Простейшие свойства определенного интеграла

1) Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4) Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

5) Отрезок интегрирования можно разделить на части:

с -точка, лежащая между а и b.

6) Если на отрезке , то .

Для вычисления определенного интеграла от функции , в том случае, когда можно найти соответствующую первообразную , служит формула Ньютона-Лейбница:

= F(b)-F(a)

Рассмотрим нахождение простейших определенных интегралов.

Пример 1: Вычислить определенный интеграл .

Решение: =

Пример 2: Вычислить определенный интеграл: .

Решение:

.

Вычисление определенного интеграла

Методом замены переменной

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки или в определенный интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами t₁ и t₂, которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: .

Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений .

Таким образом, имеем

Пример 1: Вычислить определенный интеграл методом замены переменной

Решение: =

Пример 2: Вычислить определенный интеграл: .

Решение:

Вычисление площадей плоских фигур.

+ +

0 a - bx

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .