Рассмотрим примеры решения задач кинематики, обращая внимание на реализацию общего плана и на алгоритм применения главных кинематических уравнений.
Задача 5. 1 Шарику, находящемуся на наклонной плоскости, сообщили скорость 0,20 м/c, после чего он покатился вверх с постоянным ускорением 0,0981 м/c2. Определить: время движения шарика до остановки; путь, который он пройдет до этого момента; через какое время шарик вернется в начальное положение и с какой скоростью; на каком расстоянии от начала движения скорость шарика была равна 0,10 м/с.
Действуем в соответствии с описанным выше планом УРАУРА.
Вчитываемся в У словие задачи, вводим необходимые обозначения и кратко записываем условие.
Некоторые предпочитают начинать краткую запись условия с искомых величин, а не с заданных. Можно поступать и так. Это дело вкуса. Слово «Шарик» в начале условия напоминает, о чем идет речь в задаче. Подобное напоминание полезно, если условие задачи не переписывается в тетрадь. А вот слова «Дано» и «Решение», которыми часто «украшают» записи, не несут никакой смысловой нагрузки, без них вполне можно обойтись.
Почему в условии написано, например, 0,20 м/с, а не 0,2 м/с? Физические величины, как правило, выражаются приближенными числами. Число 0,20 имеет две значащие цифры. Оно дает более точное значение, чем число 0,2, имеющее только одну значащую цифру. Соответственно, и ответ придется округлить до двух значащих цифр, поскольку остальные не могут повысить точность результата, они окажутся сомнительными.
Чтобы различить две заданные в задаче скорости, одна из них отмечена индексом 0. Время движения вверх обозначено t1? А все время движения до возвращения в исходное положение – t2. Соответствующая этому моменту времени скорость отмечена тем же индексом – (v2). Путь (то есть длина участка траектории, по которому двигалась частица) за время t1 обозначен l 1. Можно было бы написать и S1, но буква S обычно используется для обозначения перемещения. В данном случае путь совпадает с модулем перемещения, но так бывает далеко не всегда. Искомое расстояние – S. Это модуль перемещения, в конце которого скорость была равна v.
 |
Изобразим описываемую в задаче ситуацию на Р исунке (рис. 4)
Вблизи различных положений шарика в скобках указаны соответствующие моменты времени. Скорость 
может быть направлена или так, как показано пунктирной стрелкой, или – в противоположную сторону. Не следует упускать из виду обе эти возможности. На рисунке находит отражение и то обстоятельство, что скорость по модулю меньше, чем 0. Уменьшение модуля скорости согласовано с направлением ускорения 
. О модулях перемещений 
и 1, показанных на рисунке 4, идет речь в задаче. Показан на рисунке и путь l 1, который равен модулю перемещения 1.
Из А нализа содержания задачи выясняется, что шарик можно считать частицей, так как его размер пренебрежимо мал. Ускорение 
постоянно. Поэтому можно применить законы (4.6) – (4.8) кинематики частицы, движущейся с постоянным ускорением.
Применяя эти законы, попытаемся записать У равнения, связывающие искомые величины с заданными. Какую именно формулу нужно применить для нахождения t1? Чем замечателен этот момент времени? В этот момент времени шарик останавливается, его скорость становится равной нулю. Начальная скорость известна. Так что разумно применить формулу для скорости (4.7).
Алгоритм применения каждой из формул (4.6) – (4.8) диктуется самой формулой. Достаточно выразить входящие в нее величины через те, которые заданы по условию задачи. В формулах фигурируют проекции векторов на произвольно выбранную ось x. Настало время сделать этот выбор. Поскольку проецируемые векторные величины направлены вдоль наклонной плоскости, в том же направлении целесообразно направить и ось x (рис. 4).
При указанном выборе направления оси применение формулы (4.7) дает
0 = v0 – a t1. (5.1)
Здесь учтено, что vX = 0; v0X = v0; aX = – a. Из решения уравнения (5.1) сразу получается первый ответ:
t1 = v0 / a. (5.2)
Какую формулу следует применить для нахождения l 1? Из рисунка ясно, что в уравнении должно фигурировать перемещение 1. Имеется две формулы для перемещения: (4.6) и (4.8). В первую из них входит время, которое уже найдено – (5.2), а в формулу (4.8) время не входит вовсе. Именно последней и следует отдать предпочтение, чтобы избежать размножения ошибки, возникновение которой возможно при получении первого ответа. Применяем формулу (4.8):
S1X = S1 = l 1; vX = 0; vX0 = v0; aX = – a;
l 1 = 
= 
. (5.3)
И второй ответ получен в одну строчку благодаря разумному подбору применяемой формулы.
Как найти t2? Можно вначале искать добавку к найденной величине t1, равную времени возвращения шарика в начальное положение, но нельзя ли сразу найти все время движения t2? Какую формулу следует для этого использовать? Формула для скорости (4.7) не годится, так как не известна скорость в момент t2. Формула (4.8) вообще не содержит t2. Остается формула (4.6) для перемещения. Но какого перемещения? Очевидно, за время t2. Есть ли оно на рисунке? Не видно. А что такое перемещение за время t2? Направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положения частицы. В данном случае эти положения совпадают. Значит перемещение за время t2 равно нулю. Вот для этого то перемещения и применим формулу (4.6):
S2X = 0; v0X = v0; aX = – a. Þ
0 = v0 t2– a t22 / 2. (5.4)
При Р ешении этого уравнения получается два корня. Один из них (t2 = 0) не удовлетворяет условию задачи (искомое время движения отлично от нуля). Другой корень дает ответ
t2 = 2 v0 / a. (5.5)
Самостоятельно напишите уравнение для нахождения v2 и решите его. Должно получиться: v2 = v0, то есть шарик возвратится с той же по модулю скоростью, с какой он начал движение.
Для нахождения последнего ответа следует применить формулу (4.8), поскольку скорость в указанном месте задана, а соответствующее время не известно:
S = 
= 
. (5.6)
Здесь SX = S; v0X = v0; aX = – a; кроме того, vX = ±v, в зависимости от направления движения шарика в этот момент времени.
Как видно из рассматриваемого примера, Р ешение уравнений не обязательно должно быть выделено в отдельный блок, если каждое из уравнений можно решить независимо от других. Аналогичное утверждение относится и к другим этапам общего плана. В частности А нализ каждого из результатов можно также проводить по мере их получения.
Проводя А нализ результатов, прежде всего, следует убедиться в правильности наименований получаемых величин. К примеру, из ответа (5.3) находим
[ l 1] = 
= м.
С «пристрастием» следует проанализировать ответы, содержащие знак «–», или величины, которые могут иметь отрицательные значения. С этой точки зрения следует обратить внимание на выражение (5.6). При v > v0 величина S отрицательна, что противоречит ее смыслу (модуль перемещения). Однако в данном случае такой «неприятности» не возникает, поскольку из условия задачи видно, что v < v0. Формула (5.6) в равной мере относится как к случаю vX < 0 (пунктирная стрелка на рисунке 4), так и к случаю vX > 0 (сплошная стрелка на рисунке 4). Это означает, что при скатывании шарик имеет в каждой точке скорость, совпадающую по модулю с той, которая у него была в этой точке при движении вверх. Найденный выше ответ для v2 подтверждает сделанный общий вывод.
Сравнивая ответы (5.2) и (5.5), приходим к еще одному интересному заключению: время движения шарика вверх равно времени его возвращения в исходное положение.
Остается найти численные ответы. В качестве примера приведем вычисления по формуле (5.6):
S = 
= 
= 0,1529» 0,15 (м).
Прежде чем подставлять численные значения, нужно убедиться в том, что все величины выражены в соответствующих друг другу единицах измерения (как правило, используются единицы СИ). В квадратных скобках приведены грубые оценки (оценки по порядку величины), при которых все величины округляются, как правило, до одной значащей цифры. Далее приводится результат вычисления с помощью калькулятора. Ответ нужно округлить в данном случае до двух значащих цифр, поскольку такое число верных значащих цифр содержится в числителе расчетной формулы. В знаменателе число 2 – точное. Оно не влияет на погрешность ответа. Число 9,81 содержит три значащих цифры, но точность результата деления (или умножения) не может быть выше точности участвующих в этих действиях чисел.
Остальные ответы оцените, подсчитайте и округлите самостоятельно. Сопоставьте их с приведенными здесь значениями:
t1 = 2,0 с; l 1 = 0,20 м; t2 = 4,1 с.
Как оформить решение задачи? Разумеется, следует привести краткую запись условия, рисунок (или рисунки), все формулы и вычисления. Но этого не достаточно. Чтобы с этим решением можно было разобраться по прошествии некоторого времени, нужно хотя бы кратко, а в контрольных работах подробно, обосновать все исходные и получаемые соотношения. Ни пункты общего плана, ни процесс поиска «путей к заветной цели» в тексте решения обычно не отражаются. Это – одна из причин, по которым трудно научиться решать, лишь знакомясь с текстами решений. Овладеть технологией нельзя, любуясь готовыми результатами труда; необходимо непосредственно применять эту технологию.
Подойдя к финишу задачи, полезно оглянуться на пройденный путь. Что поучительного есть в данной задаче? Что может пригодиться в дальнейшем? Анализ хода решения с этих позиций пополняет «копилку опыта», облегчает решение последующих задач.
В копилку опыта
· Следуйте общему плану решения физических задач.
· Не отождествляйте описание того, как следует искать решение, с текстом решения. В тексте решения вовсе не обязательно «рапортовать» о выполнении каждого пункта плана.
· В дальнейшем изложении не все этапы будут освещаться одинаково подробно, а некоторые лишь подразумеваться.
