Произведением матрицы А на число a называется матрица 
, получаемая из А умножением всех ее элементов на число a:
Например, 
.
Произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е. 
. Матрица А не изменяется при умножении на единицу. Матрица (-1)А называется противоположной матрице А и обозначается –А.
Сложение матриц.
Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С=А+В, элементы которой определяются равенством 
(т.е. матрицы складываются поэлементно).
Например,
Линейные операции над матрицами обладают следующими свойствами:
1) А+В=В+А- коммутативность;
2) (А+В)+С=А+(В+С)- ассоциативность;
3) А+ 0 =А;
4) А+(-А)= 0;
5) a(A+B)=aА+aВ-дистрибутивность относительно матриц;
6) (a+β)A=aA+βA- дистрибутивность относительно чисел;
7) (aβ)А=a(βА)
Эти свойства справедливы для любых матриц А, В и С одинакового размера и любых a и β.
Произведение матриц.
Даны матрица А размером 
и матрица В размером 
, 
.
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица 
, каждый элемент с ij которой равен произведению i -ой строки матрицы А на j -ый столбец матрицы В. Умножение строки на столбец производится по формуле:
Отсюда видно, что умножать матрицу А на матрицу В можно только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом матрица С=А·В будет иметь размер 
, т.е. число строк m в ней равно числу строк первой матрицы в составе произведения А·В, а число столбцов n - числу столбцов второй матрицы. Это соотношение 
называют правилом размерностей.
Пример. Пусть 
, 
.
Произведение А·В здесь существует, так как 
, т.е. матрица А·В имеет размер 
.
.
Произведение В·А этих же матриц не определено, т.к. число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А. Уже из приведенного примера следует, что произведение матриц не коммутативно, т.е. А·В¹В·А в общем случае.
Однако, даже если произведения А·В и В·А существуют, равенство А·В=В·А может не выполняться.
Справедливы следующие свойства:
1. (А·В)·С=А·(В·С)
2. А·(В+С)=А·В+А·С
3. (А+В)·С=А·С+В·С
4. a(А·В)=(aА)·В=А·(aВ)
Предполагается, что матрицы А, В и С здесь имеют нужные размеры.
Транспонирование матриц.
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной относительно данной. Матрицу, транспонированную относительно матрицы А, обозначим через Ат. Таким образом, если
, то 
Отметим, что если А матрица размером 
, то матрица Ат имеет размеры 
. Операция нахождения матрицы, транспонированной к данной, называется транспонированием матрицы. Справедливы следующие свойства:
1. 
2. 
3. 
4. 
Определители.
Любой квадратной матрице А можно поставить в соответствие число, вычисляемое по определенному правилу и называемое определителем или детерминантом матрицы. В зависимости от порядка матрицы и определители называют соответственно определителями второго порядка, третьего порядка и т. д. Обозначают определители символами |А|, det А или
.
Последняя запись является определителем n-го порядка, отвечающим матрице
.
