Додавання коливань. Загасаючі коливання

1 Амплітуда результуючого коливання, отриманого при додаванні двох коливань з однаковими частотами, що відбуваються за однією прямою, визначається за формулою

де A₁ і A₂ - амплітуди складових коливань.

2 Початкову фазу результуючого коливання можна знайти із формули

3 Частота биття, що виникає при додаванні двох коливань, які відбуваються за однією прямою з різними, але близькими за значенням частотами v₁ і v₂,

4 Рівняння траєкторії точки, яка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях з амплітудами A₁ і A₂ і початковими фазами ₁ і ₂,

Якщо початкові фази j₁ і складових коливань однакові, тобто їх різниця фаз дорівнює нулю, результуючий рух точки відбувається по прямій, що проходить через початок координат

Якщо різниця фаз коливань = дорівнює нулю рівняння траєкторії набуває вигляду

тобто точка рухається по еліпсу, зведеному до координатних осей, у напрямі за годинниковою стрілкою або проти неї. Якщо , еліпс вироджується в коло.

5 Диференціальне рівняння загасаючих коливань

, або ,

де r - коефіцієнт опору; - коефіцієнт загасання (); - власна циклічна частота коливань ().

6 Рівняння загасаючих коливань (розв’язання диференціального рівняння)

де A(t) - амплітуда загасаючих коливань в момент t; - їх циклічна частота.

7 Циклічна частота загасаючих коливань

8 Залежність амплітуди загасаючих коливань від часу

де A₀ - амплітуда коливань у момент t = 0.

9 Логарифмічний декремент коливань

де A(t) і A(t+T) - амплітуди двох послідовних коливань, віддалених за часом одне від одного на період.

10 Диференціальне рівняння вимушених коливань

, або ,

де - зовнішня періодична сила, яка діє на матеріальну точку, що коливається, і викликає вимушені коливання; F₀ - її амплітудне значення; .

11 Амплітуда вимушених коливань

12 Резонансна частота і резонансна амплітуда

і .

Хвилі

1 Рівняння плоскої хвилі

або ,

де (x,t) - зміщення точок середовища з координатою x в момент t; - циклічна частота; х - швидкість поширення коливань в середовищі (фазова швидкість); k - хвильове число (, – довжина хвилі).

2 Довжина хвилі пов’язана з періодом T і частотою v співвідношеннями

і .

3 Різниця фаз коливань двох точок середовища, відстань між якими (різниця ходу) дорівнює x,

де - довжина хвилі.

4 Рівняння стоячої хвилі

або .

5 Фазова швидкість поздовжніх хвиль у пружному середовищі:

- у твердих тілах

де E - модуль Юнга; - густина речовини;

- у газах

, або ,

де - показник адіабати ( - відношення питомих теплоємкостей газу при сталих значеннях тиску та об’єму); R - газова стала; T - термодинамічна температура; m - молярна маса; Р - тиск газу.

6 Акустичний ефект Допплера

де v – частота звуку, що сприймається приладом (або вухом), який рухається; х - швидкість звуку в середовищі; u_пр - швидкість приладу відносно середовища; u_дж - частота звуку, що випромінює джерело.

7 Амплітуда звукового тиску

де v - частота звуку; A - амплітуда коливань частинок середовища; - швидкість звуку в середовищі; - його густина.

8 Середня об’ємна густина енергії звукового поля

де - амплітуда швидкості частинок середовища; - колова частота звукових хвиль.

9 Енергія звукового поля, яке розміщене у деякому об’ємі V з об’ємною густиною енергії

10 Потік звукової енергії

де W - енергія, що переноситься через дану поверхню за час t.

11 Інтенсивність звуку (густина потоку звукової енергії)

12 Інтенсивність звуку пов’язана з середньою об’ємною густиною енергії звукового поля співвідношенням

де - швидкість звуку в середовищі.

13 Зв’язок потужності N точкового ізотропного джерела звуку з інтенсивністю звуку

де r - відстань від джерела звуку до точки звукового поля, в якій визначається інтенсивність.

14 Рівень інтенсивності звуку (рівень звукової потужності в децибелах)

де I₀ - умовна інтенсивність, яка відповідає нульовому рівню інтенсивності (I₀ = 1 пВт/м²).

7 Електричні коливання і хвилі

1 Формула Томсона. Період власних коливань у контурі без активного опору

де L – індуктивність контуру; C – його електроємність.

2 Зв’язок довжини електромагнітної хвилі з періодом T і частотою коливань:

, або ,

де c – швидкість електромагнітних хвиль у вакуумі (c =3·10⁶ м/с).

3 Швидкість електромагнітних хвиль у середовищі

де – діелектрична проникність; – магнітна проникність середовища.

Інтерференція світла

1 Швидкість світла в середовищі

де c – швидкість електромагнітних хвиль у вакуумі; n – абсолютний показник заломлення середовища.

2 Оптична довжина шляху світлової хвилі

де l – геометрична довжина шляху світлової хвилі в середовищі з показником заломлення n.

3 Оптична різниця ходу двох світлових хвиль

4 Оптична різниця ходу світлових хвиль, які відбиті від верхньої та нижньої поверхонь тонкої плоскопаралельної пластинки або плівки, яка міститься в повітрі (рис. 39),

Рисунок 39 – Явище інтерференції в тонких плівках

, або ,

де d – товщина пластинки (плівки); i₁ – кут падіння; i₂ – кут заломлення.

Другий доданок у цих формулах враховує зміну оптичної довжини шляху світлової хвилі на при відбитті її від більш оптично щільного середовища.

Якщо відбиття відбувається від середовища з меншою оптичною густиною, то оптичний шлях хвилі не змінюється.

5 Зв’язок різниці фаз коливань з оптичною різницею ходу світлових хвиль

6 Умова спостереження максимумів інтенсивності світла при інтерференції

(k = 0, 1, 2, 3,...).

7 Умова спостереження мінімумів інтенсивності світла при інтерференції

8 Радіуси світлих кілець Ньютона у відбитому світлі (або темних у світлі, що проходить)

де k – номер кільця (k = 1, 2, 3,...); R – радіус кривини поверхні лінзи, яка торкається плоскопаралельної скляної пластинки.

Радіуси темних кілець у відбитому світлі (або світлих у світлі, що проходить)

Дифракція світла

1 Радіус k - ї зони Френеля:

- для сферичної хвилі ,

де a – відстань діафрагми з круглим отвором від точкового джерела світла; b – відстань діафрагми від екрана, на якому ведеться спостереження дифракційної картини; k – номер зони Френеля; – довжина хвилі;

- для плоскої хвилі .

2 Дифракція світла на одній щілині при нормальному падінні променів. Умова спостереження мінімумів інтенсивності світла

, k = 1, 2, 3,...,

де a – ширина щілини; – кут дифракції; k – номер мінімуму; – довжина хвилі.

Умова спостереження максимумів інтенсивності світла

, k = 1, 2, 3,...,

де – кут дифракції.

3 Дифракція світла на дифракційній ґратці при нормальному падінні променів.

Умова спостереження головних максимумів інтенсивності світла

, k = 0, 1, 2, 3,...,

де d – період (стала) ґратки; k – номер головного максимуму;

– кут між нормаллю до поверхні ґратки і напрямком дифрагованих хвиль.

4 Роздільна здатність дифракційної ґратки

де – найменша різниця довжин хвиль двох сусідніх спектральних ліній ( і + ), при якій ці лінії можна побачити у спектрі, отриманому за допомогою цієї ґратки окремо; N – кількість штрихів ґратки; k – порядковий номер дифракційного максимуму.

5 Кутова дисперсія дифракційної ґратки

лінійна дисперсія дифракційної ґратки

Для малих кутів дифракції

де f – головна фокусна відстань лінзи, що збирає на екрані хвилі, що дифрагують.

6 Розрізнювальна сила об’єктива телескопа

де – найменша кутова відстань між двома світлими точками, при якій зображення цих точок у фокальній площині об’єктива можна побачити окремо; D – діаметр об’єктива; – довжина хвилі.

7 Формула Вульфа-Брегга

де d – відстань між атомними площинами кристала; - кут ковзання (кут між напрямом пучка паралельних рентгенівських випромінювань, які падають на кристал, і гранню кристала), який визначає напрямок, в якому має місце дзеркальне відбиття випромінювання (дифракційний максимум).