Дискретные случайные величины. Закон распределения

Переменная величина X, принимающая числовые значения с вероятностью , называется дискретной случайной величиной.

Функциональная зависимость вероятности от называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины X. Закон распределения задается в виде таблицы.

 

Возможные значения случайной величины X			…		…
Вероятности значений случайной величины X			…		…

 

То, что случайная величина X в результате опыта примет одно из значений , есть событие достоверное, и потому должно выполняться условие . Последовательность значений , может быть как конечная, так и бесконечная.

Функция распределения, её свойства

Вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее переменной величины х, есть функция от этой переменной величины, которая называется функцией распределения (интегральной функцией распределения) вероятностей.

Обозначается F(x) = Р(Х < х).

Свойства функции распределения:

1) Область изменения функции распределения: 0< F(x) <1;

2) Вероятность попадания случайной величины в интервал

(α; β) равна приращению функции распределения на этом

интервале: P(α<x<β) = F(β) - F(α);

3) Функция распределения неубывающая: F(β) > F(α),

если β > α;

4) Предельные значения функции распределения:

F(- ∞) = 0; F(∞) = 1.

График функции распределения дискретной случайной величины имеет вид:

 

 

 

График функции распределения дискретной случайной величины имеет разрывы с конечным скачком в точках, где случайная величина принимает свои значения. Величина скачка в точке равна вероятности .

Непрерывные случайные величины

Если некоторая случайная величина X имеет непрерывную функцию распределения F(x), то такая случайная величина называется непрерывной.

Плотность распределения, её свойства

Наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности или дифференциальным законом распределения случайной величины.

Плотностью распределения f(х) называется производная функции распределения F(x): f(x) = F'(x).

Смысл f(x) состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случайная величина X в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

График плотности распределения называют кривой распределения.

 

Свойства плотности распределения:

1) плотность распределения – величина неотрицательная:

f(x) ≥ 0;

2) функция распределения выражается через плотность

распределения формулой: ;

3) площадь между кривой распределения и осью абсцисс

равна единице: .