Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида , (1)

где постоянные, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если y ₁(x) и y ₂(x) – частные решения уравнения (1), причем их отношение , то есть общее решение этого уравнения. Для определения частных решений y ₁(x) и y ₂(x) уравнения (1) следует предварительно решить характеристическое уравнение .

Решение квадратного уравнения определяется по формулам:

, , где .

Если D >0, то уравнение имеет два действительных различных корня k ₁≠ k ₂.

Если D =0, то уравнение имеет два одинаковых корня k ₁= k ₂.

Если D <0, то уравнение имеет два комплексных сопряженных корня вида , .

Число называется мнимой единицей.

Корни характеристического уравнения	Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений
1. k ₁≠ k ₂ - корни действительные различные; 2. k ₁= k ₂ - корни действительные равные; 3. - корни комплексные; 4. - корни мнимые.	1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)

Уравнение вида (2)

с постоянными коэффициентами и с непрерывной правой частью f(x) называют ЛНДУ.

Уравнение с теми же коэффициентами, но с правой частью, равной нулю , называют однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (2).

Общее решение ЛНДУ: у = у ₀ + ỹ – сумма общего решения соответствующего линейному однородному уравнению у ₀ и какого-либо частного решения уравнения (2) ỹ.

Метод определения частного решения ỹ ЛНДУ зависит от вида правой части уравнения.

1. Правая часть вида , где – многочлен

степени n. Частное решение нужно искать в виде

ỹ = e^α^x(A_nxⁿ + A_n-1x^n-1 + …+ A₁x + A₀)x^r,

где показатель r равен количеству корней характеристического уравнения, равных коэффициенту в показателе экспоненты.

A₀, A₁,…, A_n – неопределенные коэффициенты многочлена А_п(х), которые находят методом неопределенных коэффициентов.

Этот метод основан на том, что любое решение дифференциального уравнения превращает его в тождество. Если ỹ подставить в данное ЛНДУ (2), уравнение превращается в тождество, в котором при одинаковых функциях в левой и правой частях тождества должны стоять одинаковые коэффициенты. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х или других функциях, получаем систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов в многочлене А_п(х).

2. Правая часть вида f(x) = e^αx(P_п(x)cosβx + Q_т(x)sinβx), где P_п(x), Q_т(x) – многочлены. Частное решение нужно искать в виде ỹ = e^αx(A_k(x)cosβx + B_k(x)sinβx)x^r.

Многочлены А_k(х) и В_k(х) должны быть степени k = тах(п,т). Показатель r равен количеству пар комплексных сопряженных корней характеристического уравнения, у которых действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе экспоненты, а мнимая – с коэффициентом β.

Коэффициенты многочленов А_k(х), В_k(х) определяются методом неопределенных коэффициентов.

Пример выполнения задания 2

Найдём общие решения однородных линейных уравнений второго порядка.

а) 2 y'' + 5 у' + 2 у = 0.

Составим характеристическое уравнение и найдём его корни:

2 k ² + 5 k + 2 = 0,

Корни действительные различные: k₁ = -2, k₂ = -1/2,

следовательно,

- общее решение данного уравнения.

б) у'' + 6 у' + 13 у = 0.

Составим характеристическое уравнение:

k ² + 6 k + 13 = 0,

Вычисляем корни:

они комплексные сопряженные, следовательно,

– общее решение данного

уравнения.

в) у'' – 8 у' + 16 у = 0.

Составим характеристическое уравнение:

k ² – 8 k + 16 = 0,

Корни характеристического уравнения действительные

равные: k₁ = k₂ = 4, следовательно,

y = e^x(C₁ + C₂x) - общее решение данного уравнения.

г ) у'' – 5 у' + 6 у = 13sin3 x.

Определяем общее решение линейного однородного д.у.

у' ' – 5 у ' + 6 у = 0.

Корнями характеристического уравнения k ² – 5 k + 6 = 0являются числа k₁ = 2, k₂ = 3.

Следовательно, у ₀ = С₁е^2х + С₂е^3х – общее решение

однородного д.у.

Представим правую часть в виде:

13sin3 x = e ^{0 x}(0∙cos3 x + 13sin3 x),

Здесь α = 0, β = 3, P₀(x) = 0, Q₀(x) = 13 – многочлены нулевой степени. Число k = α + iβ = 3i не равно k ₁ и k ₂, значит r = 0 и частное решение ищем в виде