Тема 3. Дифференциальное исчисление

 

 

Элементы содержания	Требования к знаниям и умениям
Правила дифференцирования	знать: основные правила и формулы дифференцирования уметь: применять основные правила и формулы дифференцирования при решении задач
Производная сложной функции	знать: правило нахождения производной сложной функции уметь: находить производные сложных функций
Производная функции в точке	знать: основные правила и формулы дифференцирования уметь: находить производные функций и их значения в точке
Экстремум функции	знать: правило отыскания экстремумов функции уметь: находить точки экстремумов функции и экстремумы функции
Наибольшее и наименьшее значения функции	знать: правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции уметь: находить наибольшее и наименьшее значения функции
Дифференциал функции	знать: понятие дифференциала уметь: применять дифференциал для нахождения приближенного значения функции

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Понятие производной

Определение: Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этотпредел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

Механический смысл производной: скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е.

Уравнение касательнойк графику функции в точке :

Уравнение нормали к графику функции в точке :

Таблица производных

 

 

Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.

 

Рассмотрим примеры.

Найти производные функций:

Пример 1:

Решение:

+

Пример2:

Решение:

Пример 3:

Решение:

Дифференциал функции

 

Определение: Дифференциалом функции y=y(x) называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной:

.

 

Для большей наглядности рассмотрим пример.

 

Пример 1: Найти дифференциал функции

Решение:

Так как , то .

 

Для дифференцируемой в точке х₀ функции f(x), у которой f¢(x₀) ¹ 0, при достаточно малых ∆х справедливо приближенное равенство

∆f(x₀) ~ df(x₀) = f¢(x₀)∆x

Т.к. ∆х = х – х₀, ∆f(x₀) = f(x₀ + ∆x) – f(x₀) = f(x) – f(x₀),

то f(x) ~ f(x₀) + f¢(x₀) (x–x₀)

Например, вычислим .

Рассмотрим функцию f(x) = , х Î (0; +¥).

Для этой функции ~ +

Подставляем х = 3,998 и х₀= 4

~