4
, :
xy = 3, y + x = 4.
5
()
3. ;
1. ;
2. , k ;
3. .
, , .
, :
, a ,
, a 0 , :
1
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.
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2
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3
.
.
.
.
: .
4
, :
xy = 3, y + x = 4.
.
.
.
=4 3 ln3 (2).
: S = 4 3 ln 3 (2).
5
() .
.
.
:
,
.
:
0 = 1,0 | 0=1,00000 | 6 = 1,6 | 6 = 0,62500 |
1=1,1 | 1=0,90909 | 7=1,7 | 7=0,58824 |
2=1,2 | 2=0,83333 | 8=1,8 | 8=0,55556 |
3=1,3 | 3=0,76923 | 9=1,9 | 9=0,52632 |
4=1,4 | 4=0,71429 | 10=2,0 | 10=0,50000 |
5=1,5 | 5=0,66667 |
:
, -, , , , .
6
|
|
1
D.
1. , D
2. , D
3. , D
4. , D
5. , D
6. , D
7. , D
8. , D
9. , D
10. , D
2
, .
.
1. 2+ 2 ≥ 1, 2 + 2 ≤ 4;
2. 2+ 2≥ 1, 2+ 2≤ 4; ≥ 0, ≥ 0;
3. 2+ 2 ≥ 1, 2 + 2 ≤ 9;
4. 2+ 2 ≥ 1, 2+ 2 ≤ 9; ≥ 0, ≥ 0;
5. 2+ 2 ≥ 4, 2+ 2 ≤ 9;
6. 2+ 2 ≥ 4, 2+ 2 ≤ 9; ≥ 0, ≥ 0;
7. 2+ 2 ≥ 9; 2+ 2 ≤ 16;
8. 2+ 2 ≥ 9, 2+ 2 ≤ 16; ≥ 0, ≥ 0;
9. 2+ 2 ≥ 4, 2+ 2 ≤ 16;
10. 2+ 2 ≥ 4, 2+ 2 ≤ 16; ≥ 0, ≥ 0.
3
, .
1. z = 4 - 2- 2, z = 0;
2. z =2+ 2+ 1, z = 5;
3. z = 2 + 2, z = 9;
4. z 2= 2 + 2, z = 2;
5. z = 2 + 2, z = 4;
6. z = 9 - 2- 2, z = 0;
7. z 2= 2 + 2, z = 3;
8. z =2+ 2+ 2, z = 6;
9. z = 5 - 2- 2, z = 1;
10. z = 7 - 2- 2, z = 3;
1
D.
) , D
= , = 2, =0.
) , D :
2+ 2 ≥ 1, 2+ 2 ≤ 4, .
2
, :
) = 2 + 1, = + 3;
) ρ = 2 sin φ, ρ = 4 sin φ.
3
, :
) z = 2 + 2, z = 1.
) + + z = 1, = 0, = 0, z = 0.
1
) D, = , = 2, = 0.
D .
: = 2.
) , D
2+ 2 ≥ 1,
2+ 2 ≤ 4, .
D.
D ,
.
:
. 2+ 2 = 1
D
.
: .
2
) , : = 2 + 1, = + 3.
.
D:
= 2 +1 = +3.
|
|
: (2).
) , , :
ρ = 2 sin φ, ρ = 4 sin φ.
.
ρ = 2 sin φ, ρ = 4 sin φ 2 4, (0,1) (0,2) . , :
: (2).
3
, z = 2 + 2, z = 1.
z = 1
z = 2 + 2. , .
: (3).
III
1. . . .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7.
8. .
9. . .
10. .
11. ( , , , , ).
12. . .
13. .
14. .
15. . .
16. 2π.
17. 2 l.
18. .
7
1
. , .
1. a) ;
) ;
) ' + y cos x = cos x, y (0) = -2;
)
2. ) y' ctg x + y = 2, y (0) = 1;
) 2 xy' (x 2 + y 2) = y (y 2 + 2 x 2);
) xy ' - x 2sin x = y;
) (2 y x + 3 y 2) d y + (3 x 2 2 x - y) dx = 0;
3. ) dx+ 2d = 0, y (4) = 1;
)
)
) 3 x 2 (1 + ln y) dx (2 y ) dy = 0;
4. ) y' tg x = y ln y, y () = ;
)
)
) (2 y - 3) dx + (2 x + 3 y 2) dy = 0;
5. ) (xy + ) dx - (x 2+1) dy = 0, y (1) = 0;
) xy' cos(y/x) = y cos(y/x) x;
) y ' cos x + y sin x = 1;
) (2 xy + 1) dx + (x 2- y 2)dy = 0;
6. )
)
) y' + y tg x = 2x cos x;
) 3 x 2 ey dx + (x 3 ey + 1) dy = 0;
7. ) xy' y 2 = 1; y (1) = 1;
)
) y' + 2 xy = ;
) e-ydx + (2 y xe-y) dy = 0;
8. ) 3 ex sin ydx (ex + 1) cos ydy = 0, y(0) = π/2;
)
)
) (12 x + 5 y 9) dx + (5 x + 2 y 4) dy = 0;
9. ) xy y' = 1 x 2, y (1) = 2;
)
)
) (x + ln y) dx + (1 + + sin y) dy = 0;
10. ) (xy 2 + x) dx + (x 2 y - y) dy = 0,
) x 3 ' = ( 2 + 2);
)
) .
2
.
1. ) '' + 7' + 10 = 0;
) '' + 12' + 36 = 0;
|
|
) 6'' + 5' + 2 = 0;
) '' + 4' = 9 + 5;
) '' + 8' + 15 = 2cos3x;
) '' + 9 = 52.
2. ) '' + 5' + 4 = 0;
) '' + 10' + 25 = 0;
) 2'' 5' + 6 = 0;
) '' + 9' = 2 + 1;
) '' + = 36;
) '' + 2' 3 = 4sin5x.
3. ) '' + 9' + 18 = 0;
) '' 2' + = 0;
) 3'' 5' + 3 = 0;
) '' + 10' = 6 2;
) '' + 4' = 25;
) '' + 3' 4 = 8 sin2x.
4. ) '' + 8' + 7 = 0;
) '' 8' + 16 = 0;
) 3'' + 5' + 3 = 0;
) '' + 4' = 3 + 5;
) '' + 16' = 3-4;
) '' + 4' 5 = 4cos2x.
5. ) '' + 10' + 21 = 0;
) '' + 6' + 9 = 0;
) 2'' 5' + 4 = 0;
) '' + 24' = 3 2;
) '' + 25 = 67;
) '' ' 2 = 5sin6x.
6. ) '' + 6' + 8 = 0;
) '' + 4' + 4 = 0;
) 5'' 4' + = 0;
) '' + 25' = 9 2;
) '' + 36' = 54;
) '' + 2' 8 = 4cos3x.
7. ) '' + 8' + 15 = 0;
) 3'' + 6' + 3 = 0;
) 3'' + 4' + 2 = 0;
) '' + 36' = 8 3;
) '' + 49 = 7-3;
) '' + 3' 10 = 5cos3x sin3x.
8. ) '' +' 6 = 0;
) 9'' 6' + = 0;
) '' + 4' + 5 = 0;
) '' + 49' = 5 + 4;
) '' + 64 = 8-2;
) '' ' 6 = 4sin2x + 3cos2x.
9. ) '' + 5' + 6 = 0;
) '' 6' + 9 = 0;
) '' + 4' + 8 = 0;
) '' + 8' = 6 + 2;
) '' + 81 = 53;
) '' 2' 3 = 5sin3x.
10. ) '' + 7' + 12 = 0;
) '' + 8' + 16 = 0;
) '' 4' + 20 = 0;
) '' +16' = 2 1;
) '' + 100 = 42;
) '' + ' 12 = 3cos2x.
3
.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
1
. , .
) (1 + 2) + (1 + 2) ' = 0, ;
) 2 x 2 dy = (x2 + y 2) d;
) ;
) 2 x cos2 ydx + (2 y x 2sin2 ) dy = 0, (0)=0.
2
.
) 2y'' + 5' + 2 = 0;
) '' + 6' + 13 = 0;
) '' 8' + 16 = 0;
) '' 5' + 6 = 13sin3x.
3
, , ' .
, ,
.
1- :
F(x,y,y') = 0, P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0.
= φ(), , , , .. F(x,φ(x),φ'(x)) = 0.
1- F(x,y,y') = 0 (x 0) = y 0. .
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
ƒ 1 (x)ƒ 2 (y)dx + q 1 (x)q 2 (y)dy = 0,
.
, , . , , .
y ' + p (x) y = q (x), p (x) q (x) x, .
|
|
, . . .
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 , U (x, y):
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = dU(x,y).
, : .
1
) (1 + 2) + (1 + 2) ' = 0 .
.
. :
.
:
,
.
,
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.
, :
,
,
( ),
.
:
.
, :
. : .
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.
)
2 x 2 dy = (x 2 + y 2) dx.
.
x 2, :
.
, : , .
.
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) .
.
, , y y '
:
,
.
, (*)
. (**)
:
, , , :
, .
V (**), :
,
, , .
:
.
) 2 x cos2 ydx + (2 y x 2sin2 )dy = 0 .
.
P(x,y) = 2x cos 2y, Q(x,y) = 2y x2 sin 2y.
, ,
, , .. U (x,y),
, U (x,y) c y:
.
(y), :
,
, : , , . , ().
(y) = y2 + C 1.
U (x,y) = x 2cos2 y + 2 + C 1.
: y 2 + x 2cos2 y = C.
, :
, , C = 0.
:
y 2 + x 2cos2 y = 0.