Реальні гази. Капілярні явища

1 Рівняння Ван-дер-Ваальса для одного моля газу

для довільної кількості речовини v газу

де a і b – сталі Ван-дер-Ваальса (розраховані на один моль газу); V — об’єм, що займає газ; V_m - молярний об’єм; Р - тиск газу на стінки посудини.

, або - внутрішній тиск, зумовлений силами взаємодії молекул.

2 Зв’язок критичних параметрів - об’єму, тиску і температури газу зі сталими a і b Ван-дер-Ваальса

, , .

3 Внутрішня енергія реального газу

де C_V – молярна теплоємність газу при сталому об’ємі.

4 Коефіцієнт поверхневого натягу

де F – сила поверхневого натягу, що діє на контур l, який обмежує поверхню рідини, або

де ΔE – зміна вільної енергії поверхневої плівки рідини при зміні площі ΔS поверхні цієї плівки.

5 Формула Лапласа в загальному випадку

де Р – тиск, який створює вигнута поверхня рідини; σ – коефіцієнт поверхневого натягу; R₁ і R₂ - радіуси кривини двох взаємно перпендикулярних перерізів поверхні рідини.

Якщо поверхня сферична,

6 Висота, на яку піднімається рідина в капілярній трубці,

де q – крайовий кут; R – радіус каналу трубки; ρ – густина рідини; g – прискорення вільного падіння.

7 Висота, на яку піднімається рідина між двома близькими паралельними площинами,

Де d – відстань між площинами.

Електричне поле у вакуумі

1 Закон Кулона

де F – сила взаємодії двох точкових зарядів Q₁ та Q₂; r - відстань між зарядами; ε - діелектрична проникність середовища; ε₀ - електрична стала,

2 Закон збереження заряду

де – алгебраїчна сума зарядів, що входять до ізольованої системи; n - кількість зарядів.

3 Напруженість електричного поля

де – сила, що діє на точковий заряд Q, який поміщений в дану точку поля.

Сила, що діє на точковий заряд Q, розміщений в електричному полі, дорівнює

4 Потік вектора напруженості електричного поля:

а) через довільну поверхню S, яка поміщена в неоднорідне поле,

, або ,

де α – кут між вектором напруженості і нормаллю до елемента поверхні; dS – площа елемента поверхні; E_n – проекція вектора напруженості на нормаль;

б) через плоску поверхню, яка поміщена в однорідне електричне поле,

Потік вектора напруженості через замкнену поверхню S

де інтегрування ведеться по всій поверхні.

5 Теорема Гауса в інтегральній формі. Потік вектора напруженості електричного поля через будь-яку замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, що обмежуються цією поверхнею, поділеній на .

де - алгебраїчна сума зарядів, що містяться в цій замкненій поверхні; n – кількість зарядів.

Теорема Гауса у диференціальній формі

де - об’ємна густина заряду, у даній точці простору; Q, V – відповідно заряд та об’єм цієї області.

6 Напруженість електричного поля точкового заряду Q на відстані r від заряду,

7 Напруженість електричного поля металевої сфери радіуса R, що має заряд Q, на відстані r від центра сфери:

- всередині сфери (r < R) …………… E = 0,

- на поверхні сфери (r = R) ……. ,

- поза сферою (r > R) …………… .

8 Принцип суперпозиції (накладання) електричних полів: напруженість результуючого поля, створеного двома (і більше) точковими зарядами, дорівнює векторній (геометричній) сумі напруженостей полів, створених у даній точці окремими зарядами:

У випадку двох електричних полів з напруженостями і абсолютне значення вектора напруженості дорівнює

де α – кут між векторами ₁ і ₂.

9 Напруженість поля, створеного нескінченно довгою рівномірно зарядженою ниткою (або циліндром) на відстані r від її осі,

,

де τ – лінійна густина заряду.

У випадку циліндра радіусом формула справедлива при . При - .

Лінійна густина заряду - це величина, яка дорівнює відношенню заряду, розподіленому вздовж нитки, до довжини нитки (циліндра):

.

10 Напруженість поля, яке створює нескінченна рівномірно заряджена площина,

,

де σ – поверхнева густина заряду.

Поверхнева густина заряду - це величина, яка дорівнює відношенню заряду, розподіленого по поверхні, до площі цієї поверхні:

.

11 Напруженість поля, що створюється двома паралельними нескінченними рівномірно і різнойменно зарядженими площинами, з однаковою за абсолютним значенням поверхневою густиною σ заряду (поле плоского конденсатора)

.

Наведена формула справедлива для обчислення напруженості поля між пластинами плоского конденсатора (в середній його частині) лише в тому випадку, якщо відстань між пластинами значно менша лінійних розмірів пластин конденсатора.

12 Циркуляція вектора напруженості електричного поля - це величина, яка чисельно дорівнює роботі по переміщенню одиничного точкового позитивного заряду по замкненому контуру. Циркуляція визначається інтегралом по замкнутому контуру , де E_l – проекція вектора напруженості в даній точці контуру на напрямок дотичної до контуру в тій самій точці.

У випадку електростатичного поля циркуляція вектора напруженості дорівнює нулю:

.

13 Потенціал електричного поля - це величина, що дорівнює відношенню потенціальної енергії заряду, який поміщений у дану точку поля, до величини цього заряду

,

або потенціал електричного поля - це величина, яка дорівнює відношенню роботи сил поля по переміщенню точкового позитивного заряду із даної точки поля у нескінченність до величини цього заряду:

.

14 Потенціал електричного поля у нескінченності умовно взятий за нуль. При переміщенні заряду в електричному полі робота A_з.с зовнішніх сил дорівнює за абсолютним значенням роботі А_с.п сил поля і протилежна їй за знаком:

.

15 Потенціал електричного поля, створюваного точковим зарядом Q на відстані r від заряду,

.

16 Потенціал електричного поля, створюваного металевою сферою радіуса R, яка несе заряд Q, на відстані r від центру сфери:

- в середині сфери (r < R) ,

- на поверхні сфери (r = R) ,

- поза сферою (r > R) .

17 Потенціал електричного поля, створеного системою n точкових зарядів, в даній точці за принципом суперпозиції електричних полів дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів φ₁, φ₂..., φ_n, створених окремими точковими зарядами Q ₁, Q ₂,..., Q_n:

.

18 Енергія E взаємодії системи точкових зарядів Q ₁, Q ₂,..., Q_n визначається роботою, яку ця система зарядів може здійснити за умови віддалення їх один відносно одного у нескінченність, і визначається формулою

,

де φ_i – потенціал поля, яке створюється усіма n-1 зарядами (за винятком i -го) у точці, де розміщений заряд Q_i.

19 Потенціал пов’язаний із напруженістю електричного поля співвідношенням

.

Для електричного поля із сферичною симетрією цей зв’язок має вигляд

,

або, в скалярній формі,

,

а у випадку однорідного поля, тобто поля, напруженість якого у кожній точці однакова як за абсолютним значенням, так і за напрямком,

,

де φ₁ і φ₂ – потенціали точок двох еквіпотенціальних поверхонь; d – відстань між цими поверхнями вздовж електричної силової лінії.

20 Робота, що здійснюється електричним полем при переміщенні точкового заряду Q із однієї точки поля з потенціалом φ₁, в іншу з потенціалом φ₂,

, або ,

де E_l – проекція вектора напруженості на напрямок переміщення; dl – переміщення.

Для однорідного поля остання формула набуває вигляду

,

де – переміщення; α – кут між напрямами вектора і переміщення .

12 Електричне поле у діелектриках

1 Диполь – це система двох точкових, рівних за модулем і протилежних за знаком зарядів, які розміщені на деякій відстані один від одного.

Електричний момент диполя - це вектор, напрямлений від негативного заряду до позитивного, який дорівнює добутку заряду | Q | на вектор , що проведений від негативного заряду до позитивного і має назву “плече диполя”, тобто

.

Диполь має назву точкового, якщо плече l диполя значно менше відстані r від центра диполя до точки, у якій визначається дія диполя (l << r).

2 Напруженість поля точкового диполя

,

де – електричний момент диполя; r – абсолютне значення радіуса-вектора, який проведений від центра диполя до точки, в якій визначається напруженість поля; α – кут між радіусом-вектором та плечем диполя.

Напруженість поля точкового диполя у точці, яка лежить на осі диполя (α = 0),

,

а в точці, яка лежить на перпендикулярі до плеча диполя, що проведений із його середини (α = π/2),

.

3 Потенціал поля точкового диполя

.

Потенціал поля точкового диполя в точці, яка лежить на осі диполя (α = 0),

,

а в точці, яка лежить на перпендикулярі до плеча диполя, що проведений із його середини (α = π/2),

.

Напруженість і потенціал неточкового диполя визначаються так само, як для системи зарядів.

4 Механічний момент, який діє на диполь з електричним моментом , поміщений в однорідне електричне поле з напруженістю ,

, або ,

де α – кут між напрямками векторів та .

У неоднорідному електричному полі, окрім механічного моменту (пари сил), на диполь діє ще деяка сила. У випадку поля, яке має симетрію відносно осі x, ця сила визначається співвідношенням

,

де - часткова похідна напруженості поля, яка характеризує ступінь неоднорідності поля у напрямку осі x.

При α >π/2 сила F_x позитивна. Це означає, що під її дією диполь втягується в область сильного поля.

5 Поляризованість діелектрика

,

де V – об’єм діелектрика; p_i - дипольний момент i –ї молекули.

Зв’язок між поляризованістю діелектрика і напруженістю електростатичного поля

,

де - діелектрична сприйнятливість речовини.

Зв’язок діелектричної проникності з діелектричною сприйнятливістю

.

Зв’язок між напруженістю Е поля в діелектрику і напруженістю Е₀ зовнішнього поля

.

Електричне зміщення пов’язане з напруженістю електричного поля співвідношенням

.

Це співвідношення справедливе лише для ізотропних діелектриків.

6 Потік вектора електричного зміщення визначається аналогічно потоку вектора напруженості електричного поля:

- у випадку однорідного поля

;

- у випадку неоднорідного поля і довільної поверхні

,

де D_n – проекція вектора на напрямок нормалі до елемента поверхні, площа якої дорівнює d S.

7 Теорема Гауса. Потік вектора електричного зміщення через будь-яку замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі сторонніх зарядів, які містяться всередині цієї поверхні:

,

де n – кількість сторонніх зарядів (як додатних, так і від’ємних), що знаходяться всередині замкненої поверхні.

13 Провідники в електричному полі

1 Електроємність ізольованого провідника або конденсатора

,

де dQ – заряд, переданий провіднику (конденсатору); dφ – зміна потенціалу, яка викликана цим зарядом.

2 Електроємність ізольованої провідникової сфери радіусом R, яка поміщена у нескінченне середовище з діелектричною проникністю ε,

.

Якщо сфера порожня і заповнена діелектриком, то електроємність її від цього не змінюється.

3 Електроємність плоского конденсатора

,

де S – площа кожної з пластин; d – відстань між ними;

ε – діелектрична проникність діелектрика, який заповнює простір між пластинами.

Електроємність плоского конденсатора, який заповнений n шарами діелектрика товщиною d_i кожний, діелектричні проникності яких ε_i (шаруватий конденсатор),

_.

4 Електроємність сферичного конденсатора (дві концентричні сфери радіусами R₁ і R₂, простір між якими заповнено діелектриком з діелектричною проникністю ε)

.

5 Електроємність циліндричного конденсатора (два коаксіальних циліндри довжиною l і радіусами R₁ і R₂, простір між якими заповнено діелектриком з діелектричною проникністю ε)

.

6 Електроємність послідовно з’єднаних конденсаторів:

- у загальному випадку ,

де n – кількість конденсаторів;

- у випадку двох конденсаторів ;

- у випадку n однакових конденсаторів з електроємністю C₁ кожний .

7 Електроємність паралельно з’єднаних конденсаторів:

- в загальному випадку ,

де n – кількість конденсаторів;

- у випадку двох конденсаторів ;

- у випадку n однакових конденсаторів з електроємністю C₁ кожний .

14 Енергія електричного поля

1 Енергія зарядженого провідника пов’язана із зарядом Q, потенціалом φ та електроємністю C провідника співвідношеннями:

2 Енергія зарядженого конденсатора

де C – електроємність конденсатора; U – різниця потенціалів на його пластинах.

3 Об’ємна густина енергії (енергія електричного поля, що припадає на одиницю об’єму)

де – напруженість електричного поля в середовищі з діелектричною проникністю ε; – електричне зміщення.

16 Електричний струм

1 Сила постійного струму

де Q – заряд, що пройшов через поперечний переріз провідника за час t.

2 Густина електричного струму - це векторна величина, яка дорівнює відношенню сили струму до площі S поперечного перерізу провідника

де – одиничний вектор, який за напрямком збігається з напрямком руху позитивних носіїв заряду.

3 Опір однорідного провідника

де ρ – питомий опір речовини провідника; l – його довжина.

4 Провідність W провідника і питома провідність s речовини

, .

5 Залежність питомого опору від температури

де ρ і ρ₀ – питомі опори відповідно при t і 0⁰ С; t – температура (за шкалою Цельсія); α – температурний коефіцієнт опору.

6 Опір з’єднаних провідників:

- послідовно ;

- паралельно ,

де R_i – опір i -го провідника; n – кількість провідників.

7 Закон Ома в інтегральній формі:

- для неоднорідної ділянки кола ;

- для однорідної ділянки кола ( = 0) ;

- для замкненого кола (φ₁ = φ₂) ,

де (φ₁ - φ₂) – різниця потенціалів на кінцях ділянки кола; – ЕРС джерел струму, що входять у цю ділянку; U – напруга на ділянці кола; R – опір кола (дільниці кола); – EPC усіх джерел струму у колі.

8 Правила Кірхгофа

Перше правило: алгебраїчна сума сил струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю, тобто

де n – кількість струмів, що сходяться у вузлі.

Вузол – це точка кола, куди сходяться більше двох провідників.

Друге правило: у замкненому контурі алгебраїчна сума напруг на всіх ділянках контуру дорівнює алгебраїчній сумі електрорушійних сил, тобто

де I_i – сила струму на i -й ділянці; R_i – активний опір на i -й ділянці; – EPC джерел струму на i -й ділянці; n – кількість ділянок, що містять активний опір; k – кількість ділянок, що містять джерела струму.

9 Робота, яка здійснюється електростатичним полем і сторонніми силами на ділянці кола постійного струму за час t,

10 Потужність струму

11 Закон Джоуля-Ленца

де Q –кількість теплоти, що виділяється на ділянці кола за час t.

Закон Джоуля-Ленца має місце за умови, що ділянка кола нерухома і в ній не здійснюються хімічні перетворення.

12 Густина струму , середня швидкість < > впорядкованого руху носіїв заряду та їх концентрація n пов’язані співвідношенням

де e – елементарний заряд.

13 Закон Ома у диференціальній формі

де s – питома провідність провідника; – напруженість електричного поля.

14 Закон Джоуля-Ленца у диференціальній формі

де ω – об’ємна густина теплової потужності.

15 Формула Річардсона-Дешмана

де - густина струму насичення термоелектронної емісії; С – стала, теоретично однакова для всіх металів: А - робота виходу електронів з металу.

15 Закони електролізу Фарадея.

Перший закон

де m – маса речовини, що виділилася на електроді під час проходження через електроліт електричного заряду Q; k – електрохімічний еквівалент речовини.

Другий закон

де F – стала Фарадея (F = 96,5 кКл/моль); m – молярна маса іонів даної речовини; Z – валентність іонів.

Об’єднаний закон

де I – сила струму, що проходить через електроліт; t – час, протягом якого проходить струм.

16 Рухливість іонів

де < > - середня швидкість впорядкованого руху іонів;

E – напруженість електричного поля.

17 Закон Ома у диференціальній формі для електролітів і газів при самостійному розряді в області, яка далека від насичення,

де Q – заряд іона; n – концентрація іонів; b₊ і b_- - рухливість відповідно позитивних і негативних іонів.

18 Густина струму насичення

де n₀ – кількість пар іонів, що створює іонізатор у одиниці об’єму за одиницю часу; d – відстань між електродами (, де N – кількість пар іонів, що створює іонізатор за час t у просторі між електродами; V – об’єм цього простору).