Тема 1. Определители.
Квадратной матрицей порядка 
называется квадратная таблица из чисел 
(
, 
): 
, состоящая из 
строк и столбцов. У квадратной матрицы различают главную диагональ: 
и побочную диагональ: 
. Любой квадратной матрице 
порядка можно поставить в соответствие число 
, равное алгебраической сумме 
слагаемых, составленных определённым образом из элементов 
матрицы 
,называемое определителем матрицы. Кратко обозначается 
, 
.
Определителем 1-ого порядка называется число 
.
Определителем 2-ого порядка называется число
.
Определителем 3-его порядка называется число
.
Минором элемента называется определитель 
, полученный из определителя 
вычёркиванием 
-ой строки и 
-ого столбца.
Алгебраическим дополнением 
элемента называется его минор , взятый со знаком 
:
.
Определителем порядка называется число
Разложением определителя по -ой строке () называется соотношение: 
.
Разложением определителя 
по 
-ому столбцу () называется соотношение: 
Определители обладают следующими свойствами:
1) определитель не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами;
2) определитель изменит знак на противоположный, если переставить местами любые две строки (два столбца) определителя;
3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
4) определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку (столбец), две одинаковые или пропорциональные строки (столбца);
5) определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число;
6) определитель треугольного вида (когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей равны нулю) равен произведению диагональных элементов: 
.
Тема 2. Матрицы.
Матрицей размера 
называется прямоугольная таблица из чисел (
, ): 
, состоящая из 
строк и столбцов. Если необходимо указать размеры матрицы, то пишут 
.
Если 
, то матрица называется квадратной.
Нулевой называется матрица 
, все элементы которой равны нулю, например: 
. Единичной называется квадратная матрица 
, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, например: 
. Треугольной называется квадратная матрица , все элементы которой расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например: 
. Трапециевидной (ступенчатой) назовём матрицу 
, все элементы которой, расположенные ниже элементов 
равны нулю, например: 
.
Матрицы и 
называются равными и пишут 
, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны: 
, , .
Матрицы можно транспонировать, складывать, вычитать, умножать на число, умножать на другую матрицу.
Транспонированной к матрице называется матрица 
, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы 
.
Суммой (разностью) матриц и одного размера , называется матрица 
того же размера, для которой:
, , .
Произведением матрицы размера на число 
называется матрица 
того же размера, для которой: 
, , .
Произведением матрицы 
на матрицу 
называется матрица 
, каждый элемент которой 
вычисляется по правилу:
, 
, 
.
Операция умножения матрицы на матрицу определена не для всех матриц, а только для таких у которых число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы . Такие матрицы называются согласованнымидля умножения. Поэтому прежде чем выполнять данную операцию следует: 1) проверить их согласованность для умножения; 2) определить размерность матрицы-произведения: 
. Особенность операции умножения матриц состоит в том, что в общем случае: 
..
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
4) вычёркивание нулевой строки (столбца).
Матрицы и , полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называются эквивалентными и пишут 
.
Обратной к квадратной матрице порядка 
, называется матрица 
того же порядка, если: 
, где 
- единичная матрица порядка .
Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель 
. Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц.
Одним из методов вычисления обратной матрицы является:
Метод присоединённой матрицы. Если -невырожденная матрица, то 
, где 
- присоединённая матрица, для которой: 
, где 
. Здесь 
- алгебраические дополнения элементов 
матрицы .
В частности, если 
, то 
Матричными называются уравнения вида: 
, 
, 
,
где матрицы 
- известны, матрица 
- неизвестна. Если квадратные матрицы и - невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде: 
, 
, 
.
Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
…Система уравнений вида: 
называется системой 
линейных уравнений с неизвестными. Числа называются коэффициентами, 
- свободными членами, 
- неизвестными системы.
В матричной форме система имеет вид: 
,
где 
, 
, 
. Здесь -матрица системы,
-матрица-столбец неизвестных, -матрица-столбец свободных членов.
Если 
, то система называется однородной, в противном случае неоднородной.
