Задачі для самостійного розв’язання

1 Знайти швидкість та прискорення тіла через три секунди після початку руху, якщо залежність шляху, пройденого тілом від часу, описується рівнянням м.

Відповідь: 5 м/с; 1 м/с².

2 При рівнозмінному русі зі стану спокою тіло проходить за п'яту секунду 90 см. Визначити переміщення тіла за сьому секунду.

Відповідь: 130 см.

3 Тіло кинули із швидкістю 20 м/с під кутом 30⁰ до горизонту. Нехтуючи опором повітря, визначити для моменту часу 1,5 с після початку руху: нормальне прискорення; тангенціальне прискорення.

Відповідь: 9,47 м/с²; 2,58 м/с².

4 Вал радіусом 0,1 м обертається навколо нерухомої осі так, що залежність кута повороту радіуса від часу описується рівнянням , де 1 с^-1, 1 с^-2, 1 с^-3. Визначити для точок на ободі вала через дві секунди після початку руху: тангенціальне прискорення; нормальне прискорення; повне прискорення.

Відповідь: 1,4 м/с²; 28,9 м/с²; 28,9 м/с².

5 Сила надає тілу масою прискорення =1 м/с², а тілу масою - =2 м/с². Яке прискорення надасть ця сила тілу з масою .

Відповідь: 0,67 м/с².

6 Тролейбус масою 10 т, рухаючись з місця, на шляху 50 м досяг швидкості 10 м/с. Знайти коефіцієнт опору, якщо сила тяги дорівнює 14 кН.

Відповідь: 0,04.

7 Літак масою т = 2,5 т летить зі швидкістю = = 400 км/год. Він виконує у горизонтальній площині віраж (віраж - політ літака по дузі кола з деяким кутом крену). Радіус траєкторії літака дорівнює R =500 м. Знайти поперечний кут φ нахилу літака і підіймальну силу F крил під час польоту.

Відповідь: 58,2⁰; 66,2 кН.

8 На вершині похилої площини, що утворює кут 20⁰ з горизонтом, закріплено невагомий блок (рис. 26), через який перекинуто невагому і нерозтяжну нитку, до кінців якої прикріплено тіла масою 0,2 кг і 0,15 кг. Нехтуючи тертям, визначити прискорення, з якими будуть рухатися тіла, якщо друге тіло рухається вниз.

Рисунок 26

Відповідь: 2,29 м/с².

9 При горизонтальному польоті зі швидкістю =250 м/с снаряд масою =8 кг розірвався на дві частини. Більша частина масою =6 кг одержала швидкість =400 м/с у напрямку польоту снаряда. Визначити модуль і напрямок швидкості меншої частини снаряда.

Відповідь: =200 м/с, напрямок протилежний.

10 Ковзаняр, стоячи на ковзанах на льоду, кидає камінь масою =2,5 кг під кутом =30⁰ до горизонту зі швидкістю = 10 м/с. Якою буде початкова швидкість руху ковзаняра, якщо його маса =60 кг? Переміщенням ковзаняра під час кидка знехтувати.

Відповідь: =0,38 м/с.

11 На підлозі стоїть візок у вигляді довгої дошки з легкими колесами. На одному кінці дошки стоїть людина. ЇЇ маса =60 кг, маса дошки =20 кг. З якою швидкістю (відносно підлоги) буде рухатися візок, якщо людина піде уздовж її зі швидкістю (відносно дошки) =1 м/с? Масою коліс і тертям знехтувати.

Відповідь: =0,75 м/с.

12 На скільки зміститься відносно берега човен довжиною =3,5 м і масою =200 кг, якщо людина масою =80 кг, що стоїть на кормі, перейде на ніс човна? Вважати, що човен розташований перпендикулярно до берега.

Відповідь: l = 1 м.

13 Пружина жорсткістю Н/м стиснута силою Н. Визначити роботу А зовнішньої сили, що додатково стискує пружину ще на см.

Відповідь: А = 2,1 Дж.

14 У дерев'яний шар масою =8 кг, підвішений на нитці довжиною =1,8 м, влучає куля масою =4 г, яка летить горизонтально. З якою швидкістю летіла куля, якщо нитка з шаром і застряглою в ньому кулею відхилилася від вертикалі на кут =3⁰? Розміром кулі знехтувати. Удар кулі вважати прямим, центральним.

Відповідь: =440 м/с.

15 Із шахти глибиною =600 м піднімають кліть масою =3,0 т на канаті, кожен метр якого має масу =1,5 кг. Яка робота А виконується при піднятті кліті на поверхню Землі? Який коефіцієнт корисної дії підіймального пристрою?

Відповідь: А = 30,2 Дж; =0,87.

16 Визначити найменшу висоту, з якої повинен скочуватись візок з людиною по жолобу, що переходить в петлю радіусом 6 м, щоб не відірватися від нього у верхній точці петлі. Тертям знехтувати.

Відповідь: 15 м.

17 Людина знаходиться у центрі горизонтальної круглої платформи, що обертається навколо осі, яка проходить через центр маси людини та центр маси платформи. Людина тримає в руках горизонтально штангу довжиною м та масою =18 кг. Платформа при цьому обертається з частотою с^-1. Людина повертає штангу в вертикальній площині на кут . Визначити роботу, яку виконала при цьому людина. Момент інерції людини вважати еквівалентним масі 50 кг, що знаходиться на відстані м від осі обертання. Момент інерції платформи не враховувати.

Відповідь: Дж.

18 Горизонтальна платформа масою кг обертається навколо вертикальної осі, що проходить через центр платформи, з частотою хв . Людина масою кг стоїть при цьому на краю платформи. З якою кутовою швидкістю почне обертатися платформа, якщо людина перейде від краю платформи до її центру? Вважати платформу круглим, однорідним диском, а людину – матеріальною точкою.

Відповідь: =1,62 рад/с.

19 Визначити момент інерції труби масою =100 кг відносно осі симетрії, якщо внутрішній і зовнішній радіуси труби відповідно дорівнюють =8 см, =10 см.

Відповідь: кг×м².

20 Куля і суцільний циліндр, виготовлені з одного і того самого матеріалу, однакової маси котяться без ковзання з однаковою швидкістю. Визначити, у скільки разів кінетична енергія кулі менша за кінетичну енергію циліндра.

Відповідь: у 1,07 разу.

21 З посудини об’ємом 2×10^-2 м³ потрібно відкачати повітря від нормального атмосферного тиску до тиску 10¹⁸ Па. За скільки циклів роботи насоса це можна зробити при об'ємі всмоктувальної камери насоса =2×10^-3 м³?

Відповідь: 46.

22 Порожню кулю об’ємом V = 10 см³, заповнену повітрям при температурі T₁ = 573 К, з'єднали трубкою з чашкою, заповненою ртуттю. Визначити масу т ртуті, що надійшла в кулю, при остиганні повітря в ній до температури T₂ = 293 К. Зміною об’єму кулі знехтувати.

Відповідь: =67 г.

23 У балоні об’ємом V = 25 л міститься водень при температурі Т = 290 К. Після того як частину водню витратили, тиск у балоні знизився на ΔР = 0,4 МПа. Визначити масу т витраченого водню.

Відповідь: =8,3 г.

24 У U-подібний манометр налита ртуть. Відкрите коліно манометра з'єднане з навколишнім простором при нормальному атмосферному тиску Р_о, і ртуть у відкритому коліні розміщена вище, ніж у закритому, на Δh = 10 см. При цьому вільна від ртуті частина трубки закритого коліна має довжину l = 20 см. Коли відкрите коліно приєднали до балона з повітрям, різниця рівнів ртуті збільшилася і досягла значення Δh₁ =26 см. Знайти тиск Р повітря в балоні.

Відповідь: 47,2 кПа.

25 У балонах об’ємом V₁ = 20 л і V₂ = 44 л містяться різні гази. Тиск у першому балоні Р₁ = 2,4 МПа, у другому - Р₂ = =1,6 МПа. Визначити загальний тиск і парціальні тиски Р₁¹ і Р₂¹ після з’єднання балонів, якщо температура газу не змінилася.

Відповідь: Р₁¹= 0,76 МПа; Р₂¹ = 1,12 МПа; 1,88 МПа.

26 Об’єм водню при ізотермічному розширенні при температурі К збільшився в рази. Визначити роботу , виконану газом, і теплоту , що отримана при цьому. Маса водню дорівнює = 200 г.

Відповідь: А = 274 кДж; = А.

27 У скільки разів збільшиться коефіцієнт корисної дії циклу Карно при підвищенні температури нагрівача від К до К? Температура холодильника К.

Відповідь: .

28 Яка робота буде виконана, якщо 0,2 кг азоту нагріти від 293 К до 373 К при сталому тиску?

Відповідь: 4754 Дж.

29 Ідеальна теплова машина, яка працює за циклом Карно, 2/3 кількості теплоти, одержаної від нагрівача, передає холодильнику з температурою 283 К. Визначити температуру нагрівача.

Відповідь: 424,5 К.

30 Під час циклу Карно газ, одержавши від нагрівника 1 кДж теплоти, виконав роботу 400 Дж. Знайти ККД теплової машини та температуру нагрівника, якщо температура холодильника 273 К.

Відповідь: 0,4; 455 К.

31 У воду опущена на малу глибину скляна трубка із діаметром каналу мм. Визначити масу води, що ввійшла в трубку.

Відповідь: =23 мг.

32 Дві краплі ртуті радіусом мм кожна злилися в одну краплю. Визначити енергію , що виділиться при такому злитті. Вважати процес ізотермічним.

Відповідь: =12 мкДж.

33 За який час можна витиснути ідеальну рідину з шприца, якщо на поршень діє сила F = 20 Н, об’єм рідини в шприці V = 100 см³, а площі поршня та внутрішнього перерізу голки відповідно S₁ = 1 см², S₂ = 0,3 мм². Тертя не враховувати.

Відповідь: 2,36 с.

34 У посудину ллється вода, причому за 1 с наливається 0,2 л. Яким повинен бути діаметр отвору d на дні посудини, щоб вода в ній трималася на постійному рівні h = 8,3 см?

Відповідь: 1,4 см.

35 Дві однакові кульки масою =1 г кожна підвішені на нитках довжиною =10 см в одній точці. Нитки складають з вертикаллю кут 60⁰. Визначити заряд кульок.

Відповідь: 79 нКл.

36 Електроємність плоского конденсатора дорівнює C =111 пФ. Діелектрик – фарфор. Конденсатор зарядили до різниці потенціалів U = 600 В і відключили від джерела напруги. Яку роботу A потрібно здійснити, щоб вийняти діелектрик із конденсатора? Тертям знехтувати.

Відповідь: 80 мкДж.

37 Лампочку, розраховану на 220 В, включили в коло з напругою 110 В. Як зміниться її потужність у порівнянні з номінальною?

Відповідь: Збільшиться у 4 рази.

38 На кінцях мідного дроту довжиною =5 м підтримується напруга =1 В. Визначити густину струму у дроті.

Відповідь: 1,18·10⁷ А/м².

39 Визначити заряд, що пройде через переріз провідника опором 3 Ом при рівномірному підвищенні напруги між його кінцями від 2 В до 4 В протягом часу 29 с.

Відповідь: 20 Кл.

40 До джерела струму з ЕРС 12 В під’єднаний споживач. Напруга на клемах джерела при цьому дорівнює 8 В. Визначити ККД джерела струму.

Відповідь: 68%.

Друга частина

Зведення основних формул

1 Магнітне поле у вакуумі і середовищі

Закон Біо-Савара-Лапласа

де – магнітна індукція поля, яку створює елемент провідника зі струмом; – магнітна проникність; – магнітна стала ( = 4 ·10^-7 Гн/м); – вектор, який дорівнює за модулем довжині d l елемента провідника і збігається за напрямком зі струмом (елемент провідника); I – сила струму; – радіус-вектор, проведений від початку елемента провідника до точки, магнітна індукція якої визначається.

Модуль вектора виражається формулою

де a - кут між векторами і .

2Магнітна індукція пов’язана з напруженістю магнітного поля співвідношенням

або у вакуумі

3 Магнітна індукція в центрі колового провідника зі струмом

де R – радіус кривини провідника.

4 Магнітна індукція поля, що створюється нескінченно довгим прямим провідником зі струмом,

де r – відстань від осі провідника.

Магнітна індукція поля, що створюється відрізком провідника

Позначення зрозумілі із рис. 38 а. Вектор індукції перпендикулярний до площини креслення, спрямований до нас, тому зображений у вигляді точки.

Рисунок 38 - Магнітне поле, що створюється нескінченним провідником або його відрізком

При симетричному розміщенні кінців провідника відносно точки, в якій визначається магнітна індукція (рис. 38 б), , і тому

5 Магнітна індукція поля, яке створює соленоїд у середній його частині (або тороїд на його осі),

де n – кількість витків, що припадає на одиницю довжини соленоїда; I – сила струму в одному витку.

6 Принцип суперпозиції магнітних полів: магнітна індукція результуючого поля дорівнює векторній сумі магнітних індукцій , _, …, полів, що існують у даній точці, тобто

У випадку накладання двох полів

а абсолютне значення вектора магнітної індукції

де a – кут між векторами і .

7 Закон Ампера. Сила, яка діє на елемент провідника зі струмом в однорідному магнітному полі,

де I – сила струму; – вектор, який дорівнює за модулем довжині елементу провідника і збігається за напрямком зі струмом; – магнітна індукція поля.

Модуль вектора визначається таким чином:

де a – кут між векторами і .

8 Сила взаємодії двох прямих нескінченно довгих паралельних провідників зі струмами I₁ і I₂, які розміщені на відстані d один від одного, що діє на відрізок провідника довжиною l, виражається формулою

9 Магнітний момент контура зі струмом

де – вектор, який дорівнює за модулем площі S, яку охоплює контур, і збігається за напрямком з нормаллю до його площини.

10 Механічний момент, який діє на контур зі струмом, розміщений в однорідному магнітному полі

Модуль механічного моменту

де a – кут між векторами і .

11 Потенціальна (механічна) енергія контура зі струмом в магнітному полі

12 Сила, яка діє на контур зі струмом в магнітному полі (змінному вздовж осі x),

де - зміна магнітної індукції вздовж осі x, розрахована на одиницю довжини; - кут між векторами і .

13 Закон повного струму для струму провідності: циркуляція вектора напруженості магнітного поля вздовж замкненого контура, який охоплює струм I, виражається формулою

де H_l – проекція вектора на напрямок дотичної до контуру, що містить елемент d l; I – сила струму, що охоплюється контуром.

Якщо контур охоплює n струмів, то

де - алгебраїчна сума струмів, які охоплює контур.

14 Магнітний потік Ф через плоский контур площею S:

- у випадку однорідного поля

, або ,

де a – кут між вектором нормалі до площини контуру і вектором магнітної індукції ; B_n – проекція вектора на нормаль ();

- у випадку неоднорідного поля

де інтегрування ведеться по всій площі S.

15 Потокозчеплення, тобто повний магнітний потік, зчеплений зі всіма витками соленоїда або тороїда,

де Ф – магнітний потік через один виток; N – кількість витків соленоїда або тороїда.

16 Магнітне поле тороїда, осердя якого зроблене із двох частин, виготовлених із речовин з різними магнітними проникностями:

а) магнітна індукція на осьовій лінії тороїда

де I –сила струму в обмотці тороїда; N –кількість її витків; l₁ і l₂ – довжини першої і другої частин осердя тороїда; і – магнітні проникності речовин першої і другої частин осердя тороїда; – магнітна стала;

б) напруженість магнітного поля на осьовій лінії тороїда в першій і другій частинах осердя

, ,

в) магнітний потік в осерді тороїда

;

г) магнітний опір ділянки кола

17 Магнітна проникність m магнетика пов’язана з магнітною індукцією поля в ньому і напруженістю зовнішнього поля співвідношенням

Електромагнітна індукція

1 Робота переміщення замкнутого контура зі струмом в магнітному полі

де Ф – зміна магнітного потоку, який пронизує поверхню, обмежену контуром; I – сила струму у контурі.

2 Основний закон електромагнітної індукції (закон Фарадея)

де – електрорушійна сила індукції; N – кількість витків у контурі; – потокозчеплення.

Окремі випадки застосування основного закону електромагнітної індукції:

- різниця потенціалів U на кінцях провідника довжиною l, який рухається зі швидкістю в однорідному магнітному полі,

де – кут між напрямками векторів швидкості та магнітної індукції ;

- електрорушійна сила індукції , яка виникає в рамці, що містить N витків, площею S, при обертанні рамки з кутовою швидкістю в однорідному магнітному полі з індукцією :

де – миттєве значення кута між вектором і вектором нормалі до площини рамки.

3 Заряд Q, який проходить в контурі,

де R – опір контуру; – зміна потокозчеплення.

4 Електрорушійна сила самоіндукції , яка виникає у замкнутому контурі при зміні сили струму в ньому,

, або ,

де L – індуктивність контуру.

5 Потокозчеплення контуру

де L – індуктивність контуру.

6 Індуктивність соленоїда (тороїда):

де - кількість витків, що припадає на одиницю довжини соленоїда; V – об’єм соленоїда.

У всіх випадках для знаходження індуктивності соленоїда (тороїда) з осердям із використанням наведеної формули для визначення магнітної проникності слід користуватися графіком залежності B від H, а потім формулою

7 Миттєве значення сили струму I в колі, що має активний опір R та індуктивність L:

- після замикання кола ,

де – ЕРС джерела струму; t – час, що минув після замикання кола;

- після розмикання кола ,

де I₀ – значення сили струму в колі при t = 0; t – час, що минув з моменту розмикання кола.