Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Совокупность n дифференциальных уравнений вида

х'₁ + а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n = f₁(t),

x'₂ + а₂₁x₁ + а₂₂x₂ + … + а_2nx_n = f₂(t),

— — — — — — — — — — — —

x'_n + а_n1x₁ + а_n2x₂ + … + а_nnx_n = f_n(t).

где t – аргумент, x₁, x₂, …, x_n­ – неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Проинтегрировать эту систему, значит найти ее решение, т.е. систему функций x₁(t), x₂(t), …, x_n­(t), обращающих равенства в тождества.

Пример выполнения задания 3

Решим систему

Решение.

Данную систему решим методом исключения.

Исключаем х из данных уравнений. Из второго уравнения имеем:

х = (у' + 8 у – 5 е^-t).

Продифференцируем его по аргументу t:

х' = (у'' + 8 у' + 5 е^-t), и подставим в первое уравнение. После упрощения получим:

у'' + у' – 2 у = -4 е^-t (*).

Это линейное дифференциальное уравнение. Найдем его общее решение у = у₀ + ỹ.

Корни характеристического уравнения k ² + k – 2 = 0

k ₁ = 1, k ₂ = -2.

Общее решение однородного уравнения у₀ = С₁е^t + C₂e^-2t.

Частное решение неоднородного уравнения (*) ищем в виде

= Аe ^-t.

Найдем = - Ае ^-t, = Ае ^-t и подставим в уравнение (*). Получим А = 2, следовательно, =2 e ^-t.

у = С₁e^t + C₂e^-2t + 2e^-t. Определим х, пользуясь равенством

х = (у' + 8у – 5е^-t). Найдем у' = C₁e^t – 2C₂e^-2t – 2e^-t.

После подстановки у и у':

х = (C₁e^t – 2C₂e^-2t – 2e^-t + 8(C­₁e^t + C₂e^-2t + 2e^-t) – 5e^-t).

Упростив, получим х = 3С₁e^t + 2e^-2t + 3e^-t.

Общим решением данной системы будут функции:

х = 3С₁e^t + 2e^-2t + 3e^-t,

у = С₁е^t + C₂e^-2t + 2e^-t.

Модуль 8

Ряды

Задачи для решения

Задание 1

Исследовать на сходимость числовые ряды.

Варианты

1. а) ; б)

в) ; г) .

2. а) ; б)

в) ; г) .

 

3. а) ; б)

в) г) .

 

4. а) б)

в) г) .

 

5. а) б)

в) г) .

6. а) б)

в) г) .

7. а) б)

в) ; г) .

8. а) б)

в) г) .

9. а) б)

в) г) .

10. а) б)

в) г) .

 

Задание 2

Определить радиус и область сходимости степенных рядов.

Варианты

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

5. а) ; б) .

6. а) ; б) .

7. а) ; б) .

8. а) ; б) .

9. а) ; б) .

10. а) ; б) .

 

Задание 3

Разложить заданную функцию в ряд Фурье в интервале [-π; π].

 

Варианты

1. a)

 

б) f(x) = 2x на отрезке [0;2] по косинусам.

 

2. a)

б) f(x) = 1 – x на отрезке [0;1] по синусам.

 

3. a)

б) на отрезке [0;4] по косинусам.

 

4. a)

б) f(x) = x – 1 на отрезке [0;1] по косинусам.

 

 

5. a)

б) f(x) = 2 – 2 x на отрезке [0;1] по синусам.

 

6. а)

б) на отрезке [-5;0] по косинусам.

 

7. а)

б) f(x) = 3 – x, на отрезке [0;3] по синусам.

 

8. а)

б) f(x) = 1 – 2 x на отрезке [0;1/2] по косинусам.

 

9. а)

б) f(x) = -2 x на отрезке [0;1/2] по синусам.

 

10. а)

б) на отрезке [0;4] по косинусам.

 

Решение типовых задач

Задание 1

Исследовать на сходимость числовые ряды.

а) ;

б) +…;

в) .

 

Задание 2

Определить радиус и область сходимости степенного ряда .

 

Задание 3

Разложить функцию в ряд Фурье в интервале [-π; π].

 

Решение типовых задач

Сведения из теории

Числовые ряды

Числовым рядом называют сумму бесконечной числовой последовательности вида

= .

Числа называют членами ряда, u_n­ – общим членом ряда.

Конечная сумма S_n­ = называется n -ойчастичной суммой ряда.

Если существует конечный предел , ряд называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.