Динаміка обертального руху. Закон збереження моменту імпульсу

1 Основне рівняння динаміки обертального руху відносно нерухомої осі

де M - момент сили, що діє на тіло; L - момент імпульсу тіла;

де - радіус-вектор; - імпульс тіла.

У випадку, коли момент інерції незмінний,

де ε – кутове прискорення.

2 Момент імпульсу тіла, що обертається відносно деякої осі,

3 Момент сили F, що діє на тіло відносно осі обертання,

де l – плече сили – найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії сили.

4 Момент інерції матеріальної точки

де m - маса точки; r - відстань до осі обертання.

Момент інерції твердого тіла

де r_i - відстань елемента маси Δm_i від осі обертання.

Це співвідношення в інтегральній формі

Моменти інерції деяких тіл наведені в таблиці 1.

Якщо тіло однорідне, тобто його густина ρ однакова по всьому об’єму, то

і ,

де V - об’єм тіла.

Теорема Штейнера. Момент інерції відносно довільної осі дорівнює

де J₀ – момент інерції цього тіла відносно осі, що проходить через центр тяжіння тіла паралельно заданій осі; a – відстань між осями; m – маса тіла.

Таблиця 1 – Моменти інерції деяких тіл

Тіло	Вісь, відносно якої визначається момент інерції	Формула для моменту інерції
Однорідний тонкий стрижень масою m і довжиною l	Проходить через центр тяжіння стрижня перпендикулярно до нього
	Проходить через кінець стрижня перпендикулярно до нього
Тонке кільце, обруч, труба радіусом R і масою m, маховик радіусом R і масою m, розподіленою вздовж обода	Проходить через центр тяжіння перпендикулярно до площини основи
Круглий однорідний диск (циліндр) радіусом R і масою m	Проходить через центр тяжіння перпендикулярно до площини основи
Однорідна куля масою m і радіусом R	Проходить через центр кулі

5 Закон збереження моменту імпульсу для ізольованої системи

Для двох взаємодіючих тіл закон збереження моменту імпульсу запишеться так:

де – моменти інерції і кутові швидкості тіл до взаємодії; – ті самі величини після взаємодії.

Закон збереження моменту імпульсу для одного тіла із змінним моментом інерції

де J₁ і J₂ – початковий і кінцевий моменти інерції; ω₁ і ω₂ – початкова і кінцева кутова швидкість тіла.

6 Робота сталого моменту M сили, що діє на тіло, яке обертається,

де φ - кут повороту тіла.

7 Миттєва потужність, що розвивається при обертанні тіла,

8 Кінетична енергія тіла, що обертається,

9 Кінетична енергія тіла, що котиться по площині без ковзання,

де - кінетична енергія поступального руху тіла; υ – швидкість центра інерції тіла; - кінетична енергія обертального руху тіла навколо осі, що проходить через центр інерції.

10 Зв’язок між роботою, що здійснюється при обертанні тіла і зміною кінетичної енергії,

11 Зв’язок між величинами, що характеризують поступальний і обертальний рух, наведений у таблиці 2.

Таблиця 2- Порівняння законів, що описують поступальний та обертальний рух

Поступальний рух	Обертальний рух
Основний закон динаміки


Закон збереження
імпульсу	моменту імпульсу

Робота і потужність


Кінетична енергія

12 Механічна напруга при пружній деформації тіла

де F - сила, що розтягує або стискає тіло; S - площа поперечного перерізу тіла.

Відносне повздовжнє розтягування (стиснення)

де – зміна довжини тіла при розтягуванні (стисненні); - довжина тіла до деформації.

Закон Гука для повздовжнього розтягування (стиснення)

де - модуль Юнга.

5 Механіка рідин

1Витрата рідини в трубці струму:

а) об’ємна витрата ;

б) масова витрата , де S – площа перерізу трубки струму; – швидкість рідини; ρ – її густина.

2 Рівняння нерозривності струменя

3 Рівняння Бернуллі для ідеальної нестисливої рідини в загальному випадку

де Р₁ і Р₂ – статичні тиски у двох перерізах трубки; і – швидкості рідини в цих перерізах; і - динамічні тиски рідини в цих перерізах; h₁ і h₂ – їх висота над деяким рівнем; і - гідростатичні тиски.

Якщо обидва перерізи розміщені на одній висоті, рівняння Бернуллі буде мати такий вигляд:

4 Швидкість витікання ідеальної рідини з малого отвору у відкритій широкій посудині

де h – глибина, на якій міститься отвір відносно рівня рідини в посудині.

5 Формула Пуазейля. Об’єм рідини або газу, що проходить за час t через довгу трубку, дорівнює

де r - радіус трубки; l - її довжина; ΔР - різниця тисків на кінцях трубки; η - динамічна в’язкість (коефіцієнт внутрішнього тертя) рідини.

6 Число Рейнольдса для потоку рідини в довгих трубках

і для руху кульки у рідині

де < > - середня швидкість рідини; – швидкість кульки; d – діаметр трубки або діаметр кульки.

Якщо Re<<Re_кр – течія рідини ламінарна, Re>>Re_кр– рух рідини переходить у турбулентний. Re_кр – критичне число Рейнольдса; для руху кульки в рідині Re_кр = 0,5; для потоку рідини Re_кр = 2300.

7 Формула Стокса. Сила опору F, що діє з боку рідини на кульку, яка рухається з невеликою швидкістю, дорівнює

де r – радіус кульки; – її швидкість. Формула справедлива для швидкостей, для яких Re<<1.

Рівняння газу

1 Рівняння стану ідеального газу (рівняння Клапейрона - Менделєєва)

, або ,

де m – маса газу; m – молярна маса; R – універсальна газова стала; - кількість речовини; T – термодинамічна температура.

2 Закон Дальтона

де Р – тиск суміші газів; Р_i – парціальний тиск і -ї складової суміші; n – число складових суміші.

3 Молярна маса суміші газів

4 Масова частка і -ї складової суміші

де - маса і -ї складової суміші; m – маса суміші.