Пределы функций, основные теоремы о пределах
1. Теоремы о пределах.
Пусть существуют конечные пределы 
и 
. Тогда справедливы следующие утверждения:
-
;
-
;
-
, где с – число;
-
, если 
.
2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Бесконечно малой функцией при 
называется функция 
, предел которой равен нулю при : 
.
Если значения функции f(x) неограниченно возрастают по абсолютной величине при , то такую функцию называют бесконечно большой при . Предел этой функции обозначают знаком бесконечности 
: 
.
Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Если 
, то 
.
Если 
, то 
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.
;
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
Вариант 2.
Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.
;
а) 
; б) 
; в) ; г) ; д) .
Вариант 3.
Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.
;
а) ; б) 
; в) ; г) ; д) .
Вариант 4.
Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.
;
а) 
; б) ; в) 
; г) 
; д) .
Вариант 5.
Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.
;
а) ; б) ; в) ; г) 
; д) .
Вариант 6.
Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.
;
а) ; б) ; в) ; г) 
; д) .
Вариант 7.
Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.
;
а) ; б) 
; в) 
; г) ; д) .
Вариант 8.
Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.
;
а) 
; б) ; в) ; г) 
; д) .
Вариант 9.
Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.
;
а) ; б) 
; в) ; г) ; д) .
Вариант 10.
Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.
;
а) 
; б) ; в) 
; г) ; д) .
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ
Задача. Вычислить пределы функции 
при
Решение. В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента.
а) 
.
Здесь применима теорема о пределе частного.
б) 
.
При подстановке 
в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их значения равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. В данном случае говорят, что имеется неопределенность вида 
.
Неопределенность вида при может быть раскрыта сокращением дроби на множитель вида(х–х0), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на(х+4). Поэтому, следует разложить на множители числитель и знаменатель дроби (п.2 и п.3 прил.1).
| 3 х2+ 10 х – 8 = 0; | 4 х2 +15 х – 4 = 0; |
D = 
| D = 
|
| 
|
| 3 х2+ 10 х –8 = 3(х+ 4)(х –2/3) = | 4 х2+ 15 х – 4 = 4(х+ 4)(х –1/4) = |
| = (х +4)(3 х –2). | = (х +4)(4 х –1). |
Таким образом,
в) 
Здесь применима теорема о пределе частного, так как существуют конечные пределы числителя и знаменателя, и предел знаменателя не равен нулю.
г) 
Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.
д) 
.
Пределы числителя и знаменателя дроби равны . В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность». Теорема о пределе частного здесь не применима.
Чтобы раскрыть неопределенность вида 
при , каждый член числителя и знаменателя дроби делят на x в наивысшей степени (в нашем примере на х2), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.
так как 
(по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).
Замечание. Полезно запомнить, что при предел отношения многочленов c одинаковыми наивысшими степенями равен отношению коэффициентов при этих степенях.
В нашем примере, коэффициенты при наивысшей степени х2 многочленов равны 3 и 4, поэтому и предел дроби равен 
.
Ответы. 
