Тема 1. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в разных формах записи

Методические указания и контрольные задания

Для студентов-заочников

По дисциплине: Математика

Заочное отделение

 

 

 

ТЕМА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В РАЗНЫХ ФОРМАХ ЗАПИСИ

Элементы содержания	Требования к знаниям и умениям
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме	знать: правила выполнения действий с комплексными числами в алгебраической форме уметь: выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме
Тригонометрическая форма комплексного числа	знать: формулы перехода от алгебраической формы к тригонометрической форме комплексного числа; правила выполнения действий над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме уметь: находить тригонометрическую форму комплексного числа; выполнять действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
Решение уравнений	знать: определение комплексного числа уметь: находить корни квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом
Сопряженные комплексные числа	знать: понятие сопряженных комплексных чисел уметь: записывать число, сопряженное заданному комплексному числу
Модуль комплексного числа	знать: понятие модуля комплексного числа уметь: вычислять модуль комплексного числа

 

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ:

1. Определение комплексного числа.

Число вида , где - любые действительные числа, а - так называемая мнимая единица, называется комплексным числом.

или

Действительные числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются

Рассмотрим частные случаи комплексных чисел.

· Пусть y =0, x - любое действительное число. Тогда становится действительным числом.

· Пусть . Тогда - чисто мнимое число.

Таким образом, все действительные числа и все чисто мнимые числа входят в множество комплексных чисел.

Два комплексных числа и называются сопряженными комплексными числами.

Сравнение комплексных чисел осуществляется по правилам:

1. Два комплексных числа считаются равными, если .

2. Комплексное число равно нулю только тогда, когда одновременно.

3. Операции <, > не имеют смысла на множестве комплексных чисел.

 

2. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат ХОУ на плоскости. Каждой точке плоскости при этом соответствуют вполне определенные координаты , а следовательно, и вполне определенное комплексное число . Обратно, каждому к омплексному числу соответствует вполне определенная пара действительных чисел , а следовательно, и вполне определенная точка плоскости . Таким образом установили связь между множеством точек на плоскости и множеством комплексных чисел. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа , называется комплексной плоскостью. Ось ОХ называется действительной осью, ось ОУ – мнимой осью. Очевидно, что изображением комплексного числа можно считать также и вектор .

 

3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Длина вектора, изображающего комплексное число , называется модулем комплексного числа.

Угол j, образуемый этим вектором с положительным направлением действительной оси (Ð MON), называется аргументом комплексного числа.

Обозначение: модуль ,

аргумент .

Из прямоугольного треугольника OMN

.

В качестве главного значения аргумента комплексного числа обычно выбирают значение , определенное неравенствами

,

.

Итак, называется тригонометрической формой записи комплексногочисла.

Пример.Записать в тригонометрической форме комплексные числа:

1.

2.

3.

4. .

Решение:

1.

.

2. .

.

3.

.

4.

.

 

4. Действия над комплексными числами.

1. Сложение.

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число , определяемое равенством

.

Из определения вытекают следующие законы сложения:

- Переместительный:

- Сочетательный:

2. Вычитание.

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению. Вычесть из числа число значит найти такое число , чтобы имело место равенство: Число называется разностью чисел и и обозначается .

Вычитаниевсегдавыполнимо.

3. Умножение.

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством .

Из определения следуют законы:

· Переместительный

· Сочетательный

· Распределительный .

4. Деление.

Деление – действие, обратное умножению. Разделить комплексное число на комплексное число значит найти такое число , чтобы имело место равенство .

Тогда получаем систему для определения и :

Система всегда разрешима, т.к. определитель

.

Число называется частным.

.

Итак, чтобы разделить одно комплексное число на другое, надо числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное числу, стоящему в знаменателе.

 

5. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

Пусть .

Тогда .

Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются: .

Деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, приводит к формуле:

.

 

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ:

Вариант 1

1. Решить квадратное уравнение:

х ² + 2 х + 5 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

5 х – 2 у + (х + у) i = 4 + 5 i.

3. Выполнить действия:

a.

b. (1 - i)³;

c. i ⁴⁰ – i ²¹.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

a.

b.

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 2

1. Решить квадратное уравнение:

х ² + 2 х + 4 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

5 хi – 2+ 4у = 9 i + 2 x + 3 yi.

3. Выполнить действия:

a.

b. (1 + i)³;

c. i ³ – i ¹⁰⁰.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

a.

b.

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 3

1. Решить квадратное уравнение:

х ²-6 х + 18 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

9 + 2 хi +4 уi = 10 i + 5 x – 6 y.

3. Выполнить действия:

a.

b. (1 - i)⁴;

c. i ¹³ – i ³³.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

a.

b.

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 4

1. Решить квадратное уравнение:

х ²-4 х + 5 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

2 хi +3 уi + 17 = 3 x + 2 y + 18 i.

3. Выполнить действия:

a.

b. (1 - i)⁴;

c. i ¹⁷ – i ³⁸.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

a.

b.

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 5

1. Решить квадратное уравнение:

х ² + 6 х + 10 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

4 х +5 у – 9 + 7 (3 х - у) i = 10 x + 14 yi.

3. Выполнить действия:

a.

b. (3 - 4 i)³;

c. i ¹⁵ – i ³⁷.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

a.

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

 

Вариант 6

1. Решить квадратное уравнение:

х ²-10 х + 41 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

3 + 4 хi +5 уi =12 i + 5 x – 2 y.

3. Выполнить действия:

a.

b. (2 + 5 i)³;

c. i ²³ – i ¹¹¹.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

a.

b.

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 7

1. Решить квадратное уравнение:

2 х ²- 2 х + 5 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

х (2 + i) – у (1- i) = 1 + 3 i.

3. Выполнить действия:

a.

b. (1 + 7 i)³;

c. i ⁴⁵ – i ¹¹.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

a.

b.

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

 

Вариант 8

1. Решить квадратное уравнение:

25 х ²- 20 х + 13 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

х (1 + i) + y(2 – 3i) = 3i + 1.

3. Выполнить действия:

a.

b. (1 - 5 i)³;

c. i ⁵⁸ – i ⁵¹.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

a.

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 9

1. Решить квадратное уравнение:

.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

9 + 2 ix+4iy = 10 i+5x-6y.

3. Выполнить действия:

a.

b. (3 - 2 i)³;

c. i ¹⁵ – i ⁵⁷.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

a.

 

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 10

1. Решить квадратное уравнение:

х ²-6 х + 18 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

2 хi +3 уi+ 17 = 3 x + 2 y + 18.

3. Выполнить действия:

a.

b. (1 - 2 i)⁴;

c. i ²³ – i ³⁵.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

a.

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ

1. Решите во множестве комплексных чисел уравнение .

Решение:

Так как , тогда корни находятся по формуле

().

Отсюда, , .

Ответ: .

.

Решите уравнение

Решение:

По формуле , находим:

.

 

2. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут равными?

Решение:

Комплексные числа и будут равными, если выполняются условия:

Ответ: ; .

 

3. Вычислите ; ; ; .

Решение:

С помощью формулы:

легко получаем:

;

;

;

.

Ответ: ; ; ; .

 

 

4. Выполнить все действия над комплексными числами и .

Решение

 

5. Выполните указанные действия: .

Решение

Вычислим значение дроби .

Следовательно,

Ответ: .

 

6. Изобразите на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

Решение

Данным комплексным числам соответствуют точки комплексной плоскости.

Покажем их.

 

7. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

Решение

Так как тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид , тогда:

а) В комплексном числе : .

Тогда

,

Поэтому

б) , где ,

в) , где ,

г) , где ,

д) , где ,

е) .

ж) , а , то .

Поэтому

Ответ: ; 4; ; ; ; ; .