Критерии для проверки сложных гипотез

На примере выборок из нормального распределения разберем те задачи, которые возникают при проверке сложных гипотез.

Пример 3. Пусть независимая выборка (1.1) взята из нормального распределения с параметрами , причем известно. Рассмотрим простую проверяемую гипотезу и одностороннюю сложную гипотезу . Действуя также, как в п.2.4 при различении двух простых гипотез, находим, что критерий

будет иметь уровень значимости и будет наиболее мощным для любой простой гипотезы Функция мощности этого критерия будет иметь график, изображенный на рис.3, и ошибка II рода:

 

 

 

 

Рис.3

в пределе равна . Поэтому по критерию мы можем лишь с малой ошибкой отвергнуть гипотезу . В случае , мы не имеем больших оснований утверждать только на основе выборки (1.1), что а не так как при близких к вероятность события близка к единице. Поэтому при мы говорим, что выборка (1.1) не противоречит гипотезе , и если эта гипотеза имеет какое-либо обоснование, независимое от выборки (1.1), то выборка в этом случае ее подтверждает.

Пример 4. Пусть гипотеза остается прежней, а конкурирующая гипотеза будет двусторонней . В этом случае для значений и терема Неймана-Пирсона дает разные оптимальные критерии , т.е. не существует такого критерия с уровнем значимости , который максимизировал бы функцию мощности во всех точках . В этом случае применяют двусторонний критерий, по которому гипотеза отвергается, когда

Функция мощности такого критерия равна:

.

Уровень значимости критерия равен , график изображен на рис.4.

 

Рис. 4.

Пример 5. Сравнение двух дисперсий.

При обработке наблюдений часто возникает необходимость сравнить две или несколько дисперсий. Основная гипотеза, которая при этом проверяется: можно ли сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсию рассмотрим две независимые выборки из нормальных распределений:

,

средние значения которых соответственно равны .

Выборочные дисперсии:

,

определяются со степенями свободы:

, .

Требуется выяснить, являются ли выборочные дисперсии значимо различными или же полученные выборки можно рассматривать как взятые из генеральных совокупностей с равными дисперсиями.

Предположим, что первая выборка сделана из генеральной совокупности с дисперсией , а вторая- из генеральной совокупности с дисперсией . Проверяется нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий : .

Чтобы отвергнуть эту гипотезу, нужно доказать значимость различий между при выбранном уровне значимости . В качестве критерия значимости обычно используется критерий Фишера.

Распределением Фишера ( -распределением, -распределением) называется распределение случайной величины (статистики):

(2.16)

Плотность вероятности -распределения:

Пусть -квантиль -статистики (2.16), тогда .

Квантили -распределения обладают свойством:

В условиях нулевой гипотезы и , и, следовательно, -распределение может быть непосредственно использовано для оценки отношения выборочных дисперсий . При доверительной вероятности двусторонняя оценка величины имеет вид: или

В условиях нулевой гипотезы , следовательно, с вероятностью : должно выполняться двустороннее неравенство:

(*)

Вероятность неравенств, противоположных данным, равна уровню значимости , они образуют критическую область для нулевой гипотезы. Если полученное дисперсионное отношение попадает в критическую область, различие между дисперсиями надо считать значимыми (нуль гипотеза отвергается).

При проверке нулевой гипотезы односторонний критерий применяется, если альтернативной гипотезой является гипотеза (для определенности - большая дисперсия, т.е. ), т.е. большей выборочной дисперсии заведомо не может соответствовать меньшая генеральная.

При этом различие между дисперсиями следует считать значимым, если:

(**)

Двусторонний критерий значимости применяется для альтернативной гипотезы , т.е. когда соотношение между генеральными дисперсиями неизвестно. При этом в неравенстве (*) надо проверять только правую часть, т.к. левая часть всегда выполняется: по условию , а для небольших . При этом различие между дисперсиями следует считать значимым, если .

Критерий Фишера можно использовать для сравнения дисперсий, если одна из дисперсий является генеральной. Число степеней свободы генеральной дисперсии считается равным .

Пример. применяем односторонний критерий значимости (**). Дисперсионное отношение надо сравнить с табличным для уровня значимости и чисел степеней свободы и .

Таким образом, выборочное дисперсионное отношение меньше табличного и данные не позволяют считать дисперсии значимо различными.