, что более длинный радиус вращающегося круга описывает за одно и то же время большую дугу, чем более короткий радиус (иначе говоря, что более длинный радиус проходит одно и то же расстояние за меньшее время, чем более короткий). При обсуждении этого свойства автор вдается в довольно путаные рассуждения, сопровождаемые геометрическими построениями, разбором которых мы заниматься не будем. В этих рассуждениях, однако, обращают на себя внимание два пункта, представляющие интерес с точки зрения истории механики.

Именно здесь мы впервые находим формулировку правила параллелограмма для сложения двух взаимно перпендикулярных перемещений (и эквивалентного ему правила разложения движения на две взаимно перпендикулярные составляющие). Это правило применяется к рассмотрению движения точки по окружности, которое разлагается на две составляющих — тангенциальную и радиальную. При этом тангенциальная составляющая (движение вдоль касательной к окружности) рассматривается в качестве естественной компоненты движения, а составляющая, направленная к центру круга, трактуется как насильственное движение. Такая трактовка не совпадает с традиционным аристотелевским пониманием естественного и насильственного движений и служит одним из аргументов против приписывания авторства «Механических проблем» Аристотелю; с другой стороны, она в какой-то мере предвосхищает позднейшие представления об инерциальном движении вдоль касательной к окружности и радиальном ускорении под действием центростремительной силы.

По мнению автора трактата, уподобление плеча весов радиусу вращающегося круга позволяет понять, почему при одном и том же грузе смещение длинного плеча оказывается более значительным и, следовательно, более заметным, чем смещение малого плеча.

В ходе дальнейших рассуждений автор объясняет действие рычага, трактуя его как особого рода неравно-плечные весы, которые не подвешены на шнуре, а поворачиваются вокруг твердой точки опоры. Под действием одного и того же веса более длинное плечо передвигается быстрее, чем короткое, причем его скорость (как это и следует из свойств круга) будет пропорциональна длине плеча. Отсюда делается вывод, что отношение веса, приводимого в движение (на коротком конце рычага), к весу, приводящему в движение (на длинном конце), находится в обратной пропорции к отношению длин соответствующих плеч. Чем дальше человек, приводящий в движение рычаг, находится от точки опоры, тем больший вес ему удастся поднять. Этот вывод бесспорно верен: он является обобщением многовековой человеческой практики и лишь искусственно притянут автором к чудесным свойствам круга. Мы видим, что теоретическая часть «Механических проблем» еще не поднялась до уровня научной механики и представляет собой смесь правильных наблюдений и метафизических спекуляций.

Затем следует рассмотрение свыше 30 конкретных проблем, в большей своей части относящихся к действию различного рода механических устройств и инструментов. В каждом случае задается вопрос: почему происходит то-то и то-то? Причем ответ на этот вопрос в большинстве случаев сводится к объяснению действия данного устройства с помощью принципа рычага. В ряде случаев такое объяснение оказывается вполне оправданным: это имеет место, например, когда речь идет о работе рулевого или гребного весла, разного рода щипцов (как зубоврачебных, так и употребляемых для раскалывания орехов), колодезного журавля. Впрочем, и здесь некоторые соображения автора не могут вызвать у нас ничего кроме улыбки; чего стоит, например, следующее детское рассуждение, долженствующее пояснить, почему рулевое весло прикрепляется к кормовой части судна:

«Оно помещается на конце, а не в середине, потому что движимое легче двинуть, если его двигают с конца. Ибо передняя часть перемещается быстрее всего, потому что в перемещаемых [предметах] перемещение прекращается у предела (έπι τέλει); таким образом и у непрерывных тел перемещение оказывается наиболее слабым вблизи предела (έπί τέλους). Если же оно самое слабое, его легко отклонить в сторону»^[280].

Пусть кто хочет ищет в этом рассуждении какой-либо смысл. И таких мест в «Механических проблемах» немало, особенно в тех случаях, когда автор пытается объяснить на основе принципа рычага явления совсем другого рода. Это относится, например, к объяснению действия клина, который трактуется как совмещение двух рычагов. Неверно излагается также механизм действия блока и комбинации блоков. Вообще автор «Механических проблем» неизменно терпит неудачу, когда он пытается решить задачи, выходящие за пределы чисто статических закономерностей. И это, конечно, не случайно. Впрочем, он сам чувствует свою беспомощность в объяснении динамических процессов, что, в частности, видно из следующих двух отрывков.

«Почему так получается, что если приложить к полену большой топор, а на него положить большую тяжесть, полено не рассечется сколько-нибудь заметным образом; если же, подняв топор, ударить по полену, оно расколется, хотя ударивший [топор] имел намного меньший вес, чем тот, который лежал на полене и давил на него? Не потому ли, что все [в данном случае] производится движением и тяжесть получает от своего веса больше движения, когда она движется, чем когда покоится? Итак, когда [топор] лежит в покое, он не движется движением своего веса, будучи влеком как им, так и тем, которое сообщается ударяющим»^[281].

«Движение своего веса» (ή τοϋ βάρους κίνησις) — это попытка обозначить динамическую величину, для которой автор «Механических проблем» еще не имел названия. Второй отрывок относится к движению брошенного тела, т. е. к тому случаю, который явился камнем преткновения для Аристотеля: «Почему же получается, что брошенное [тело] перестает двигаться? Из-за того ли, что истощается бросившая его сила (ή ισχύς), или из-за противодействия (τό άντισπασϑαι), или из-за стремления (τήν ροπήν), когда оно преодолевает бросившую силу? Или, может быть, не имеет смысла пытаться решить вопрос, начало которого нам неизвестно»^[282].

Действительно, «начало» в смысле закона, которому подчиняется полет брошенного тела, было неизвестно автору «Механических проблем» и осталось неизвестным всей последующей античной науке. Постановка задачи в приведенном отрывке существенно отличается от аристотелевской. Любопытно, однако, что в следующем абзаце та же самая задача формулируется прямо противоположным образом: почему тело продолжает лететь, когда толкнувший его агент уже перестал на него действовать? Здесь на помощь привлекается промежуточная среда — вполне в духе аристотелевской физики.

В заключение отметим, что в «Механических проблемах» впервые появляется термин «трение» (ή πρόσκοψις), которого мы не находим ни в каком другом трактате аристотелевского свода. В частности, задавая вопрос: почему тяжелый груз легче передвигать на катках, чем на телегах с большими колесами? — автор отвечает: «потому что на катках он не имеет никакого трения, на телегах же есть ось, о которую [он] вызывает трение»^[283].

В целом «Механические проблемы» представляют собой весьма примечательный документ, имеющий очень большое значение для историка античной науки, и прежде всего для историка механики. До этих пор теоретическая мысль греков ориентировалась главным образом на математику и астрономию; заметим, что эта ориентация сохранится в качестве основной и в последующее время. В сфере интересов Аристотеля и Феофраста оказался огромный мир органической природы, до этого находившийся на периферии греческой науки «О природе». И вот в «Механических проблемах» мы встречаемся с первой попыткой теоретического осмысления широкой области явлений, входивших в сферу повседневного человеческого опыта, но которые ранее не привлекали к себе внимания адептов греческой теоретической науки. Почему не привлекали? Во-первых, потому, что, как показывает история науки, пытливый ум человека останавливается прежде всего на явлениях необычных, загадочных и вызывающих изумление; то же, с чем мы встречаемся в нашем быту, кажется понятным и не заслуживающим внимания уже по своей привычности. Во-вторых, как хорошо известно, в обыденном и повседневном труднее всего обнаружить общие закономерности, отыскание которых составляет основную задачу всякой науки, заслуживающей этого наименования.

Аристотель был первым греческим мыслителем, обратившим внимание на обыденные и, по видимости, не представляющие интереса объекты. Вспомним его знаменитое место из трактата «О частях животных», где он призывает не пренебрегать изучением незначительных и даже неприятных для чувств животных^[284]. В четвертой книге «Метеорологики» он дает объяснение с позиций своей качественной физики широкому спектру фактов, взятых из повседневного человеческого опыта и относящихся, согласно нашей номенклатуре, к области физико-химических процессов. В этом плане «Механические проблемы» соответствовали принципиальной установке Аристотеля — изучать причины любых, как природных, так и противоприродных, явлений. Правда, целый ряд деталей (на некоторое из них было указано в ходе предшествующего изложения) заставляют нас думать, что автором «Механических проблем» был все же не сам Стагирит, а кто-то из более молодых представителей его школы. Но независимо от вопроса об их авторстве «Механические проблемы» открыли для науки новую область — область механических явлений. Теперь можно было ожидать, что в дальнейшем появится ученый, который подвергнет эти явления строгому анализу, учитывающему достижения точных наук того времени. И такой ученый не замедлил появиться — им оказался великий механик древности Архимед^[285].

Архимед

Архимед занимает уникальное положение в античной науке. Это положение определяется как характерными чертами его личности, так и направлением его научной деятельности, но прежде всего тем, что из всех античных мыслителей он по складу своего мышления, по своим интересам и устремлениям ближе всего подошел к типу ученого нового времени. Архимед объединил в своем лице, с одной стороны, гениального математика, наметившего принципиально новые пути развития этой науки, с другой же — замечательного инженера, превосходившего в отношении технического мастерства всех своих предшественников и современников. Самым существенным в этом объединении было то, что его теоретические занятия и его инженерная деятельность отнюдь не представляли собой две раздельные, непересекающиеся сферы интересов; напротив, его научные работы в значительной степени стимулировались технической практикой того времени; с другой стороны, его механические конструкции (по крайней мере в некоторой своей части) были подчинены задачам решения или иллюстрации занимавших его теоретических проблем. Что касается единства теории и практики, то в этом отношении Архимед имел, пожалуй, всего лишь одного предшественника — Фалеса Милетского, но то, что у Фалеса находилось еще в самом зачаточном состоянии, приобрело у Архимеда черты зрелого и полнокровного расцвета. При всем том Архимед не мог выйти за рамки античного образа мира, и, несмотря на всю его широту, ему была присуща известная ограниченность, коренившаяся в мироощущении того времени. В чем она состояла, покажет дальнейшее изложение.

Архимед, сын астронома Фидия, родился в Сиракузах в 287 г. до н. э. Указанная выше особенность его научного дарования проявилась, по-видимому, достаточно рано: получив блестящую по тому времени математическую подготовку, он в то же время с самого начала испытывал живой интерес к различного рода техническим проблемам. Уже в своих первых научных работах он подходит к решению этих проблем с позиций точной (математической) науки.

Не все удавалось ему сразу. В «Механике» Герона, дошедшей до нас на арабском языке, имеется пространная выписка из сочинения Архимеда, озаглавленного «Книга опор» и бывшего, по-видимому, его первой научной работой^[286]. В этом сочинении Архимед решает задачу о распределении давления балки, лежащей на нескольких опорах. Вес многоопорной балки для каждого пролета он считает распределенным поровну между ограничивающими этот пролет опорами. Так, например, в случае трех опор, подпирающих балку АС в точках А, В и С, Архимед принимает, что на опору А давит вес, равный половине веса АВ, на опору С давит вес, равный половине веса ВС, а на среднюю опору давит половина веса АВ плюс половина веса ВС. Таким образом, получается, что на среднюю опору, где бы она ни находилась, давит половина общего веса балки. Вывод совершенно неправильный.

Эта и другие ошибки Архимеда в этом сочинении (если, конечно, предположить, что эти ошибки принадлежали самому Архимеду, а не пересказывавшему ого текст Герону) объяснялись, очевидно, тем, что в то время он еще не уяснил понятия центра тяжести и не понимал, что вес тела можно считать сосредоточенным в одной точке. С другой стороны, практическая проверка выводов Архимеда представляла для древних значительные трудности.

Рассмотрение многоопорной балки приводит Архимеда к случаю стержня, опирающегося на одну точку, т. е: к рычагу. Мы знаем, что в том или ином виде рычаг был древнейшим средством, служившим для поднятия и передвижения тяжестей. Люди пользовались рычагом с незапамятных времен, но пользовались им чисто эмпирически, не задавая вопроса, в чем же заключена причина эффективности этого несложного орудия. Выше мы видели, что попытка теоретического осмысления действия рычага содержалась в псевдоаристотелевских «Механических проблемах». Но это была именно попытка, еще далекая от подлинно научной теории. Такая теория была впервые создана Архимедом.

К сожалению, до нас не дошла работа Архимеда, в которой он впервые изложил теорию рычага. Возможно, что именно этой работой было называемое Паппом сочинение «О рычагах» (Περί ζυγών)^[287]. Возможно также, что ему предшествовало другое сочинение — «О центрах тяжести» (Κεντροβάρικα), о котором упоминает Симпликий в своих комментариях к аристотелевскому трактату «О небе»^[288]. Не исключено также, что оба этих заглавия относятся к одному и тому же сочинению. Так или иначе, созданию теории рычага у Архимеда предшествовало уяснение понятия центра тяжести. Этого понятия не знали ученые предшествовавшей эпохи; мы не находим его ни у Аристотеля, ни в «Механических проблемах». Правда, в «Механике» Герона имеется следующая загадочная фраза: «Стоик Посидоний дал центру тяжести, или момента, физическое объяснение, сказавши, что центр тяжести, или момента, есть такая точка, что если за последнюю подвесить данный груз, то он будет в ней разделен на две равные части. Поэтому Архимед и его последователи в механике более подробно рассмотрели это положение и установили разницу между точкой подвеса и центром тяжести»^[289].

Эта фраза дала повод некоторым ученым (в Англии — Т. Л. Хиту, у нас — С. Я. Лурье) утверждать, что в своем первоначальном виде понятие центра тяжести было сформулировано неким стоиком начала III в. до н. э. Посидонием, которого, однако, не следует путать со знаменитым Посидонием Родосским, жившим в I в. до н. э. Однако о таком стоике мы больше ниоткуда ничего не знаем. Единственным стоиком начала III в. до п. э., имя которого нам известно, был основатель стоической школы Зенон из Китиона. Гораздо разумнее будет предположить, что в тексте Герона мы имеем дело с обычной для авторов поздней античности путаницей в порядке изложения, из-за которой создается впечатление, что Посидоний жил раньше Архимеда.

Точное определение центра тяжести приводится Паппом. Можно не сомневаться, что это определение принадлежит самому Архимеду (хотя Папп этого прямо и не указывает).

«Центром тяжести некоторого тела является некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно остается в покое и сохраняет первоначальное положение»^[290].

Имея это определение, Архимед мог сформулировать понятие момента силы, установить условия равновесия рычага и на этой основе дать теорию рычажных весов. Каким образом это было у него первоначально сделано и пользовался ли он при этом аксиоматическим методом, применявшимся им в позднейших его работах, мы не знаем. Наиболее ранняя из целиком дошедших до нас работ Архимеда — «О квадратуре параболы» — предполагает теорию рычага уже известной.

Важное значение для Архимеда имела поездка в Александрию, оказавшая, вне всякого сомнения, стимулирующее влияние на его дальнейшее творчество. Мы считаем совершенно неубедительным предположение И. Н. Веселовского, что эта поездка была совершена, когда Архимеду было уже под пятьдесят лет, и что лишь после этого он занялся проблемами чистой математики^[291]. Ничто не мешает нам допустить, что пребывание Архимеда в Александрии совпало со временем первой Пунической войны (264–241 гг. до н. э.), в которой Сиракузы не участвовали, занимая выгодную нейтральную позицию. В столице Египта Архимед познакомился с выдающимся ученым александрийской школы Кононом, занимавшим положение придворного астронома при царе Птолемее III Эвергете. Конон был лет на двадцать старше Архимеда; будучи прекрасным геометром, он ввел молодого сиракузца в круг проблем, находившихся в центре внимания александрийских математиков. По возвращении в Сиракузы Архимед продолжал поддерживать связь с Кононом, сообщая ему в письмах о результатах своих научных исследований. К сожалению, ни работы Архимеда александрийского периода, ни его письма к Конону до нас не дошли. Когда Конон умер (около 240 г. до н. э.), Архимед стал переписываться с учеником Конона Досифеем. Сохранились четыре письма Архимеда к Досифею («Квадратура параболы», «О шаре и цилиндре», «О коноидах и сфероидах» и «О спиралях»), которые можно причислить к числу важнейших математических работ Архимеда зрелого периода: в них величайший ученый древности предвосхищает идеи интегрального и дифференциального исчисления нового времени.

Другим александрийским ученым, с которым Архимед продолжал сохранять контакт по возвращении на родину, был знаменитый Эратосфен из Кирены, впоследствии (с 234 г. до н. э.) ставший руководителем александрийской Библиотеки. О дошедшем до нас письме Архимеда к Эратосфену (так называемый «Эфод») будет сказано несколько ниже.

Следует отметить, что, находясь в Александрии, Архимед не прекратил и своей инженерной деятельности. Об этом свидетельствует изобретенная Архимедом машина для поливки египетских полей: это так называемый архимедов винт или «улитка», получившая в дальнейшем широкое распространение в античном земледелии.

Сейчас мы обратимся к тем работам Архимеда, в которых он устанавливает связь между математикой и механикой, доказывая чисто математические положения с помощью механических методов. Это была процедура, ранее неведомая греческой математике и впервые изобретенная Архимедом: она стала возможной на основе работ Архимеда по статике и, прежде всего, по теории рычага, в которых эта область механики была превращена в точную математическую науку. Прежде всего рассмотрим одно из наиболее ранних среди дошедших до нас сочинений Архимеда (хотя по времени написания оно было далеко не ранним), а именно «Квадратуру параболы». Как уже указывалось выше, сочинение это было написано в форме письма к Досифею, ученику Конона. Вот его начало: «Архимед Досифею желает благоденствия! Узнавши о смерти Конона, делавшего все для нас из дружбы, и о том, что ты был близок к Конону и сведущ в геометрии, мы очень опечалились о покойном и как о друге, и как о выдающемся математике. Поэтому мы решили написать тебе, подобно тому как обычно писали Конону, и послать некоторые геометрические теоремы, остававшиеся ранее неизвестными, а теперь полученные нами; они были сначала обнаружены нами при помощи механических методов, а затем — доказаны также и геометрически… Предварительно излагаются основные свойства конических сечений, необходимые для доказательства»^[292].

Теоремы теории параболы, которыми пользуется Архимед в этом сочинении, были, по-видимому, доказаны Эвклидом или другим, менее известным математиком того же времени— Аристеем. Оба они написали не дошедшие до нас сочинения о свойствах конических сечений; позднее полученные ими результаты вошли в знаменитый труд-Аполлония Пергского (Κωνικά). Мы видим, что Архимед был прекрасно знаком с математическими работами своих предшественников.

Далее решается задача нахождения площади сегмента, ограниченного параболой и прямой. Как явствует из приведенной выше цитаты, Архимед решает эту задачу двумя методами, причем лишь второй, геометрический, метод он считает удовлетворяющим требованиям строгой математики. Но нас, в первую очередь, интересует первый, по сути дела эвристический, метод, который сам Архимед назвал механическим, ибо он действительно показывает характерную для мышления Архимеда органическую связь математики и механики. Будучи инженером, Архимед сделал механику точной математической наукой, в то же время, будучи математиком, он мыслил с помощью образов и понятий, взятых из сферы механики.

Не повторяя буквально Архимеда, проследим основные стадии вывода формулы для площади параболического сегмента с помощью механического метода.

Рассмотрим параболический сегмент, ограниченный куском параболы αβγ и отрезком αγ (рис. 6). Ставится задача: выразить площадь этого сегмента через площадь вписанного в него треугольника αβγ.

^{Рис. 6. Определение площади параболы механическим методом}

Имеем:

δβ — ось параболы

γζ — касательная к параболе в точке γ

αζ — прямая, параллельная оси параболы, проходящая через точку α.

γϑ — прямая, проходящая через точку γ и вершину параболы β, причем γκ=κϑ,

ξν — прямая, параллельная оси параболы, проходящая через произвольную точку ξ, лежащую на отрезке αγ.

Одно из свойств параболы, доказываемых в теории конических сечений, состоит в том, что:

ξο/ον = αξ/ξγ или ξο/ξν = αξ/αγ

откуда, между прочим, следует:

δβ = βε

(следовательно, γκ — медиана треугольника αγζ). Далее:

ξο/ξν = αξ/αγ = κμ/κγ = κμ/κϑ

Т. е.:

ξο/ξν = κμ/κϑ

До сих пор идет чистая геометрия, но с этого момента начинается механика. Архимед предлагает представить параболический сегмент αβγ и треугольник αζγ как две материальные пластинки, наложенные одна на другую и веса которых определяются их площадями. Отрезок ξ0 будем рассматривать как бесконечно тонкую полоску сегмента, а ξν как такую же полоску треугольника. Веса этих полосок будут определяться их длинами. Перенесем полоску ξ0 в точку ϑ таким образом, чтобы она приняла положение τη, а ее середина (и, следовательно, ее центр тяжести) совпала бы с точкой ϑ. Тогда уравнение (1) можно будет трактовать как условие равновесия рычага, плечи которого равны κϑ и κμ и к концам которого подвешены грузы τη и ξν.

Это же справедливо и для всех прочих, накладывающихся друг на друга полосок сегмента αβγ и треугольника αςγ. Перенеся все полоски, из которых состоит сегмент, в точку ϑ, мы можем заключить, что общий вес параболического сегмента будет уравновешен весом треугольника, если считать, что центр тяжести последнего совпадает с концом правого плеча нашего рычага. В своих предыдущих работах Архимед показал, что центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Пусть этой точкой будет κ. Тогда условие равновесия сегмента и треугольника можно будет записать следующим образом: