Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ƒл€ функции найтиточки разрыва функции и исследовать их характер.ѕостроить график функции.




–ешение.

“очками разрыва функции €вл€ютс€ точки разрыва функций в промежутках , ,Е, , кроме того, точками возможного разрыва функции €вл€ютс€ точки в окрестности которых и в самих точках функци€ задаЄтс€ разными аналитическими выражени€ми.

“очка €вл€етс€ точкой непрерывности функции тогда и только тогда, когда: .

‘ункции и непрерывны в промежутках и как элементарные функции, определЄнные в каждой точке данных промежутков, а функци€ в промежутке имеет точкой разрыва точку , в которой она не определена. “огда дл€ функции точка €вл€етс€ точкой разрыва, а точки и , в окрестности которых и в самих точках функци€ задаЄтс€ разными аналитическими выражени€ми, €вл€ютс€ точками возможного разрыва.

»сследуем на разрыв точки и установим характер разрыва:

1)

.

—ледовательно, точка - точка разрыва 1-го рода функции .

2)

. —ледовательно, точка - точка бесконечного разрыва (2-го рода) функции .

3)

.

—ледовательно, точка - точка непрерывности функции .

√рафик функции имеет вид, изображЄнный на рисунке:

ќтвет: - точка разрыва 1-го рода, -точка бесконечного разрыва.

61-70. Ќайти производную :

ј) б) в); г).

Ќахождение производной функции заданной €вно, с помощью правил дифференцировани€:

(), , , , , , , свод€т к нахождению табличных производных (приложение 6.3).

–ешение.

а)

где

,

.

“огда .

б) . ѕредставим функцию в виде сложной функции и применим правило вычислени€ производной сложной функции

.

в) , где

= ;

“огда .

г) , где

.

.

“огда

.

71-80. ¬ычислить пределы:

а) б) в)

¬ычисление предела , где , начинают всегда с подстановки в предельного значени€ еЄ аргумента . ¬ результате могут получитьс€ неопределЄнности ,Е, которые раскрывают или тождественными преобразовани€ми такими, чтобы преобразованное выражение получилось определЄнным, или применением правила Ћопитал€.

ѕри вычислении пределов без применени€ правила Ћопитал€ будем использовать свойства конечных пределов и бесконечно больших и малых функций, а также следующие известные пределы: , , , .

ѕравило Ћопитал€ , где и - функции, дифференцируемые в окрестности , позвол€ет во многих случа€х существенно упростить вычисление пределов. ¬ некоторых случа€х может потребоватьс€ неоднократное применение данного правила. ѕеред очередным применением правила Ћопитал€ следует об€зательно проверить, имеют ли место неопределЄнности или , если Ц да, то данное правило можно применить ещЄ раз. Ќа каждом этапе его применени€ следует использовать, упрощающие отношение тождественные преобразовани€, а также комбинировать это правило с любыми другими известными приЄмами вычислени€ пределов.

–ешение. а) ѕри подстановке вместо переменной еЄ предельного значени€ получим неопределЄнность . ƒл€ еЄ раскрыти€ сначала разделим числитель и знаменатель дроби на (старшую степень переменной в числителе и знаменателе), после чего используем свойства конечных пределов и бесконечно больших и малых функций. ѕолучим

б) ѕри подстановке вместо переменной еЄ предельного значени€ получим неопределЄнность . ƒл€ еЄ раскрыти€ выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель вида , где - некоторое число, т.е. множитель . «атем сократим на него числитель и знаменатель дроби, после чего используем свойства пределов.

1) ¬ квадратном трЄхчлене множитель выдел€ют разложением квадратного трЄхчлена по формуле , где .

2) ¬ выражении множитель выдел€ют таким способом:

.

 

¬ результате получим

.

ѕримечание. ƒанный предел легко вычислить и по правилу Ћопитал€:

.

в) ѕри подстановке вместо переменной еЄ предельного значени€ получим неопределЄнность . ¬ычислим предел по правилу Ћопитал€. ѕолучим

ќтвет:

а) ;б) ; в)

81-90. ƒл€ указанной функции требуетс€:

а) найти наибольшее и наименьшее значени€ функции на отрезке ;

б) составить уравнение касательной к графику функции в точке ;

в) провести полное исследование функции , построить еЄ график.

–ешение а).

Ќаибольшее и наименьшее значени€ функции непрерывной и кусочно-дифференцируемой (дифференцируемой, за исключением, быть может, конечного числа точек) на отрезке достигаетс€ или в точках , в которых или не существует, или на концах отрезка.

1а) Ќаходим первую производную функции:

и определ€ем внутренние критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует:

, точек в которых не существует нет. “аким образом, единственной внутренней критической (стационарной) точкой функции на отрезке €вл€етс€ точка .

2а) ¬ычисл€ем значени€ функции во внутренних критических точках и на концах отрезка : , , .

3а) —равниваем значени€ , , и находим наименьшее и наибольшее значени€ функции на отрезке :

, .

ќтвет: , .

–ешение б).

”равнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

1б) ¬ычисл€ем значение функции в точке : .

2б) Ќаходим первую производную функции:

и вычисл€ем еЄ значение в точке : .

3б) —оставл€ем уравнение касательной: изаписываем его в виде : .

ќтвет: - уравнение касательной.

–ешение в).

ƒл€ построени€ графика непериодической функции нужно:

1) найти область определени€ функции;

2) найти область непрерывности функции и точки разрыва;

3) исследовать функцию на чЄтность, нечЄтность;

4) найти точки пересечени€ графика с ос€ми координат;

5) найти асимптоты графика функции;

6) найти интервалы возрастани€ и убывани€, экстремумы функции;

7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

1в) Ќаходим область определени€ функции: = ).

2в) ѕоскольку данна€ функци€ €вл€етс€ элементарной, то областью еЄ непрерывности €вл€етс€ область определени€ , а точками разрыва €вл€ютс€ точки и , не принадлежащие множеству , но €вл€ющиес€ предельными точками этого множества (точками в любой окрестности которых содержатс€ точки данного множества). »сследуем характер разрыва в точках и , вычислив в них односторонние пределы функции:

, ,

, .

“ак как односторонние пределы функции в точках и - бесконечные, то данные точки €вл€ютс€ точками бесконечного разрыва.

3в) ѕровер€ем €вл€етс€ ли функци€ чЄтной или нечЄтной. “ак как область определени€ функции = ) не симметрична относительно точки , то данна€ функци€ Ц общего вида.

4в) Ќаходим точки пересечени€ графика с ос€ми координат.

“ак как , то точек пересечени€ графика с осью нет.

ѕоложим и решим уравнение . ≈го решением €вл€етс€ . —ледовательно, точка - точка пересечени€ графика с осью .

5в) Ќаходим вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.

ѕр€ма€ €вл€етс€ вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда €вл€етс€ точкой бесконечного разрыва функции .

“ак как точки и - точки бесконечного разрыва данной функции, то вертикальными асимптотами графика функции €вл€ютс€ пр€мые и .

ѕр€ма€ €вл€етс€ наклонной асимптотой графика функции при тогда и только тогда, когда одновременно существуют конечные пределы: и .

¬ычисл€ем сначала пределы при :

, .

¬ дальнейшем будем иметь в виду следующий часто встречающийс€ предел:

—ледовательно , т.е. - наклонна€ (горизонтальна€) асимптота графика функции при .

јналогично вычисл€ем пределы при : , —ледовательно , т.е. - наклонна€ (горизонтальна€) асимптота графика функции при .

6в) ќпредел€ем интервалы возрастани€, убывани€, экстремумы функции. ƒл€ этого находим первую производную функции:

и определ€ем критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует:

;

не существует при и .

“аким образом, единственной критической (стационарной) точкой функции €вл€етс€ точка .

»сследуем знак производной в интервалах, на которые критические точки функции разбивают еЄ область определени€ , и найдЄм интервалы возрастани€, убывани€, экстремумы функции. –езультаты исследовани€ представим следующей таблицей:

+ +
возрастает возрастает убывает убывает

“ак как при переходе слева направо через точку производна€ мен€ет знак с Ђ+ї на Ђї, то точка €вл€етс€ точкой локального максимума и .

7в) ќпредел€ем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. ƒл€ этого находим вторую производную функции:

и определ€ем точки возможного перегиба , т.е. точки в которых или не существует: , так как (квадратное уравнение не имеет действительных корней); не существует при и .

“аким образом, функци€ не имеет точек возможного перегиба.

»сследуем знак второй производной в интервалах, на которые точки возможного перегиба функции разбивают еЄ область определени€ , и найдЄм интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. –езультаты исследовани€ представим таблицей:

+ +
график вогнутый график выпуклый график вогнутый

“очек перегиба нет.

8в) Ќа основании полученных результатов строим график функции:

91 Ц 100. ƒл€ указанной функции требуетс€:

а) найти дифференциал и , если ;

б) найти локальные экстремумы, если .

–ешение а).

ѕервый дифференциал функции имеет вид .

 

„астные производные функции вычисл€ютс€ по обычным правилам дифференцировани€ функции одной переменной, в предположении, что если производна€ берЄтс€ по аргументу (аргументу ), то другой аргумент (аргумент ) считаетс€ посто€нным.

1а) Ќаходим частные производные первого пор€дка и функции

:

;

.

“огда первый дифференциал функции имеет вид:

.

2а) ¬торую частную производную (или кратко ) находим как первую частную производную по аргументу от функции :

.

 

ќтвет:,.

–ешение б).

ƒл€ нахождени€ локальных экстремумов дифференцируемой функции необходимо:

1) Ќайти область определени€ функции.

2) Ќайти первые частные производные и функции.

3) –ешить систему уравнений (необходимое условие экстремума) и найти точки (с учЄтом возможных дополнительных ограничений на значени€ аргументов ) возможного локального экстремума функции.

4) Ќайти вторые частные производные , , ; составить выражение и вычислить значени€ и в каждой точке возможного экстремума.

5) —делать вывод о наличии экстремумов функции , использу€ достаточное условие экстремума: если , то в точке экстремума нет; если и , то в точке - локальный минимум; если и , то в точке - локальный максимум; если , то требуетс€ дополнительное исследование точки (например, по определению).

6) Ќайти локальные экстремумы (экстремальные значени€) функции.

1б) Ќаходим область определени€ функции .

2б) Ќаходим первые частные производные и :

;

.

3б) —оставим систему уравнений и решим еЄ. ѕолучим четыре решени€: , , , . »з них точками возможного экстремума функции в области €вл€ютс€ только две точки: и .

4б) Ќаходим вторые частные производные:

;

;

,

составл€ем выражение и вычисл€ем:

; , .

5б) ƒелаем вывод о наличии экстремумов. “ак как:

, то в точке экстремума нет;

, , то в точке - локальный минимум.

6б) Ќаходим локальный минимум

.

ќтвет:.

–аздел III. »нтегральное исчисление.

101-110. Ќайти неопределЄнные интегралы: a) непосредственным интегрированием; б) заменой переменной интегрировани€; в) интегрированием по част€м.

а) ;

б1) ; б2) ; б3) ;

в) ;

Ќахождение неопределЄнного интеграла состоит в таком преобразовании подынтегрального выражени€ , чтобы получить интегралы (возможно по новой переменной интегрировани€) из таблицы основных интегралов (приложение 6.3).

–ешение.

а) »нтеграл вычислим непосредственным интегрированием. ѕолучим:

.

б1) »нтеграл вычислим методом замены переменной интегрировани€.

»нтеграл вида , где - многочлен пор€дка , наход€т методом замены переменной с помощью подстановки .

б2) »нтеграл относитс€ к интегралам вида . ƒл€ его вычислени€ сначала выделим полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции, затем сделаем замену переменной интегрировани€. ѕолучим:

=[ представл€ем интеграл в виде суммы интегралов ] .

¬ычислим каждый из интегралов в отдельности:

1)

.

2)

“огда:

.

 онечное выражение дл€ неопределЄнного интеграла записывают, указыва€ одну из первообразных и добавл€€ к ней произвольную посто€нную .

б3) »нтеграл вычислим методом замены переменной интегрировани€. ѕолучим:

.

в) »нтеграл вычислим методом интегрировани€ по част€м, использу€ формулу .

ѕоложим: , . ЌайдЄм ,

.

»нтеграл в формуле интегрировани€ по част€м вычисл€етс€ с точностью до посто€нной, т.е. в качестве функции выбираетс€ одна из первообразных дл€ функции .

 

ƒл€ вычислени€ интеграла можно использовать и следующее свойство неопределЄнного интеграла: если , то , где - табличный интеграл. ¬ данном случае, так как , то .

“огда, получим:

 

ќпределЄнный интеграл дл€ функции , непрерывной на отрезке , вычисл€ют по формуле Ќьютона-Ћейбница: , где -одна из еЄ первообразных, использу€ дл€ нахождени€ все приЄмы и методы вычислени€ неопределЄнных интегралов.

—ледстви€ми формулы Ќьютона-Ћейбница €вл€ютс€:

1) формула интегрировани€ по част€м , где функции и непрерывно дифференцируемы на ;

2) формула замены переменной интегрировани€

, где функци€ - непрерывно дифференцируема на отрезке .

„асто замена переменной в определЄнном интеграле выполн€етс€ с помощью подстановки по формуле: , где функци€ - непрерывно дифференцируема на отрезке .

111-120. “ребуетс€ вычислить: а) определЄнный интеграл ;

б) несобственный интеграл (или установить его расходимость).

–ешение.

а) ќпределЄнный интеграл вычислим заменой переменной интегрировани€.

ѕоследний интеграл вычисл€ем также заменой переменной.

. ќтвет: .

б) ѕо определению несобственного интеграла имеем . ќпределенный интеграл, сто€щий под знаком предела, вычислим методом замены переменной: “огда .

ќтвет: Ќесобственный интеграл сходитс€ и равен .

121-130. ¬ычислитьплощадь фигуры, ограниченной графиками указанных функций:

ѕлощадь фигуры , где - непрерывные на отрезке





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-24; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 418 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ѕутерброд по-студенчески - кусок черного хлеба, а на него кусок белого. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2102 - | 2025 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.204 с.