Уравнение вида 
, (1)
где 
постоянные, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Если y 1(x) и y 2(x) – частные решения уравнения (1), причем их отношение 
, то 
есть общее решение этого уравнения. Для определения частных решений y 1(x) и y 2(x) уравнения (1) следует предварительно решить характеристическое уравнение 
.
Решение квадратного уравнения 
определяется по формулам:
, 
, где 
.
Если D >0, то уравнение имеет два действительных различных корня k 1≠ k 2.
Если D =0, то уравнение имеет два одинаковых корня k 1= k 2.
Если D <0, то уравнение имеет два комплексных сопряженных корня вида 
, 
.
Число 
называется мнимой единицей.
| Корни характеристического уравнения | Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений |
1. k 1≠ k 2 - корни действительные различные;
2. k 1= k 2 - корни действительные равные;
3.  - корни комплексные;
4.  - корни
мнимые.
| 1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .
|
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)
Уравнение вида 
(2)
с постоянными коэффициентами и с непрерывной правой частью f(x) называют ЛНДУ.
Уравнение с теми же коэффициентами, но с правой частью, равной нулю 
, называют однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (2).
Общее решение ЛНДУ: у = у 0 + ỹ – сумма общего решения соответствующего линейному однородному уравнению у 0 и какого-либо частного решения уравнения (2) ỹ.
Метод определения частного решения ỹ ЛНДУ зависит от вида правой части уравнения.
1. Правая часть вида 
, где 
– многочлен
степени n. Частное решение нужно искать в виде
ỹ = eαx(Anxn + An-1xn-1 + …+ A1x + A0)xr,
где показатель r равен количеству корней характеристического уравнения, равных коэффициенту в показателе экспоненты.
A0, A1,…, An – неопределенные коэффициенты многочлена Ап(х), которые находят методом неопределенных коэффициентов.
Этот метод основан на том, что любое решение дифференциального уравнения превращает его в тождество. Если ỹ подставить в данное ЛНДУ (2), уравнение превращается в тождество, в котором при одинаковых функциях в левой и правой частях тождества должны стоять одинаковые коэффициенты. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х или других функциях, получаем систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов в многочлене Ап(х).
2. Правая часть вида f(x) = eαx(Pп(x)cosβx + Qт(x)sinβx), где Pп(x), Qт(x) – многочлены. Частное решение нужно искать в виде ỹ = eαx(Ak(x)cosβx + Bk(x)sinβx)xr.
Многочлены Аk(х) и Вk(х) должны быть степени k = тах(п,т). Показатель r равен количеству пар комплексных сопряженных корней характеристического уравнения, у которых действительная часть совпадает с коэффициентом 
в показателе экспоненты, а мнимая – с коэффициентом β.
Коэффициенты многочленов Аk(х), Вk(х) определяются методом неопределенных коэффициентов.
Пример выполнения задания 2
Найдём общие решения однородных линейных уравнений второго порядка.
а) 2 y'' + 5 у' + 2 у = 0.
Составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
2 k 2 + 5 k + 2 = 0,
.
Корни действительные различные: k1 = -2, k2 = -1/2,
следовательно,
- общее решение данного уравнения.
б) у'' + 6 у' + 13 у = 0.
Составим характеристическое уравнение:
k 2 + 6 k + 13 = 0,
Вычисляем корни: 
они комплексные сопряженные, следовательно,
– общее решение данного
уравнения.
в) у'' – 8 у' + 16 у = 0.
Составим характеристическое уравнение:
k 2 – 8 k + 16 = 0,
.
Корни характеристического уравнения действительные
равные: k1 = k2 = 4, следовательно,
y = ex(C1 + C2x) - общее решение данного уравнения.
г ) у'' – 5 у' + 6 у = 13sin3 x.
Определяем общее решение линейного однородного д.у.
у' ' – 5 у ' + 6 у = 0.
Корнями характеристического уравнения k 2 – 5 k + 6 = 0являются числа k1 = 2, k2 = 3.
Следовательно, у 0 = С1е2х + С2е3х – общее решение
однородного д.у.
Представим правую часть в виде:
13sin3 x = e 0 x (0∙cos3 x + 13sin3 x),
Здесь α = 0, β = 3, P0(x) = 0, Q0(x) = 13 – многочлены нулевой степени. Число k = α + iβ = 3i не равно k 1 и k 2, значит r = 0 и частное решение ищем в виде
ỹ = e0x(A0(x)cos3x + B0(x)sin3x)x0= Acos3x + Вsin3x.
Найдем 
и 
:
,
.
Подставив значения 
в исходное уравнение, получаем тождество
.
После преобразования:
-3(А + 5 В)cos3 x + 3(5 А – В)sin3 x ≡13sin3 x.
Приравниваем коэффициенты при sin3 x и cos3 x:
Решив систему, получим А = 5/6, В = -1/6.
Частное решение данного неоднородного уравнения имеет вид:
= 5/6 cos3 x – 1/6 sin3 x.
Общее решение уравнения:
у = у0 + ỹ = С 1 е 2 х + С 2 е 3 х + 5/6 cos3 x – 1/6 sin3 x.
