Тема 11. Определённый интеграл. Несобственные интегралы. К понятию определённого интеграла можно прийти, решая задачу о вычислении площади криволинейной трапеции

К понятию определённого интеграла можно прийти, решая задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, заключённой между прямыми , , и кривой . Число, равное площади криволинейной трапеции, причём площадь той части, которая лежит выше оси берётся со знаком «+», и ниже её – со знаком «» и называется определённым интегралом от функции на отрезке . Определённый интеграл обозначается , где числа , называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Функция , для которой на отрезке существует определённый интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. Достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является её непрерывность на данном отрезке. Если функция интегрируема на , то, по определению, полагают , .

Основные свойства определённого интеграла:

1.. 2..

3..

Понятие определённого интеграла тесно связано с понятием неопределённого интеграла (первообразной).

Если функция непрерывна на отрезке и - одна из её первообразных, то справедливо равенство:

(формула Ньютона-Лейбница).

Следствиями формулы Ньютона-Лейбница являются формулы замены переменной: и интегрирования по частям в определённом интеграле. При замене переменной в определённом интеграле в отличие от вычисления неопределённого не нужно возвращаться к исходному аргументу, так как преобразованный определённый интеграл берётся по тому отрезку, по которому изменяется новый аргумент.

При вычислении неопределённого интеграла по умолчанию предполагалось, что первообразная находится на тех промежутках, на которых выполняемые преобразования подынтегральной функции являются тождественными. При вычислении же определённого интеграла первообразная находится на заданном отрезке, поэтому здесь уже необходимо следить за тождественностью выполняемых преобразований.

Площадь фигуры (рис.1) , равна

.

Площадь фигуры (рис.2) , равна

.

Рис.1 Рис.2

Если функция интегрируема на отрезке , то несобственным интегралом по бесконечному промежутку интегрирования от функции на промежутке называется и обозначается , т.е. . Аналогично: .

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Тема 12. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение вида , где - искомая функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называется решением уравнения. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно обычно называется интегралом уравнения. Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнение вида , где - заданная функция переменных и , называется ДУ первого порядка, разрешённым относительно производной. Эту форму записи ДУ называют нормальной. Учитывая, что , ДУ первого порядка, разрешённое относительно производной, можно всегда записать в дифференциальной форме: , где и - заданные функции переменных и .

Условие , где , -заданные числа, называется начальным условием. Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданному начальному условию , называется задачей Коши.

Общим решением ДУ первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной , такое, из которого при надлежащем выборе значения постоянной можно получить решение , удовлетворяющее заданному начальному условию . Общее решение, заданное в неявном виде , называется общим интегралом уравнения.

Частным решением ДУ первого порядка называется решение , получаемое из общего при конкретном значении постоянной (при этом не исключаются и значения ). Частное решение, заданное в неявном виде , называется частным интегралом уравнения.

ДУ вида называется уравнением сразделёнными переменными. Его общий интеграл имеет вид .

ДУ вида или называется уравнением с разделяющимися переменными. Его интегрирование, путём деления обеих частей уравнения на или , сводится (с учётом ) к интегрированию уравнения с разделёнными переменными.

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка – значит: 1) найти его общее решение или общий интеграл ; 2) найти то частное решение (частный интеграл ) которое удовлетворяет заданному начальному условию .

Дифференциальное уравнение вида называется однородным.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , или , где - новая неизвестная функция. Интегрируя ДУ с разделяющимися переменными относительно функции и возвращаясь к искомой функции , находим общее решение исходного уравнения. Иногда целесообразно вместо подстановки , использовать подстановку , где - новая неизвестная функция.

Уравнение вида называется линейным. Уравнение , в котором правая часть тождественно равна нулю, называется однородным линейным уравнением.

Общее решение неоднородного линейного уравнения находится подстановкой , , где и - неизвестные функции от . Уравнение тогда примет вид . Приравняв нулю выражение в скобках, получим уравнение с разделяющимися переменными , из которого найдём в виде его частного решения , где - какая-нибудь первообразная для . Подставив затем найденное выражение в уравнение , получим уравнение с разделяющимися переменными , из которого найдём в виде его общего решения. В результате найдём и общее решение исходного уравнения в виде .

Уравнение вида , где и , называется уравнением Бернулли. Решение уравнения Бернулли, также как и линейного, находится подстановкой .

Тема 13. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Уравнение вида , где - искомая функция, называется дифференциальным уравнением -го порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называется решением уравнения. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно называется интегралом уравнения.

Уравнение вида , называется уравнением, разрешённым относительно старшей производной. Эту форму записи ДУ -го порядка называют нормальной.

Условия , ,…, , где , , ,…, - заданные числа, называются начальными условиями. Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Общим решением ДУ -го порядка называется решение , зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям , ,…, . Общее решение, заданное в неявном виде , называется общим интегралом уравнения.

Частным решением ДУ -го порядка называется решение, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных. Частное решение, заданное в неявном виде, называется частным интегралом.

Уравнение вида называется простейшим дифференциальным уравнением -го порядка. Его общее решение находят, выполняя последовательно интегрирований, и записывают в виде

.

Функции , ,…, называются линейно зависимыми на , если существуют постоянные , ,…, , не все равные нулю, такие, что для всех . Если равенство выполняется для всех только при условии , то данные функции называются линейно независимыми на .

Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением ( ЛДУ ) -го порядка, где коэффициенты - непрерывные функции или постоянные. Если , то уравнение называется однородным. Однородное линейным уравнение -го порядка имеет вид .

Любая система из линейно независимых частных решений , ,…, однородного линейного уравнения называется фундаментальной системой его решений.

Общее решение однородного линейного уравнения имеет вид , где - фундаментальная система его решений; - произвольные постоянные.

Фундаментальная система решений однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами строится на основе характера корней характеристического уравнения .

А именно: 1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решение дифференциального уравнения; 2) если - действительный корень кратности , то ему в ФСР соответствует линейно независимых частных решений: , , ,…, ; 3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения: , .

Общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.

Частное решение уравнения с правой частью специального вида ищется методом неопределённых коэффициентов в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , , ,…. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.

Тема 14. Случайные события и их вероятности.

При классическом определении вероятность случайного события определяется равенством , где - число элементарных исходов эксперимента (опыта, испытания), благоприятствующих появлению события ; - общее число равновозможных элементарных исходов эксперимента. Каждый из исходов (далее неделимых и взаимно исключающих друг друга) эксперимента называется его элементарным исходом (элементарным событием) и обозначается . Элементарные исходы называются равновозможными, если в силу условий проведения эксперимента можно считать, что ни один из них не является объективно более возможным, чем другие. Множество всех элементарных исходов эксперимента называется пространством элементарных исходов и обозначается . Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечёт за собой наступление такого события.

Противоположным событию называется событие , состоящее в том, что событие не происходит. Например, противоположным событию, определяемому словами «хотя бы один…» является событие, определяемое словами «ни один…». Если вероятность известна или легко может быть найдена, то вероятность вычисляют по формуле: .

Для вычисления общего числа элементарных исходов и числа элементарных исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, широко используются правила и формулы комбинаторики. Одной из основных задач комбинаторики является подсчёт числа комбинаторных конфигураций (комбинаций элементов), образованных из элементов некоторых конечных множеств в соответствии с заданными правилами. Примерами таких комбинаций являются перестановки, размещения и сочетания.

Сочетаниями из элементов по называются комбинации элементов, отличающиеся друг от друга только составом элементов. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего в одновременном выборе без возвращения любых элементов из различных элементов, а их общее число определяется формулой:

, где , .

Размещениями из элементов по называются комбинации элементов, отличающиеся друг от друга как составом элементов, так и порядком их следования. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего сначала в одновременном выборе без возвращения любых элементов из различных элементов, а затем в произвольном их упорядочивании. Общее число размещений определяется формулой: .

Перестановками из элементов называются комбинации элементов, отличающиеся друг от друга только порядком их следования. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего в произвольном упорядочивании множества, состоящего из различных элементов, а их общее число определяется формулой .

Для подсчёта числа всевозможных комбинаторных конфигураций широко используются правила комбинаторики.

Пусть - элементы (действия) из некоторого конечного множества элементов (действий), которые можно выбрать (выполнить), соответственно, способами. Тогда справедливы следующие правила.

Правило сложения. Осуществить выбор (выполнение) только одного из элементов (действий) можно способами.

Правило умножения. Осуществитьпоследовательный выбор(выполнение) всех элементов (действий) можно способами.

Всякое случайное событие можно рассматривать как подмножество (обратное утверждение, вообще говоря, места не имеет), состоящее из всех тех , которые благоприятствуют событию (). Множество называют достоверным событием, а пустое множество , являющееся по определению подмножеством , называют невозможным событием.

Если , то говорят, что событие влечёт событие .

Произведением событий и называют событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходят одновременно оба события и . События и называют несовместными, если .

Суммой событий и называют событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий или .

Разностью событий и называют событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие , но не происходит событие . Событие , происходящее тогда и только тогда, когда событие не происходит, называют противоположным событию . Разность событий всегда можно представить в виде .

Из определения вероятности следуют следующие её свойства:

1) ; 2) ; 3) ; 4) Если , то ;

5) ; 6) .

Пусть и - наблюдаемые события в эксперименте, причём . Условной вероятностью осуществления события при условии, что событие произошло в результате данного эксперимента, называется величина, определяемая равенством: .

События и , имеющие ненулевую вероятность, называются независимыми, если выполняется равенство или , в противном случае события и называются зависимыми.

Сложным называют событие, наблюдаемое в эксперименте и выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимых алгебраических операций над событиями.

Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляется с помощью формул умножения вероятностей:

1) , ;

2) (для независимых событий)

и формул сложения вероятностей:

3) ;

4) (для несовместных событий).

Пусть - наблюдаемые события для данного эксперимента, попарно несовместные ( при ) и образующие полную группу событий (). Такие события принято называть гипотезами по отношению к событию . Тогда для любого наблюдаемого в эксперименте события имеет место формула полной вероятности:

, где .

Пусть - совокупность гипотез по отношению к событию , безусловные вероятности которых , называемые априорными (доопытными), известны и пусть стало известно, что в результате эксперимента событие произошло. Тогда апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез при условии, что событие имело место, вычисляются по формуле Байеса:

, где .

Формула Байеса позволяет переоценить вероятность каждой из гипотез после поступления дополнительной информации относительно осуществления тех или иных наблюдаемых событий.

Схемой Бернулли называют последовательность испытаний, удовлетворяющую условиям: 1) результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов: «успех» (появление некоторого события ) и «неудача»; 2) испытания являются независимыми, т.е. вероятность «успеха» в каждом следующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний; 3) вероятность «успеха» во всех испытаниях одинакова и равна .

Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли произойдёт ровно «успехов», определяется формулой Бернулли:

, .

Следствием формулы Бернулли является формула: - вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли «успех» наступит хотя бы один раз.

Тема 15. Случайные величины.

Под случайной величиной понимают величину, принимающую свои возможные значения в зависимости от исхода эксперимента, с которым она связана.

Законом распределения (вероятностей) случайной величины называют любое правило, позволяющее найти вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого подмножества своих возможных значений. Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения.

Функцией распределения (вероятностей) случайной величины называется функция действительной переменной , , определяемая формулой .

Каждая функция распределения обладает следующими свойствами:

1) , ; 2) не убывает;

3) , ; 4) непрерывна слева.

Вероятность события определяется формулой:

.

Случайная величина называется дискретной случайной величиной (ДСВ), если множество её возможных значений конечно или счётно, причём , , где суммирование распространяется на все возможные значения .

Закон распределения ДСВ удобно задавать рядом распределения. Рядом распределения ДСВ называют таблицу, в которой перечислены все возможные значения этой случайной величины и соответствующие им вероятности . Для наглядности закон распределения ДСВ изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число , если ряд сходится абсолютно.