Відповідь: а = 1,65 м/c2.
Приклад 4 На похилій площині, що утворює з горизонтом кут 
, знаходиться тіло масою 
= 2 кг (рис. 5). Тіло рухається вгору по похилій площині під дією зв'язаного з ним невагомою і нерозтяжною ниткою, перекинутою через блок, вантажу масою 
= 20 кг. Початкові швидкості тіла і вантажу дорівнюють нулю, коефіцієнт тертя тіла 
= 0,1. Визначити прискорення, з яким рухаються тіла, і силу натягу нитки. Блок вважати невагомим, тертям знехтувати.
 |
исунок 5 - Тіло на похилій площині
Розв'язання. На тіло , яке рухається по похилій площині, діє сила тяжіння 
, сила натягу нитки 
, сила
тертя 
і сила реакції опори 
. На вантаж діє сила тяжіння 
і сила натягу нитки 
. Тут 
– прискорення вільного падіння. Другий закон Ньютона (рівняння руху) для цих тіл буде мати вигляд
, (12)
, (13)
де 
, 
- прискорення руху тіл.
Із умови невагомості і нерозтяжності нитки та відсутності тертя випливає, що 
, 
.
Виберемо для тіла систему відліку хОу так, як показано на рисунку 5. Тоді рівняння руху цього тіла в проекціях на осі х і у запишеться так
, (14)
. (15)
Із співвідношення (15) знайдемо 
та підставимо у рівняння (14), врахувавши, що 
, тоді отримаємо
, (16)
де - коефіцієнт тертя.
Рівняння руху вантажу у проекції на вертикальну вісь 
має вигляд
. (17)
Розв'язавши систему рівнянь (16) та (17) відносно а, після простих перетворень отримаємо
. (18)
Знаючи а, підставивши співвідношення (18) у вираз (17) знайдемо силу натягу нитки
.
Після підстановки числових значень фізичних величин отримаємо
м/c2,
=28,2 Н.
Перевіримо розмірності отриманих величин
,
.
Відповідь: 
8,4 м/c2, 
28,2 Н.
Приклад 5 По дотичній до шківа маховика у вигляді диска діаметром D = 75 см і масою m = 40 кг прикладена сила F =1 кН (рис.6). Визначити кутове прискорення 
і частоту обертання n маховика через час t = 10 c після початку дії сили, якщо відстань, на якій прикладається сила (радіус шківа) дорівнює r = 12 см. Силою тертя знехтувати.
 |
Рисунок 6 – Обертання маховика під дією сили
Розв’язання. Запишемо для маховика основне рівняння динаміки обертального руху
M = Je, Þ e = 
, (19)
де e - кутове прискорення маховика; І – момент інерції; М – момент прикладеної сили.
Момент інерції диска дорівнює
, (20)
де 
– радіус диска; 
- його діаметр.
Момент сили F знайдемо зі співвідношення
М=Fd =Fr, (21)
де d – плече сили.
Підставивши співвідношення (20), (21) в (19), отримаємо
. (22)
Рух під дією сталої сили є рівноприскореним. Звідси кутова швидкість диска
.
За визначенням w=2pn, де 
- частота обертання диска. У результаті отримаємо
,
. (23)
Підставивши числові значення величин у співвідношення (22), (23), знайдемо остаточно
рад/с2,
с-1.
Перевіримо розмірності отриманих величин
,
.
Відповідь: e = 42,67 рад/с2; n = 67,9 с-1.
Приклад 6 Блок, що має форму диска масою m = 0,4 кг, обертається під дією сили натягу нитки, до кінців якої підвішені тягарці масами m1 = 0,3 кг і m2 = 0,7 кг (рис.7). Визначити сили натягу T1 і T2 нитки з обох сторін блока.
 |
Рисунок 7 – Рух зв’язаних тіл під дією сил
Розв’язання. Для розв’язання задачі скористаємося рівняннями обертального і поступального руху тіл. Оскільки m2>m1, то m2g>T2. Рівнодійна сил тяжіння і натягу нитки викликає рівноприскорений рух системи, при цьому обертання блока здійснюється за годинниковою стрілкою (рис.7). Для тіл, що рухаються поступально, можна записати другий закон Ньютона:
,
де - прискорення вільного падіння.
У проекціях на вісь x ці рівняння будуть мати вигляд
, (24)
х
, (25)
де - прискорення вільного падіння.
Згідно з основним рівнянням обертального руху, для блока отримаємо вираз
, (26)
де М – момент сил, прикладених до блока; J – момент інерції блока; e - кутове прискорення блока.
Визначимо обертальний момент сил. Врахуємо при цьому, що прискорення вантажів однакові 
. Сили натягу ниток діють не тільки на вантажі, але й на диск. За третім законом Ньютона сили 
і 
, що прикладені до блока, дорівнюють відповідно силам Т1 і Т2, але за напрямком протилежні їм. При русі вантажів блок прискорено обертається за годинниковою стрілкою, отже, 
. Для обертального моменту сил, що прикладені до блока, можна записати:
. (27)
Кутове прискорення блока пов’язане з лінійним прискоренням вантажів співвідношенням
. (28)
Підставивши вирази (26) та (28) у (27), отримаємо
. (29)
Момент інерції блока дорівнює
. (30)
Тоді
.
Після скорочення отримаємо
. (31)
Враховуючи, що 
, а 
, одержимо
. (32)
Розв’яжемо спільно систему трьох рівнянь (24), (25) і (32). З рівняння (24) а дорівнює
. (33)
Підставивши це рівняння у (25), отримаємо
або
. (34)
Підставивши дане рівняння у (32), знайдемо
. (35)
Після ряду перетворень співвідношення (35) визначимо T1
,
(36)
Підставивши даний вираз у (34), отримаємо
. (37)
Після підстановки числових значень величин у співвідношення (36) та (37), отримаємо кінцевий результат
Н,
Н.
Зрозуміло, що одиниця вимірювання отриманих величин - ньютон.
Відповідь: Т 1=1,96 Н; Т2 =9,15 Н.
Приклад 7 Човен довжиною 
=3 м і масою 
=120 кг стоїть на спокійній воді. На носі і кормі знаходяться два рибалки масою =60 кг і =90 кг (рис.8). На скільки зміститься човен відносно води, якщо рибалки поміняються місцями?
Розв’язання. Запишемо закон збереження імпульсу для механічної системи „рибалки-човен”. Врахуємо, що в початковий момент часу система знаходилась у стані спокою, а при русі рибалок зі швидкістю u відносно човна почнеться його
рух зі швидкістю u відносно дна озера. У вибраній системі
 | |||
 |
Рисунок 8 – Зміщення човна при русі рибалок
відліку(відносно землі) закон збереження імпульсу має вигляд
. (38)
У проекції на вісь х співвідношення (38) запишеться так
.
Розв’яжемо це рівняння відносно u:
,
,
,
.
Помноживши обидві частини цього рівняння на час руху t, визначимо зміщення човна
,
але 
; 
.
Звідси
. (39)
Після підстановки числових значень величин у співвідношення (39) знайдемо х
м.
Знак мінус свідчить про те, що переміщення відбулося в напрямку, протилежному напрямку осі x.
Відповідь: х = 0,33 м.
Приклад 8 Куля масою =1 кг рухається зі швидкістю 
=4 м/с і зіштовхується з кулею масою =2 кг, що рухається назустріч їй зі швидкістю 
=3 м/с (рис.9). Які швидкості 
і 
куль після удару? Удар вважати абсолютно пружним, прямим, центральним.
 |
Рисунок 9 – Швидкості куль до та після пружного удару
Розв’язання. При пружному центральному ударі справедливі закони збереження імпульсу і механічної енергії. Запишемо їх для даної системи:
(40)
Спроектуємо рівняння (40) на вісь х
(41)
Розв’яжемо спільно систему рівнянь (41)
(42)
(43)
Розділивши друге співвідношення на перше, отримаємо таку систему рівнянь
. (44)
Визначивши u1 з першого рівняння і підставивши його у друге, одержимо
. (45)
Після ряду перетворень співвідношень (45) знайдемо u2:
,
,
. (46)
Підставивши дане рівняння у (45), отримаємо
. (47)
Підставивши числові значення величин у вирази (46) та (47), отримаємо відповідь
м/с,
м/с.
Видно, що одиниця вимірювання отриманих величин - м/с.
Відповідь: u 1 = 5,33 м/с; u 2 = 1,67 м/с.
Приклад 9 По горизонтальній площині котиться диск зі швидкістю 
= 8 м/c (рис.10). Визначити коефіцієнт опору, якщо диск зупинився, пройшовши шлях S = 18 м.
 |
Рисунок 10 – Рух диска під дією сили тертя
Розв’язання. Для розв’язання задачі скористаємось законом збереження енергії. У точці А (рис.10) тіло має кінетичну енергію Ek, яка складається з енергії поступального та обертального руху. У точці В ця енергія дорівнює 0. Кінетична енергія витрачається на виконання роботи проти неконсервативних сил (сили тертя 
)
, (48)
, (49)
де 
- момент інерції диска; 
- його кутова швидкість.
Робота, що здійснюється тілом, дорівнює
А=-FS=-mmgS, (50)
де - коефіцієнт тертя.
Підставивши співвідношення (49) і (50) в (48), отримаємо
. (51)
Для диска момент інерції дорівнює
, (52)
де 
- радіус диска.
Кутову швидкість обертання диска знайдемо із співвідношення
. (53)
Звідси, підставивши вирази (31) і (32) у (30), отримаємо
. (54)
Після ряду перетворень це співвідношення набуде вигляду
. (55)
Із виразу (55) знайдемо m:
. (56)
Після підстановки числових значень величин у (56) отримаємо
.
Перевіримо одиниці отриманої величини
.
Відповідь: m = 0,27.
Приклад 10 Платформа у вигляді суцільного диска радіусом R =1,5 м і масою =180 кг обертається навколо вертикальної осі з частотою n =10 хв-1. У центрі платформи стоїть людина масою = 60 кг. Яку лінійну швидкість відносно підлоги приміщення матиме людина, якщо вона перейде на край платформи (рис.11)?
 |
Рисунок 11 – Рух системи платформа-людина до і після переміщення людини
Розв’язання. Згідно з умовою задачі, момент зовнішніх сил відносно осі обертання z, що збігається з геометричною віссю платформи, можна вважати таким, що дорівнює нулю. За цієї умови проекція 
моменту імпульсу системи платформа - людина залишається сталою:
(57)
де 
- момент інерції платформи з людиною відносно осі z; - кутова швидкість платформи.
Момент інерції системи дорівнює сумі моментів інерції тіл, що входять до складу системи, тому в початковому стані 
а в кінцевому стані 
.
З урахуванням цього співвідношення (57) набуде вигляду
(58)
де значення моментів інерції 
і 
платформи і людини відповідно відносяться до початкового стану системи; 
і 
- до кінцевого.
Момент інерції платформи відносно осі z під час переходу людини не змінюється: 
Момент інерції людини відносно тієї самої осі буде змінюватися. Якщо розглядати людину як матеріальну точку, то її момент інерції в початковому стані (в центрі платформи) можна вважати таким, що дорівнює нулю. В кінцевому стані (на краю платформи) момент інерції людини дорівнює 
. Врахуємо, що 
, а 
, де - частота обертання платформи; - швидкість людини відносно підлоги.
Підставимо у формулу (58) вирази для моментів інерції, початкової кутової швидкості обертання платформи з людиною і кінцевої кутової швидкості:
Після скорочення на 
і простих перетворень знаходимо швидкість
(59)
Після підстановки числових значень фізичних величин у співвідношення (59) проведемо обчислення
Перевіримо розмірність отриманої величини
.
Відповідь: 
Приклад 11 На лаві Жуковського стоїть людина і тримає в руках стрижень вертикально вздовж осі лави. Лава з людиною обертається з кутовою швидкістю w1 = 4 рад/с (рис.12). З якою швидкістю w2 почне обертатися лава, якщо людина поверне стрижень так, що він набуде горизонтального положення. Сумарний момент інерції людини і лави J = 5 кг×м2. Довжина стрижня l = 1,8 м, його маса m = 6 кг. Вважати, що центр мас стрижня з людиною знаходиться на осі платформи.
 |
Рисунок 12 – Рух системи платформа-людина до і після зміни положення стрижня
Розв’язання. Для розв’язання задачі скористаємося законом збереження моменту імпульсу відносно осі z, навколо якої відбувається обертання:
, (60)
де J1 та J2 – моменти інерції системи в початковий та кінцевий моменти часу; w1, w2 – відповідні кутові швидкості.
Момент інерції системи дорівнює сумі моментів інерції тіл, що входять в систему:
J1=J+J1′, (61)
J2=J+ J2′, (62)
де J, J1′, J2 – моменти інерції людини та лави до та після повороту стрижня.
Врахуємо, що
J1¢= 0; J2¢= 
. (63)
Після підстановки виразів (61) - (63) в (60) отримаємо
.
Звідси
. (64)
Після підстановки числових значень фізичних величин у співвідношення (64) знайдемо
рад/с.
Видно, що одиниця отриманої величини - рад/с.
Відповідь: w2 =3,02 рад/с.
Приклад 12 Однорідний стрижень довжиною 
м і масою M = 0,7 кг підвішений на горизонтальній осі, що проходить через верхній кінець стрижня. В точку, що знаходиться на відстані 
, абсолютно пружно вдаряє куля масою 
г, що летить перпендикулярно до стрижня і його осі. Після удару стрижень відхилився на кут 
(рис.13). Визначити швидкість кулі.
Розв’язання. Запишемо закон збереження моменту імпульсу для системи „куля-стрижень”. Оскільки 
і удар абсолютно пружний, будемо вважати, що швидкість кулі до і після удару 
однакова за модулем. Тоді можна записати
 |
Рисунок 13 – Взаємодія стрижня з кулею
, (65)
де – кутова швидкість стрижня; 
- його момент інерції відносно точки О.
З урахуванням того, що 
, співвідношення набуде вигляду
. (66)
Скористаємося законом збереження енергії. У нижній точці стрижень має кінетичну енергію, у верхній – потенціальну, тобто:
. (67)
З рисунка видно, що
. (68)
Підставивши даний вираз у (62), отримаємо
або після скорочення та простих перетворень
,
,
. (69)
Підставимо рівняння (69) в (66) і розв’яжемо отримане співвідношення відносно :
(70)
Підставивши в рівняння (70) числові значення величин, отримаємо кінцевий результат
м/с.
Перевіримо розмірність отриманої величини
.
Відповідь: u = 134 м/с.
Приклад 13 У балоні об’ємом V =10 л знаходиться гелій під тиском 
- 1 МПа при температурі 
= 300 К. Після того як з балона було узято m = 10 г гелію, температура в балоні знизилася до 
= 290 К. Визначити тиск 
гелію, що залишився в балоні.
Розв’язання. Для розв’язання задачі скористаємося рівнянням Менделєєва-Клапейрона, застосувавши його до кінцевого стану газу:
(71)
де - маса гелію в балоні в кінцевому стані; - молярна маса гелію; R - молярна газова стала.
З рівняння (71) знайдемо тиск газу
(72)
Масу гелію визначимо через масу , що відповідає його початковому стану, і масу m гелію, узятого з балона:
. (73)
Масу гелію також знайдемо з рівняння Менделєєва - Клапейрона, застосувавши його до початкового стану газу
. (74)
Підставивши вираз маси в (73), а потім вираз в (72), знайдемо
або
(75)
Після підстановки числових значень фізичних величин отримаємо
Па.
Перевіримо розмірність одержаної величини. Для цього в праву частину виразу замість символів величин підставимо їх одиниці. У правій частині співвідношення маємо два доданки. Очевидно, що перший із них дає одиницю тиску, оскільки складається з двох множників, перший з яких ((
) – безрозмірний, а другий – тиск. Перевіримо другий доданок:
Відповідь: 
Па.
Приклад 14 При адіабатичному стисканні тиск повітря збільшився від P1 = 50 кПа до P2 = 0,5 МПа. Потім при незмінному об’ємі температура повітря була знижена до початкової (рис.14). Визначити тиск газу P3 у кінці процесу.
Розв’язання. У випадку адіабатного процесу параметри системи змінюються у відповідності до рівняння
, (76)
де 
- стала Пуассона.
Рисунок 14 – Зміна параметрів газу при термодинамічному процесі
Теплоємності при сталому тиску СP і об’ємі СV дорівнюють у випадку двохатомного газу(і =5)
, (77)
, (78)
де i – число ступенів вільності молекули газу; R - газова стала.
Звідси 
.
Другий процес є ізохорним, у цьому випадку
Þ 
. (79)
Рівняння (76) перепишемо з використанням закону Менделєєва-Клапейрона
,
. (80)
Підставивши вираз (80) в (79), отримаємо
. (81)
Підставивши в дане співвідношення числові значення фізичних величин, отримаємо
Па.
Видно, що отримана величина має розмірність - Па.
Відповідь: Р3 =0,52 Па.
Приклад 15 Визначити роботу 
, яку виконує азот, якщо йому при сталому тиску надати кількість теплоти 
=21 кДж. Знайти також зміну 
внутрішньої енергії газу.
Розв’язання. У випадку ізобаричного процесу P =const перший закон термодинаміки має вигляд
.
Кількість теплоти, робота газу та його внутрішня енергія визначаються за формулами:
, (82)
, (83)
, (84)
де R - газова стала; - маса газу; - молярна маса; СР, СV – теплоємність газу при сталому тиску і об’ємі.
Знайдемо відношення А до DQ і DU до DQ:
, (85)
. (86)
У випадку двохатомного газу число ступенів вільності молекули газу і =5, звідси:
, (87)
. (88)
З урахуванням співвідношень (87) та (88) вирази (85), (86) набудуть вигляду
, (89)
. (90)
Із рівнянь (89) і (90) отримаємо
, 
. (91)
Підставивши у (91) значення фізичних величин, отримаємо:
Дж,
Дж.
Відповідь: А = 6×103 Дж; D Q = 15×103 Дж.
Приклад 16 Яку роботу треба виконати при видуванні мильної бульбашки, щоб збільшити її об’єм від 
см 
до 
16 см (рис.15)? Вважати процес ізотермічним.
 |
Рисунок 15 - Зміна об’єму мильної бульбашки в процесі її роздування
Розв’язання. Робота, яка здійснюється при видуванні мильної бульбашки, йде на приріст енергії її поверхні:
А=Е2-Е1 , (92)
де Е1, Е2 – енергія у кінцевому та початковому станах бульбашки.
У мильної бульбашки є дві поверхні – зовнішня та внутрішня, площі яких майже однакові через малу товщину мильної плівки, тому вільна енергія поверхні (внутрішньої та зовнішньої разом) мильної бульбашки дорівнює
Е1=2sS1, (93)
E2=2sS2, (94)
де s - коефіцієнт поверхневого натягу; S1, S2 – площа поверхні бульбашки в початковий момент і в кінці процесу.
Врахуємо, що площа поверхні сфери дорівнює
S1=4pr12, (95)
S2=4pr22, (96)
де r1 та r2 - радіуси бульбашок на початку та в кінці процесу.
Відповідні радіуси бульбашок знайдемо, знаючи, що об’єм
, Þ 
, (97)
,Þ 
. (98)
З урахуванням співвідношень (92)-(98) отримаємо
. (99)
Підставивши числові значення фізичних величин в співвідношення (95), отримаємо
= 
Дж.
Перевіримо розмірність фізичної величини.
.
Відповідь: А = 0,9×10-2 Дж.
Приклад 17 Три точкові заряди 
нКл розташовані у вершинах рівностороннього трикутника (рис.16). Який заряд 
потрібно помістити в центрі трикутника, щоб система зарядів знаходилася в рівновазі?
Рисунок 16 – Умова рівноваги системи зарядів
Розв’язання. Всі три заряди, розташовані у вершинах трикутника, знаходяться в однакових умовах. Тому достатньо розглянути умову рівноваги будь-якого з трьох зарядів, наприклад 
. Заряд буде знаходитися в рівновазі, якщо векторна сума сил, що діють на нього, дорівнює нулю (рис.16):
(100)
де 
- сили, з якими відповідно діють на заряд заряди 
; 
- рівнодійна сил 
і 
.
Оскільки сили і 
направлені за однією прямою у протилежні сторони, векторну рівність (100) можна замінити скалярною: F - 
= 0, звідки = F. Виразимо в останньому співвідношенні F через 
і 
. Враховуючи, що = 
, отримаємо
.
