На примере выборок из нормального распределения разберем те задачи, которые возникают при проверке сложных гипотез.
Пример 3. Пусть независимая выборка (1.1) взята из нормального распределения с параметрами 
, причем 
известно. Рассмотрим простую проверяемую гипотезу 
и одностороннюю сложную гипотезу 
. Действуя также, как в п.2.4 при различении двух простых гипотез, находим, что критерий
будет иметь уровень значимости 
и будет наиболее мощным для любой простой гипотезы 
Функция мощности этого критерия 
будет иметь график, изображенный на рис.3, и ошибка II рода: 
 |
Рис.3
в пределе равна 
. Поэтому по критерию 
мы можем лишь с малой ошибкой отвергнуть гипотезу 
. В случае 
, мы не имеем больших оснований утверждать только на основе выборки (1.1), что 
а не 
так как при 
близких к 
вероятность события близка к единице. Поэтому при мы говорим, что выборка (1.1) не противоречит гипотезе , и если эта гипотеза имеет какое-либо обоснование, независимое от выборки (1.1), то выборка в этом случае ее подтверждает.
Пример 4. Пусть гипотеза остается прежней, а конкурирующая гипотеза будет двусторонней 
. В этом случае для значений 
и 
терема Неймана-Пирсона дает разные оптимальные критерии 
, т.е. не существует такого критерия с уровнем значимости , который максимизировал бы функцию мощности во всех точках 
. В этом случае применяют двусторонний критерий, по которому гипотеза отвергается, когда
Функция мощности такого критерия равна:
.
Уровень значимости критерия равен , график изображен на рис.4.
Рис. 4.
Пример 5. Сравнение двух дисперсий.
При обработке наблюдений часто возникает необходимость сравнить две или несколько дисперсий. Основная гипотеза, которая при этом проверяется: можно ли сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсию рассмотрим две независимые выборки из нормальных распределений:
,
средние значения которых соответственно равны 
.
Выборочные дисперсии:
, 
определяются со степенями свободы:
, 
.
Требуется выяснить, являются ли выборочные дисперсии 
значимо различными или же полученные выборки можно рассматривать как взятые из генеральных совокупностей с равными дисперсиями.
Предположим, что первая выборка сделана из генеральной совокупности с дисперсией 
, а вторая- из генеральной совокупности с дисперсией 
. Проверяется нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий : 
.
Чтобы отвергнуть эту гипотезу, нужно доказать значимость различий между при выбранном уровне значимости 
. В качестве критерия значимости обычно используется критерий Фишера.
Распределением Фишера (
-распределением, 
-распределением) называется распределение случайной величины (статистики):
(2.16)
Плотность вероятности -распределения:
Пусть 
-квантиль -статистики (2.16), тогда 
.
Квантили -распределения обладают свойством:
В условиях нулевой гипотезы и 
, и, следовательно, -распределение может быть непосредственно использовано для оценки отношения выборочных дисперсий 
. При доверительной вероятности 
двусторонняя оценка величины имеет вид: 
или
В условиях нулевой гипотезы 
, следовательно, с вероятностью 
: должно выполняться двустороннее неравенство:
(*)
Вероятность неравенств, противоположных данным, равна уровню значимости 
, они образуют критическую область для нулевой гипотезы. Если полученное дисперсионное отношение попадает в критическую область, различие между дисперсиями надо считать значимыми (нуль гипотеза отвергается).
При проверке нулевой гипотезы односторонний критерий применяется, если альтернативной гипотезой является гипотеза 
(для определенности 
- большая дисперсия, т.е. 
), т.е. большей выборочной дисперсии заведомо не может соответствовать меньшая генеральная.
При этом различие между дисперсиями следует считать значимым, если:
(**)
Двусторонний критерий значимости применяется для альтернативной гипотезы , т.е. когда соотношение между генеральными дисперсиями неизвестно. При этом в неравенстве (*) надо проверять только правую часть, т.к. левая часть всегда выполняется: по условию 
, а 
для небольших . При этом различие между дисперсиями следует считать значимым, если 
.
Критерий Фишера можно использовать для сравнения дисперсий, если одна из дисперсий является генеральной. Число степеней свободы генеральной дисперсии считается равным 
.
Пример. 
применяем односторонний критерий значимости (**). Дисперсионное отношение 
надо сравнить с табличным для уровня значимости 
и чисел степеней свободы 
и 
.
Таким образом, выборочное дисперсионное отношение меньше табличного и данные не позволяют считать дисперсии значимо различными.
