Решением системы называется всякий упорядоченный набор чисел 
, обращающий каждое уравнение системы в равенство. Совокупность всех решений называется множеством решений системы.
Система называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение; определённой, если она имеет только одно решение; неопределённой, если она имеет бесконечно много решений; несовместной, если она не имеет решений.
Однородная система уравнений всегда совместна, так как всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение 
. Треугольная система является определённой, трапециевидная система – неопределённой.
Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Элементарными преобразованиями систем уравнений называются:
1) перестановка уравнений;
2) перестановка местами слагаемых 
в каждом из уравнений системы;
3) умножение уравнения на число, отличное от нуля;
4) прибавление к уравнению другого, умноженного на любое число;
5) вычёркивание уравнения вида: 
.
Основными точными методами решения систем линейных уравнений являются методы: Крамера, обратной матрицы и Гаусса.
Если число уравнений в системе 
совпадает с числом неизвестных 
и определитель матрицы системы 
, то система имеет единственное решение, которое можно найти:
а) методом Крамера по формулам: 
, 
, где 
- определитель, получаемый из определителя матрицы системы 
заменой 
-ого столбца на столбец свободных членов;
б ) методом обратной матрицы по формуле 
.
Методом Гаусса находят решение произвольной системы линейных уравнений. Метод состоит в приведении системы уравнений, с помощью элементарных преобразований, к системе специального вида, эквивалентной исходной, решение которой очевидно. Преобразования по методу Гаусса выполняют в два этапа. Первый этап называют прямым ходом, второй - обратным.
В результате прямого хода выясняют: совместна или нет система и если совместна то, сколько имеет решений - одно или бесконечно много. Преобразования прямого хода выполняют, как правило, над расширенной матрицей системы 
, которую получают, приписывая справа к матрице системы 
столбец свободных членов 
. В результате элементарных преобразований строк и перестановкой столбцов, матрица системы должна быть приведена к матрице 
треугольного или трапециевидного вида с элементами 
. При этом, система уравнений, матрица которой 
, является треугольной с диагональными элементами 
, будет иметь единственное решение; система уравнений, матрица которой , является трапециевидной с элементами 
, будет иметь бесконечно много решений. Если, при выполнении преобразований расширенной матрицы 
, в преобразованной матрице 
появится строка 
, где 
, то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.
В результате обратного хода находят решение системы. Преобразования обратного хода часто выполняют непосредственно над уравнениями системы, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода. В случае единственного решения, его получают, находя последовательно значения всех неизвестных из уравнений системы, начиная с последнего.
Тема 4. Векторы.
Арифметическим вектором называют упорядоченную совокупность из 
чисел: 
и обозначают 
. Числа 
называют компонентами вектора 
, число компонент называют его размерностью.
Векторы 
и 
называют равными, если они одинаковой размерности и их соответствующие компоненты равны: 
, 
.
Суммой векторов и одной размерности, называют вектор 
той же размерности, для которого: 
, .
Произведением вектора на число 
называют вектор 
той же размерности, для которого: 
, .
Множество всех -мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям (аксиомам) называют векторнымпространством и обозначают 
.
Скалярным произведением двух арифметических векторов 
и 
называют число:
.
Два вектора и 
называют ортогональными, если 
.
Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок, задаваемый упорядоченной парой точек (началом и концом вектора). Обозначают вектор 
или 
. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается 
или . Углом между векторами 
и 
называется угол 
, 
, на который следует повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением другого вектора, при условии, что их начала совпадают. Проекцией вектора на вектор называется число 
.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Векторы 
и называются равными и пишут 
, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Векторы 
и 
называются противоположными и пишут 
, если они коллинеарны, направлены в разные стороны и имеют равные длины.
Суммой векторов и называется вектор 
, соединяющий начало вектора и конец вектора , при условии, что конец вектора совпадает с началом вектора (правило треугольника). Произведением вектора на действительное число 
называется вектор 
:
1) коллинеарный вектору ; 2) имеющий длину 
; 3) направленный одинаково с вектором , если 
, и противоположно, если 
.
Ортом вектора , называется вектор 
, имеющий единичную длину и направление вектора : 
.
Базисом в пространстве 
называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов, базисом на плоскости 
– упорядоченная пара неколлинеарных векторов, базисом на прямой 
– любой ненулевой вектор на этой прямой. Базис, в котором все векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину, называется ортонормированным. Векторы ортонормированного базиса обозначаются: 
и 
, и называются базисными ортами. Различают правый и левый ортонормированные базисы. Базис 
-называется правым, если кратчайший поворот от 
к 
совершается против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый. Базис 
-называется правым, если из конца вектора кратчайший поворот от вектора к виден совершающимся против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый.
Условием коллинеарности векторов и является равенство: 
, где 
- некоторое число. Условием компланарности векторов , и 
является равенство: 
, где 
- некоторые числа.
Всякий геометрический вектор может быть разложен единственным образом по векторам базиса, коэффициенты разложения называются при этом координатами вектора в данном базисе. Например, если 
- базис 
и 
, то всегда существует единственное разложение: 
, где числа 
- координаты вектора в базисе 
, при этом пишут 
. Если в 
зафиксирован ортонормированный базис 
и 
, то равносильны записи: 
и 
(в записи вектора в координатной форме ортонормированный базис не указывают).
Представление геометрических векторов в координатной форме, позволяет выполнять действия над ними, как над арифметическими векторами:
;
.
Декартовой прямоугольной системой координатв пространстве называется совокупность точки 
(начало координат) и правого ортонормированного базиса 
и обозначается 
. Прямые 
, 
, 
, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями: первая – осью абсцисс, вторая – осью ординат, третья – осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Аналогично вводится система координат на плоскости: 
.
Пусть 
- произвольная точка пространства, в котором введена система координат = . Радиус-вектором точки называется вектор 
, который всегда единственным образом можно представить в виде: 
. Числа 
, являющиеся координатами радиус-вектора, совпадают с проекциями вектора на базисные орты 
и (на координатные оси 
и ). Координатами точки в системе координат называются координаты её радиус-вектора и пишут 
. В свою очередь, координаты точки полностью определяют её радиус-вектор 
. Всякий геометрический вектор в системе координат , всегда можно представить как радиус-вектор некоторой точки и записать в виде: 
.
Длина 
вектора , заданного координатами 
, определяется формулой: 
. Направляющими косинусами вектора называются числа: 
, 
, 
, при этом 
.
Координаты вектора 
, заданного точками 
и 
определяются по формуле: 
. Расстояние 
между точками 
и 
определяется как длина вектора и находится по формуле:
.
Координаты точки 
делящей отрезок 
пополам находятся по формулам: 
, 
, 
.
Скалярным произведением векторов и называется число 
. Скалярное произведение обладает свойствами:
1) 
; 2) 
где 
- число;
3) 
; 4) 
5) 
; 6) 
, 
, 
, 
, 
, 
. Для векторов и , заданных своими координатами 
, 
скалярное произведение вычисляется по формуле:
.
Скалярное произведение применяют: 1) для вычисления угла между векторами и по формуле: 
; 2) для вычисления проекции вектора на вектор по формуле: 
; 3) в качестве условия перпендикулярности векторов и 
: 
.
Векторным произведением векторов и называется вектор 
, определяемый условиями: 1) 
;
2) 
и 
; 3) 
- правая тройка векторов.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой, если из конца третьего вектора , кратчайший поворот от первого вектора ко второму , виден совершающимся против хода часовой стрелки. В противном случае, тройка называется левой.
Векторное произведение обладает свойствами:
1) 
; 2) 
, где - число;
3) 
; 4) 
5) 
;
6) 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Для векторов и , заданных координатами , векторное произведение вычисляется по формуле:
.
Векторное произведение 
применяют: 1) для вычисления площадей треугольника и параллелограмма, построенных на векторах и , как на сторонах, по формуле: 
; 2) в качестве условия параллельности векторов и : .
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов , и 
называется число 
.
Смешанное произведение обладает свойствами:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
и -компланарны 
;
