Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка в общем случае имеют вид: .

Дифференциальные уравнения вида y″ = f(x) решаются двукратным интегрированием.

Полагая y′ = z, имеем y″ = z′ или z′ = f(x), = f(x), dz = f(x)dx.

Интегрируя , получим z = F(x) + C_1.

Возвращаясь к функции y, имеем

, .

- это есть общее решение уравнения

y″ = f(x).

Пример 1: Найти общее решение уравнения.

Решение: Пусть , тогда .

После подстановки имеем или .

Интегрируя обе части равенства, получим .

Вернувшись к функции y, получаем уравнение .

Интегрируя его , получим -это есть общее решение уравнения.

Ответ: .

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения

Второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение: Уравнения вида , где p и q– постоянные величины, называются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для отыскания общего решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение ,

которое решается как квадратное уравнение. При его составлении в исходном уравнении производные функции y заменяются соответствующей степенью переменной k, причем сама функция y заменяется единицей.

Общее решение исходного дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней и .

Возможны три случая:

1) и – действительные и различные, тогда

;

2) и – действительные и равные, тогда и

;

3) и – комплексно-сопряженные: , ,

тогда .

 

Пример1: Решить дифференциальное уравнение

y˝- 5y΄- 6y = 0.

Решение: Заменим данное уравнение характеристическим:

.

решаем его, получаем .

, .

Как видно, корни действительные и различные, поэтому

общее решение можно записать в виде .

Ответ: .

 

Пример 2: Решить дифференциальное уравнение .

 

Решение: Заменим данное уравнение характеристическим

, найдем корни, , значит .

Отсюда действительная частькомплексного числа , мнимая часть , следовательно общее решение имеет вид:

.

Ответ:

Пример 3: Решить дифференциальное уравнение

.

Решение: Заменим данное уравнение характеристическим:

.

Решая его, получаем ;

,

получили комплексно - сопряженные корни, где и . Тогда общее решение запишется в виде .

Ответ:

Пример 4: Решить дифференциальное уравнение

.

Решение: Заменим данное уравнение характеристическим:

.

Решая его, получаем ;

,

получили два одинаковых действительных корня, тогда

общее решение уравнения запишется в виде .

Ответ: .

Линейные однородные

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y″ + py ′ + qy = f(x),

где p и q – постоянные величины, а f(x) – непрерывная функция x.

Если правая часть уравнения равна нулю, т.е.

y″ + py ′ + qy = 0,

то оно называется однородным уравнением.

Для практического использования алгоритм решениядифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами удобно оформить в виде таблицы:

Дифференциальное уравнение	y″ + py′ + qy = 0
Характеристическое уравнение	k2 + pk + q = 0
Дискриминант D = p2 – 4q	D > 0	D = 0	D < 0
Корни характеристического уравнения	k1 ≠ k2	k1 = k2	k1 = a + bi k2 = a - bi
Множества решений

 

Пример. Решить уравнение y″ + 2y′ – 8y = 0.

Решение.

Составим характеристическое уравнение k² + 2k - 8 = 0.

Найдем дискриминант D = p² – 4q = 2² -4(-8) = 4 + 32 = 36 > 0.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Определим их: k₁ = - 4, k₂ = 2.

Находим частные решения данного дифференциального уравнения:

.

Общее решение данного уравнения имеет вид

.