Схема исследования функций

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить четность, нечетность, периодичность.

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки

разрыва и выяснить характер разрывов.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти нули функции (у = 0) и интервалы знакопостоянства

(у > 0, y < 0).

6. Найти критические точки (у' = 0) и интервалы монотонности

(у' > 0, y' < 0).

7. Найти экстремумы функции.

8. Найти критические точки, в которых у'' = 0, и интервалы выпуклости и вогнутости.

9. Найти точки перегиба.

10. Выполнить схематический чертёж.

Пример выполнения задания 4

Исследуем функцию: и построим её график.

Решение.

Найдем первую и вторую производные этой функции.

.

.

 

1. Область определения:

.

2. Функция общего вида, непериодическая.

3. Точка разрыва функции х = 0.

, в точке х = 0 разрыв второго рода.

4. , х = 0 – вертикальная асимптота.

– горизонтальной асимптоты нет.

, k = 1,

, b = 0,

у = х – наклонная асимптота.

5. у = 0.

, .

y > 0, при ; y < 0, при

6. .

, , x = 2,

 

 

7. y _min(2) = 3.

при x (-∞; 0) функция возрастает;

при x (0; 2) функция убывает;

при x (2; +∞) функция возрастает.

8. у'' = 0; ≠ 0 – точек перегиба нет. При х = 0 вторая

производная не существует.

9.

 

График функции при является

вогнутым.

 

10. График функции имеет вид, указанный на рисунке.

Пример выполнения задания 5

 

Выполним над комплексными числами указанные действия:

а) ;

Воспользуемся формулой:

,

где k = 0,1,…, n -1.

Запишем комплексное число, заданное в алгебраической форме, в тригонометрической форме: , где

, ,

, .

Для данного числа

; ; .

Следовательно,

.

, k = 0, 1, 2.

 

б) .

Воспользуемся формулой:

.

Запишем данное комплексное число в тригонометрической форме.

,

; ; .

Следовательно,

.

.

 

 

II семестр

Вопросы

1. Определение функции многих переменных, области, линии и поверхности уровня.
2. Частные приращения и частные производные.
3. Полное приращение и полный дифференциал.
4. Производная сложной функции.
5. Повторное дифференцирование.
6. Дифференциал второго порядка.
7. Экстремум функции двух переменных.
8. Неопределенный интеграл и его свойства.
9. Непосредственное интегрирование.
10. Интегрирование по частям.
11. Интегрирование путём внесения функции под знак дифференциала.
12. Интегрирование рациональных функций.
13. Интегрирование тригонометрических функций.
14. Интегрирование иррациональных функций.
15. Определенный интеграл и его геометрический смысл.
16. Формула Ньютона-Лейбница.
17. Методы интегрирования в определенном интеграле (подстановка, интегрирование по частям).
18. Несобственные интегралы.
19. Вычисление площадей плоских фигур в полярных и прямоугольных координатах.
20. Вычисление длины дуги плоской кривой, вычисление объема тела вращения, площади поверхности вращения.
21. Двойной интеграл в декартовых и полярных координатах.
22. Вычисление двойного интеграла.
23. Применение двойного интеграла.
24. Тройной интеграл в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.
25. Применение тройного интеграла.

 

 

Модуль 4

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Задачи для решения

Задание 1

Найти частные производные функции z (х; у), заданной уравнением.

Варианты

1. ; 2. ;

 

3. ; 4. ;

 

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. .

Задание 2

Найти дифференциал второго порядка заданной функции.

 

Варианты

1. z = sin(2x + y) + 4; 2. z = cos(3 x + 2 y) – 5;

3. z = xy ² – x ² y; 4. z = cos(x – 2 y) + 16;

 

5. z = sin(x– 3y) – 3; 6. z = x ³ y ² + x ² y ³;

 

7. z = 2x³ y ² – 3 x ² y ³; 8. z = sin(3 x + 4 y) – 13;

 

9. z = 3 x ² y – 2 y ² x; 10. z = cos(5 x – y) + 6.

 

Задание 3

Найти производные сложных функций.

Варианты

1. a) , если , .

б) , если , .

 

2. а) , если .

б) , если , .

3. a) , если , .

б) , если , .

4. a) , если , .

б) , если , .

5. a) , если , .

б) , если , .

6. a) , если , .

б) , если , .

 

7. a) , если , .

б) , если , .

8. a) , если , .

б) , если , .

 

9. a) , если , .

б) , если , .

10. a) , если , .

б) , если , .

Решение типовых задач

Задание 1

Найти частные производные функции z (х; у), заданной уравнением

z = х ² y + у ² х + cos(2 x – 3 y).

 

Задание 2

Найти дифференциал второго порядка для функции

z = sin (3 x - y) + e ^{2 x + y} .

Задание 3

Выполнить дифференцирование сложных функций:

а)Найти производные и функции , если

б)Найти производную функции , если

Пример выполнения задания 1

 

Найдём частные производные функции, заданной уравнением

z = х ² y + у ² х + cos(2 x – 3 y).

Решение.

Дифференцируем функцию двух переменных z = z(x; y) по х.

Другая переменная у при этом считается постоянной величиной.

.

Дифференцируем функцию z по у, переменная х при этом считается постоянной величиной.

.

Ответ: ,

.

Пример выполнения задания 2

 

Найдём дифференциал второго порядка для функции

z = sin (3 x - y) + e ^{2 x + y} .

Решение.

Определяем первые и вторые частные производные , , , , и подставляем их в формулу дифференциала второго порядка:

;

;

;

;

Дифференциал второго порядка равен:

Ответ:

Пример выполнения задания 3

 

Выполним дифференцирование сложных функций.

а)Найдём производные и функции ,

если

Решение.

Частные производные и сложной функции ,

если , находят по формулам:

, .

Найдём частные производные и сложной функции ,

Подставим в формулы для нахождения и

 

.

 

Ответ: ; .

 

б)Найдём производную функции , если

Решение.

Пусть функция - дифференцируемая функция аргументов x и y, а x и y являются дифференцируемыми функциями аргумента t. Сложная функция также дифференцируема, и ее производная находится по формуле:

.

Найдём производную функции .

, ,

, .

Полученные производные подставим в формулу для нахождения .

.

 

Модуль 5

Интегральное исчисление функции одной переменной

Задачи для решения

Задание 1

 

Непосредственным интегрированием найти следующие интегралы:

 

 

Вариант № 1 Вариант № 2

1. ; 1. ;

2. ; 2. ;

3. ; 3. ;

4. . 4. .

 

 

Вариант № 3 Вариант № 4

1. ; 1. ;

2. ; 2. ;

3. ; 3. ;

4. . 4. .

 

 

Вариант № 5 Вариант № 6

1. ; 1. ;

2. ; 2. ;

3. ; 3. ;

4. . 4. .

 

Вариант № 7 Вариант № 8

1. ; 1.

2. ; 2.

3. ; 3.

4. . 4. .

 

Вариант № 9 Вариант № 10

1. ; 1. ;

2. ; 2. ;

3. ; 3. ;

4. ; 4. .

Задание 2

Проинтегрировать, выбрав нужный метод интегрирования.

 

Вариант № 1 Вариант № 2

1. ; 1. ;

2. ; 2. ;

3. ; 3. ;

4. . 4. .

 

Вариант № 3 Вариант № 4

 

1. ; 1. ;

2. ; 2. ;

3. ; 3. ;

4. . 4. .

 

Вариант № 5 Вариант № 6

 

1. ; 1. ;

2. ; 2. ;

3. ; 3. ;

4. . 4. .

Вариант № 7 Вариант № 8

 

1. ; 1. ;

2. ; 2. ;

3. ; 3. ;

4. . 4. .

 

Вариант № 9 Вариант № 10

1. ; 1. ;

2. ; 2. ;

3. ; 3. ;

4. . 4. .

 

Задание 3

Вычислить определённый интеграл.

Варианты

1. ; 2. ; 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9. 10.

 

Задание 4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Варианты.

1. ху = 6, х + у = 7; 6. у = 2 х – х ², у = 0;

 

2. у = 3 х – х ², у = 0; 7. у = 6 х – х ², у = 0;

 

3. ху = 8, х + у = 6; 8. у = 1 – х ², у = 0, х < 0;

 

4. у = 4 х – х ², у = 0; 9. у = 9 – х ², х >0, у = 0;

 

5. у = 4 – х ², у = 0, х > 0; 10. у = 25 – х ², у = 0, х <0.

 

Задание 5

По формулам трапеций и парабол (Симпсона) приближенно вычислить интеграл.

 

Варианты

1. , ; 6. , ;

2. , ; 7. , ;

3. , ; 8. , ;

4. , ; 9. , ;

5.,; 10.,.

Решение типовых задач

Задание 1

Непосредственным интегрированием найти следующие интегралы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 

Задание 2

Проинтегрировать, выбрав нужный метод интегрирования.

а) ;

б) ;

в) ;

Г).

 

Задание 3