Умный в гору не пойдет, умный гору обойдет

Не только «зазеркалье» позволяет найти обходные пути решения. Поиски таких путей часто быстрее приводят к цели, чем осуществление привычного стандартного плана.

Задача 9. 1*. Кот Леопольд сидел у края крыши. Два злобных мышонка выстрелили в него из рогатки. Камень, описав дугу, упал у ног кота через время t. На каком расстоянии от мышей находился кот Леопольд, если известно, что скорости камня в момент выстрела и в момент падения были взаимно перпендикулярны?

Леопольд t 1 ^ 2   S –?

На рисунке 8 изображены траектория камня, заданные в задаче скорости ₁ и ₂, а также перемещение камня. Модуль этого перемещения нужно найти.

Сделав традиционные приближения (камень считаем частицей, сопротивлением воздуха пренебрегаем), приходим к задаче о кинематике частицы, движущейся с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения (рис. 8). Следовательно, можно применять уравнения (4.6) – (4.8).

Представим, к чему приведет традиционное применение указанных формул. Придется записать уравнения и для вертикальной, и для горизонтальной проекций перемещения . Найдя эти проекции, можно будет определить и его модуль S по теореме Пифагора. В полученные уравнения войдут неизвестные модули скоростей ₁ и ₂, а также углы, которые они образуют, например, с ускорением . Так что не обойдешься без кинематических уравнений для проекций скорости ₂. Углы, фигурирующие в полученных уравнениях, должны удовлетворять некоторому соотношению, выражающему условие ₁ ^ ₂. В общем, получится довольно громоздкая система алгебраических уравнений. Не будем спешить с реализацией этого плана, поищем обходной путь.

Что особенное, замечательное есть в условии, выделяющее данную траекторию среди других возможных траекторий полета камня? Скорости ₁ и ₂ взаимно перпендикулярны. Нельзя ли этим как-то воспользоваться? Встречались ли вам другие задачи, в которых речь шла о перпендикулярных векторах? Встречались ли задачи, в которых речь шла о перпендикулярных отрезках, ведь векторы изображаются направленными отрезками. В геометрии часто рассматриваются прямоугольные треугольники. Нельзя ли и здесь воспользоваться геометрией, а не алгеброй, анализировать геометрические фигуры вместо алгебраических выражений? Речь в данном случае идет об алгебраических выражениях, связывающих проекции векторных величин, которым соответствуют геометрические векторы. Так что для перехода от «алгебры» к «геометрии» следует вместо уравнений для проекций векторных величин рассмотреть фигуры, образованные соответствующими направленными отрезками, и соотношения между элементами получившихся геометрических фигур.

Для реализации намеченного выше геометрического метода решения запишем кинематические уравнения (4.6) и (4.7) для перемещения (рис. 8) в векторной форме:

= ₁ t + t² / 2, (9.1)

₂ = ₁ + t. (9.2)

Чтобы соотношения (9.1) и (9.2) легче было сопоставлять друг с другом, преобразуем (9.1):

/ t = ₁ + t / 2, (9.3)

Изобразим суммы векторов на рисунках. Рисунок 9а представляет соотношение (9.2), рисунок 9б – соотношение (9.3). На рисунке 9в совмещены оба изображения. Видно, что задача сводится к нахождению медианы прямоугольного треугольника с катетами v₁ и v₂.

Что можно считать заданным в этом треугольнике? Гипотенуза его равна g t. Как, зная это, найти его медиану? Нельзя ли эту геометрическую задачу заменить другой, эквивалентной? Сделаем дополнительные построения, показанные на рисунке 9в. Какая же эквивалентная задача напрашивается в результате этих построений? Напрашивается задача о нахождении половины диагонали прямоугольника. Как решить эту задачу? Поскольку диагонали прямоугольника равны, а точка их пересечения делит их пополам, можно записать: S / t = g t /2. Отсюда сразу получаем ответ S = g t² /2. И не нужно решать громоздкой системы алгебраических уравнений!

 

В копилку опыта

· Алгебраический метод решения в некоторых случаях может быть заменен геометрическим. Подобная замена часто оказывается весьма эффективной.